算得巧



写在前面的话


  数学是锻炼脑盘的体操。无论计算,还是解题,都要力争根据具体情竞选用 简便算法或解法,有目的地培养学生思维的敏捷性和灵活性。不少人都有这个体 验:获得最优美、最巧妙的解法是一种愉快的享受。
  算得巧与算得笨不仅仅是方法的不同,更重要的是思维方式的不同。巧算, 属于求异思维。它往往具有独特、新颖、简捷的特点。
  本书面向小学中、高年级,从数的概念、数的计算、应用题、几何初步知识 几个方面,比较系统地总结了巧算的方法、算理和技巧。本书在写作过程中,注意 了以下出点。
  1.要求新。所谓新,就是别的书上没有讲过或没有集中讲过的新发现、新经 验、新的归纳总结。
  2.不求全。全是相对的,没有必要把勉强叫巧算的内容加上去。累此,各知 识点的分配是不平衡的。本书的目的是抛砖引玉,让同学们由此受到启发,做好积 累、整理工作。
  3.讲实用。对于那些与其记一大堆法则,还不如再算一遍的巧算,我们一律 不选。有些巧算的法则好记又实用,尽管不少人都知道,我们还是选了。
  4.有难度。在几百个例题中,有的题是比较难的。我们的目的是让那些学有 余力的同学,能在课余时间有更多的机会锻炼自己的脑筋,提高解题能力。
  5.重方法。本书在介绍计算方法时,由于按先讲整数计算,再讲分数计算; 这两部分又按加、减、乘、除的顺序编写,所以,例题的题型选择不全,重在讲方 法。
  6.不重复。本书内容既配合课本,又不重复课本。课堂上讲的内容,这里不 再重复。比如,“巧用运算规律”,因为课堂内已经讲过,这里只重点介绍了一些 典型问题。
  本书在写作过程中,常舒正老师审阅了大部分书稿,眭双祥老师提供了有益 的资料并补写了某些内容。在此,谨向他们表示衷心的感谢。


作者

算得巧

巧答概念题

约数的对称关系


  很多同学在求某个合数的约数时,往往找不全。这里,向同学们介 绍一种巧用对称关系找约数的方法。


  如果把任何一个合数的约数,从小到大排列成一串数,那么我们会 发现,这些数总是关于某个处于中心位置的数成对存在。为了便于叙述, 我们把这个中心位置的数叫做“中心数”
  如果某个合数恰好是某个自然数的平方,那么这个“中心数”就是 这个自然数,它自然是这个合数的约数,只要把比“中心数”小的几个 约数找出来,其他的约数便能一个不漏地迅速找出来。比如,要求 36 的约数,36=62,在 36 的约数里,比 6 小的 4 个约数为 1、2、3、4,加
外 4 个约数为 36、18、12、9。如下图:





  如果这个合数不是某个自然数的平方,那么就要找出一个近似的“中 心数”。比如,要求 102 的约数。因为 102<102<112,所以可以选 10 或
11 为“中心数”。先找出比 10 或 11 小的 4 个约数 1、2、3、6,再找出
另外 4 个约数 102、51、34、17。如下图:

  由此可知,一个合数的“中心数”可能是这个合数的约数,也可能 不是。
试一试


试求 64、144、60、108 的所有约数。


巧用筛去法判别


  判断某个数能否被 3 整除,这是大家熟悉的问题。可是,当一个数 较大时,把一个数各数位上的数字相加,不仅判断速度慢,而且很容易 出现口算错误。下面介绍一种简便判断方法——筛去法(或称消倍法)。 这种方法就如同用一种特殊的筛子,先把某个数的各个数位是 3 的 倍数的数筛去,然后把剩余的有限几个数字相加,看它们的和是否是 3
的倍数。如果剩下的数字之和是 3 的倍数,那么原数就是 3 的倍数。 比如,判断下面的数能否被 3 整除: (1)5367;(2)31692;(3)43156。
  (1)5367,直接筛去能被 3 整除的 3、6;5 与 7 的和是 3 的倍数,所 以 5367 能被 3 整除。
(2)31692,直接筛去能被 3 整除的 3、6、9;1 与 2 的和是 3 的倍数,

所以 31692 能被 3 整除。
  (3)43156,直接筛去能被 3 整除的 3、6;4、1 与 5 的和不是 3 的倍 数,所以 43156 不能被 3 整除。


试一试


判断下面的数能否被 3 整除: (1)3486(2)2947(3)56793(4)78541


巧妙判定被 7 约


  一个数能否被 7 整除,只要把这个数的末位数字截去,然后从余下 的数中减去这个末位数字的 2 倍,如果这时能一眼看出这个得数是 7 的 倍数,那么这个数就能被 7 整除,否则就不能被 7 整除。要是仍看不出 是否能被 7 整除,那就要继续上述的过程,直到能清楚地作出判断为止。
比如,判断 112 能否被 7 整除。




因为 7 能被 7 整除,所以 112 能被 7 整除。这是由于
112×2=(11×10+2)×2
=11×20+2×2
=11×(21-1)+2×2
=11×21-11+2×2
=11×7×3-(11-2×2)
前项有约数 7,且 7 与 2 互质,故只要检验(11-2×2)能否被 7 整除 就可以了。
如果所要判定的数,位数比较多,那么这种做法可以一直进行下去。 又如,判断 61572 能否被 7 整除。

因为 42 能被 7 整除,所以 61572 能被 7 整除。 以上这种方法叫割尾法。以下判定某数能否被 11、13、17、19 整除
也可以用割尾法。但是,大家务必注意它们的区别。


巧妙判定被 11 约


判定一个数能否被 11 整除,大体上有三种方法:割尾法、奇偶位差

法、分节求和法。
  1.割尾法:一个数能否被 11 整除,只要把这个数的末位数字截去, 然后从余下的数中减去这个末位数,如果这时能一眼看出这个得数是 11 的倍数,那么这个数就能被 11 整除,否则就不能被 11 整除。要是仍看 不出是否能被 11 整除,那就要继续上述的过程,直到能清楚地作出判断 为止。
比如,462 能被 11 整除吗?




因为 44 能被 11 整除,所以 462 能被 11 整除。这是因为

462=460+2
=46×10+2
=48×(11-1)+2
=46×11-46+2
=46×11-(46-2)
前项有约数 11,故只要检验(46-2)能否被 11 整除就可以了。
  2.奇偶位差法:判定一个数能否被 11 整除,可以先分别求出此数 各奇位数字之和,以及各偶位数字之和,再求这两个和数的差,如果这 个差能被 11 整除,那么原数能被 11 整除,否则就不能被 11 整除。
比如,823724 能被 11 整除吗? 第第第第第第 六五四三二一 位位位位位位
           8 2 3 7 2 4 奇位数字之和为 2+7+4=13 偶位数字之和为 8+3+2=13 这两个和数之差 13-13=0
因为 0 能被 11 整除,所以 823724 能被 11 整除。这是由于
823724=8×100000+2×10000+3×1000+7×100+2×10+4
=8×(100001-1)+2×(9999+1)+3×(1001-1)+
7×(99+1)+2×(11-1)+4
=8×100001+2×9999+3×1001+7×99+2
×11+[(2+7+4)-(8+3+2)], 前几项中,100001、9999、1001、99、11 均能被 11 整除,故只要检验
[(2+7+4)-(8+3+2)]能否被 11 整除就可以了。
  3.分节求和法:判定一个数能否被 11 整除,还可以把一个自然数 自右向左每两位截为一节,然后把这些节加起来。如果这样相加所得到 的和能被 11 整除,那么这个数就能被 11 整除,否则就不能被 11 整除。 要是仍看不出是否能被 11 整除,那就要继续上述的过程,直到能清楚地 作出判断为止。
  
比如,判数 762421 能否被 11 整除。
76’24’21:21+24+76=1’21,21+1=22。
因为 22 能被 11 整除,所以 762421 能被 11 整除。这是由于
762421=76×10000+24×100+21
=76×(9999+1)+24×(99+1)+21
=76×9999+76+24×99+24+21
=76×9999+24×99+(76+24+21),
前两项中,9999、99 均能被 11 整除,故只要检验(76+24+21)能否被
11 整除就可以了。


巧妙判定被 13 约


割尾法: 一个数能否被 13 整除,只要把这个数的末位数
字截去,然后在余下的数上加上末位数字的 4 倍, 如果这时能一眼看出得数是 13 的倍数,那么这个数就能被 13 整除,否 则就不能被 13 整除。要是仍看不出是否能被 13 整除,那就要继续上述 过程,直到能清楚地作出判新为止。
比如,判断 273 能不能被 13 整除。




因为 39 能被 13 整除,所以 273 能被 13 整除。这是由于
273×4=(27×10+3)×4
=27×40+3×4
=27×(39+1)+3×4
=27×39+27+3×4
=27×13×3+(27+3×4),
前项中有约数 13,且 13 与 4 互质,故只要检验(27+3×4)能否被 13 整除就可以了。
又如,判断 124156 能否被 13 整除。











因为 28 不能被 13 整除,所以 124156 不能被 13 整除。


巧妙判定被 17 约

  割尾法:一个数能否被 17 整除,只要把这个数的末位数字截去,然 后从余下的数中减去这个末位数字的 5 倍,如果这时能一眼看出得数是
17 的倍数,那么这个数就能被 17 整除,否则就不能被 17 整除。要是仍 看不出是否能被 17 整除,那就要继续上述的过程,直到能清楚地作出判 断为止。
比如,判断 221 能否被 17 整除。




因为 17 能被 17 整除,所以 221 能被 17 整除。这是由于
221×5=(22×10+1)×5
=22×50+1×5
=22×(51-1)+1×5
=22×51-22+1×5
=22×17×3-(22-1×5)
前项中有约数 17,且 17 与 5 互质,故只要检验(22-1×5)能否被 17 整除就可以了。
又如,判断 278528 能否被 17 整除。












因为 17 能被 17 整除,所以 278528 能被 17 整除。


巧妙判定被 19 约


  割尾法:一个数能否被 19 整除,只要把这个数的末位数字截去,然 后在余下的数上加上这个末位数的 2 倍,如果这时能一眼看出这个得数
是 19 的倍数,那么这个数就能被 19 整除,否则就不能被 19 整除。要是
仍看不出是否能被 19 整除,那就要继续上述的过程,直到能清楚地作出 判断为止。
比如,判断 247 能否被 19 整除。




因为 38 能被 19 整除,所以 247 能被 19 整除。这是由于
247×2=(24×10+7)×2
=24×20+7×2
=24×(19+1)+7×2

=24×19+24+7×2
=24×19+(24+7×2)
前项中有约数 19,且 19 与 2 互质,故只要检验(24+7×2)能否被 19 整除就可以了。
又如,判断 14253 能否被 19 整除。









因为 24 不能被 19 整除,所以 14253 不能被 19 整除。
  综上所述,被 7、11、13、17、19 整除的判断方法,虽然都可以用 割尾法,但具体方法不同,请同学们千万不要搞混淆了。


奇妙的一千零一


1001 是个非常有趣的数。这个数的约数恰好是 3 个连续质数的积。
1001=7×11×13。
这个数乘以任何 3 位数,得到的结果是前 3 位和后 3 位数完全相同的 6 位数:
345×1001=345345。
这个数还向人们提供了一个判断某数是否是以 7、11、13 为约数的统一 的割尾法。
  具体做法是:只要把一个数末三位数截下,然后求余下的数与这三 位数的差,如果差能被 7、11、13 整除,那么原数能被 7、11、13 整除, 反之则不然。
例 1 判断 613571 能否被 7 整除。
解:613571→613’571→613-571=42→42÷7=6→613571 能被 7 整除。 这是由于
1001=7×11×13
613571=613×1000+571
=613×(1001-1)+571
=613×1001-613+571
=613×1001-(613-571),
其中第一项中 1001 能被 7 整除,故只要检验(613-571)能否被 7 整除 就可以了。
一个数能否被 11 或 13 整除的判定法及其根据与此相同。 例 2 判断 523479 能否被 11 整除。
  解:523479→523’479→523-479=22→44÷11=4→523479 能被 11 整 除。
例 3 判断 33319 能否被 13 整除。

  解:33319→33’319→319-33=286→286÷13=22→33319 能被 13 整 除。
  这里所介绍的方法适合对位数比较多的数进行判断,特别是 6 位数, 用这种方法会收到极好的效果。

试一试


1.用截尾法判断下列各数,哪些数里含有约数 7、11、13、17、19:
12397 53603 809341 71995 10127 323323
2.用 1-9 九个不同数字组成一个能被 11 整除的最小数。


巧求最大公约数


  求两个自然数的最大公约数是进行分数化简的基础,非常重要。一 般情况下,求两个数最大公约数用短除的办法。
例如,求 72 与 108 的最大公约数。 具体做法是:







所以,把 72 与 108 中一切公有的质因数取出,就得到了最大公约数:

2×2×3×3=36。 这是求两个数最大公约数的常用方法。但是,并不是所有的时候,
这样做都能成功。比如,遇到两个较大的数,它们的公约数又不是常见
的 2、3、5 时,麻烦就来了。
例如,求 391 与 493 的最大公约数。 在这种情况下,最好的办法是采用辗转相除法。具体做法是,先将
391 和 493 并排写好,然后用三条竖线把它们隔开。下面就是详细过程。
  第一步,用小数 391 去除大数 493,把商 1 写在较大数的直线外,并 求得余数 102;

  第二步,用余数 102 去除刚才作为除数的 391,把商 3 写在较大数的 直线外,并求得余数 85;

  第三步,用余数 85 去除刚才做为除数的 102,把商 1 写在较大数的 直线外,并求得余数 17;
  

  第四步,用余数 17 去除刚才的除数 85,把商 5 写在较大数的直线外, 并求得余数 0;

  第五步,当余数为 0 时,就可以判定,余数 0 前面的那个余数 17 就 是最大公约数。
下面,我们再看两个例子。
例 1 求 635 与 889 的最大公约数。







635 与 889 的最大公约数为 127。 例 2 求 67 与 54 的最大公约数。

67 与 54 的最大公约数是 1,67 与 54 互质。 一般地说,用辗转相除法求两个数的最大公约数的方法是:先用小
数除大数;若不能整除,就用余数再去除小数;若仍然不能整除,就用
第二次的余数去除第一次的余数??直到余数是 0 为止,这时前面一个 余数就是最大约数了。
  辗转相除的发明权应属中国。我国西汉末期成书的《九章算术》中, 就有用“以少减多,更相减损”的方法求最大公约数的记载。后来人们 应用的辗转相除就源于此。中国人运用这种算法求两个数的最大公约数 至少比西方人提早了 600 年。

试一试


试求下列各对数的最大公约数:
(1)323 和 391 (2)1547 和 1976 (3)24273 和 10692

巧求最小公倍数

  求两个自然数的最小公倍数是进行分数通分的基础,也非常重要。 一般情况下,求两个数的最小公倍数也用短除的办法。
例如,求 24 与 60 的最小公倍数。 具体做法如下:

  所以,把 48 与 60 中一切公有的质因数取出,再把单独有的也取出, 就得到了最小公倍数:
2×2×3×2×5=120。 实际上,这里有个得出最小公倍数的巧妙办法,具体做法如下:





24 与 60 的最小公倍数为
24×5=120 或 60×2=120。 这样做的道理很简单。









所以,用 24 乘以 60 独有的质因数 5 或用 60 乘以 24 独有的质因数 2,
都能得到 24 与 60 的最小公倍数。今后用短除找出两个数单独有的质因 数后,顺势画一个十字,把它们分别与原来两数相乘,都会得出最小公 倍数。
这们做可以加快运算速度,避免口算的失误。
  那么,求 3 个数的最小公倍数还能不能用上述的方法呢?答案是肯 定的,但是运算的速度就不一定比传统的方法快了。下面,我们通过一 个问题看看这时到底用哪种方法好了。
比如,求 12、18、20 的最小公倍数。 第一种方法(传统法):










12、18 和 20 的最小公倍数是
2×2×3×3×5=180。 第二种方法(叉乘法):





12 与 18 的最小公倍数是 12×3=36;
36 与 20 的最小公倍数是 20×9=180。 因此,12、18 和 20 的最小公倍数是 180。 或者




12 与 20 的最小公倍数是 20×3=60;
60 与 18 的最小公倍数是 60×3=180。 因此,12、18 和 20 的最小公倍数是 180。
  当然,用这种方法求这三个数最小公倍数的过程中,用合数去除可 能要快些。如:



18×2=36 20×9=180
12、18 和 20 的最小公倍数为 180。 或者



20×3=60 18×10=180
12、18 和 20 的最小公倍数为 180。 通过比较,可以看出两种方法各有千秋,用第一种方法可能运算速
度更快些。


试一试


试求下列各组的最小公倍数: (1)48、64、120 (2)54、63、72 (3)208 和 195 (4)238 和 252

巧比分数的大小


  比较分数大小,常用的基本方法是把分数通分。不过,有时这样做 比较麻烦,做题的速度太慢。有没有一些巧妙的方法呢?有。



交叉相乘



比如,比较 5 和 7
8 12

的大小 。

通常的做法是先求 8 与 12 的最小公倍数,然后通分,即

5 5 ? 3
? ?
8 8 ? 3

15 7
,
24 12

7 ? 2
?
12 ? 2

? 14 。
24

因为 15 ? 14 , 所以 5 ? 7 。

24 24

8 12

又如, 比较 5 和 8


的大小 。

7 11
这时,两个分数的分母互质,公分母就是两个分数分母的积。即

5 5 ? 11 8
? , ?
7 7 ? 11 11

7 ? 8 。
7 ? 11

  显然,只要看 5 ? 11 和 7 ? 8 的大小就行了。即分数的大小取决于分 子的大小。
  
5 ? 11 = 55,7

? 8 = 56,因为55 < 56 ,所以 5 ? 8 。
7 11

以上过程可以加以简化。做法如下:

5 8
??
7 11


5 ? 11 ? 55, 7 ? 8 ? 56 。

因为55 < 56,所以 5 ? 8 。
7 11
这种方法给予我们一个启示,不管分母是否互质都可以
照此办理。
例 比较下列两组分数的大小:
7 5 2 3 5

(1) 和

; (2 )

、 和 。

8 6 8 5 8

解:(1) 7 ?? 5


7 ? 6 ? 42,


8 ? 5 ? 40 。

8 6
7 5
因为 42 > 40,所以 ? 。
8 6

2
(2)
3

3 5
?? ??
5 8

2×5=10,3×3=9;3×8=24,5×5=25。
因为10 > 9 ,所以 2 ? 3 ; 又因为24 ? 25, 所以 3 ? 5 。
3 5 5 8
这时仍不能排定 3 个分数的顺序,还应继续做:
2×8=16,3×5=15。
2 5
因为16 > 15, 所以 ? 。
          3 8
因此, 3 ? 5 ? 2 。
5 8 3


与“1”比较


当两个分数都接近 1,又不易观察哪个大哪个小时,可以先分别求这

两个分数与 1 的差,比较这两个差往往比比较原分 数容易得多。
比如,比较 49 和 48 和大小。
50 49
  我们注意到这两个分数与 1 比较接近,不妨用 1 分别减去这两个分 数,看看它们差的大小。即
  
49
因为1 -
50

1 48
= ,1 - =
50 49

1
,所以
49

49 1 48
= 1- ,
50 50 49

1
= 1- 。
49

又因为 1

< 1 ,所以 49 > 48 。

50 49

50 49

下面,我们再举两个比较复杂的例子。
例1 比较 2222221 和 3333331 的大小 。



解:1 -

2222223
2222221
=

3333334
2 6
= ,

2222223

2222223

6666669

3333331 3
1- =

= 6 。

3333334
6

3333334
6

6666668

因为
6666669

?
6666668

,所以

2222221 3333331
? 。

2222223

3333334

例2 比较 222222221 和 444444443 的大小。

333333332

666666665


解:1 -

222222221
333333332

111111111
? ?
333333332

222222222

666666664

444444443 222222222
1 - ? 。

666666665
222222222
因为 ?
666666664

666666665
222222222
,所以
666666665

222222221 444444443
? 。

333333332

666666665



巧通分子


  我们把异分子的分数分别化成与原分数相等的同分子分数叫做通分 子。
  
例如,把

3 5 2
, 和

从小到大排列起来 。

16 6 13
  这是分子、分母都不相同的三个分数,如果用通分的办法来排列它 们的大小,显然计算量较大。观察分子,我们发现,与其“通分母”, 还不如“通分子”来得快。
  
通分子,得

3 3 ? 10
? ?
16 16 ? 10
2 2 ? 15
? ?
13 13 ? 15

30 5

160 6
30 。
195

5 ? 6 30
? ? ,
6 ? 6 36

因为 30 ?
195

30
160

? 30 ,所以 2
195 13

3 5
? ? 。
16 6

  有些可以用通分子的办法来解的题,可能一下子看不出。这就需要 依情况对题目进行适当“改造”。
  
例如,把

8 , 11 和

9 从小到大排列起来。

13 16 14
  这道题,无论是“通分母”,还是“通分子”,都不简单。但是, 经过认真观察,我们发现:每个分数的分母和分子都相差 5。也就是说,
用 1 减去上述 3 个分数所得的差的分子相同:

8
1 ? ?
13

5 ,1 ? 11 ?
13 16

5 ,1 ? 9 ? 5 。
16 14 14

  由于被减数都是 1,差数越大说明减数越小,差数越小说明减数越 大。
  
因为 5 ? 5 ?

5 ,所以 11 ?

9 ? 8 。

16 14 13

16 14 13



分数相除


例如,比较 10 和 5 的大小。
21 9
  为了比较这两个分数的大小,可以用一个分数除以另一个分数。这 里可做两种除法:
1.第一个分数除以第二个分数



           
也就是说, 10 是 5 的 6 ,所以 10 ? 5 。

21 9 7

21 9

2.第二个分数除以第一个分数

也就是说, 5 是 10 的1 1 ,所以 5 ? 10 。

9 21 6

9 21

用两个分数相除比较分数的大小,主要看它们的商大于 1 还是小于
1。这种方法省去了通分过程,方法比较简便。


试一试


1.比较下列各组分数大小:

5 6
(1) 和
6 7

4 5
(2) 和
11 13


(3)

3 、 4 和 5
5 7 9

4
(4)
7

、 5 和 6
9 11

2.比较下列各组分数大小:

10
(1)1
13
5

13 11
、1 和1
16 14
7 11

(2)2
11

、2 和2
13 17

3.比较下列各组分数大小:

77 36
(1) 和
78 37
80 81 82

58 93
(2) 和
59 94
74 63 87

(3)

、 和
81 82 83

(4)

、 和
75 64 88


甲大还是乙大?


  有这样一类问题,甲数和乙数之间的关系不是直接给出的,这就增 加了问题的难度。
先看分子是1的情况。比如,已知甲数的 1 等于乙数的 1 ,问甲数与乙数
4 5
哪能个大?
方法 1:直观比较。

从以上线段图上可以清楚地看出,甲数小于乙数。 方法 2:统一标准。
既然甲数的 1 等于乙数的 1 ,那么不妨用统一的单位表示。
4 5
若甲数的 1 = 1个长度单位,乙数的 1 = 1个长度单位,则
4 5
甲数 = 1 ? 1 = 4 ,乙数 = 1 ? 1 = 5。
4 5
所以,乙数比甲数大。 方法 3:从分数意义上来看。

1 1 1 1
很明显,甲数由4个 构成,乙数由5个 构成,而1个 与1个 相同,
4 5 4 5
所以4个 1 小于5个 1 ,乙数比甲数大。
4 5


方法 4:转化关系式。
1 1
甲数的 等于乙数的 ,即
4 5
甲数 ? 1 = 乙数 ? 1 。
4 5
根据“一个因数等于积除以另一个因数”,可得
甲数 = 乙数 ? 1 ? 1 。
5 4
所以,甲数 = 乙数 ? 4 ,即甲数是乙数的 4 ,乙数比甲数大。
5 5
再看分子不是1的情况。比如,甲数的 2 等于乙数的 3 ,问甲数大
3 4
还是乙数大?
方法 1:直观比较。

从以上线段图上可以看出,甲数大于乙数。 方法 2:统一分子。
要使 2 和 3 变为同分子需要利用分数的性质:

3
2 2 ? 3
?
3 3 ? 3

4
? 6 , 3 ?
9 4


3 ? 2
4 ? 2


? 6 。
8


  这就是说,把甲数分成 9 份,乙数分成 8 份,它们的 6 份相等 ,所 以它们的每一小份相等。甲数共有 9 个小份,乙数共有 8 个小份。所以, 甲数大于乙数。
本题的方法 2 与上面一题的方法 2 实质上是一样的。这是因为
甲数的 6 等于乙数的 6 ,即甲数的 1 等于乙数的 1 。
9 8 9 8
方法 3:从分数意义上来看。

2 3
由于甲数的 等于乙数的 ?
3 4
6 6
甲数的 等于乙数的 ?
9 8
甲数的 1 等于乙数的 1 ,
9 8
所以,仍可以用上题的方法进行解释。
方法 4:转化关系式。
2 3
甲数的 等于乙数的 ,即
3 4
甲数 ? 2 = 乙数 ? 3 。
3 4
根据“一个因数等于积除以另一个因数”,可得
甲数 = 乙数 ? 3 ? 2 。
4 3
所以,甲数 = 乙数 ? 9 ,即甲数是乙数的 9 ,甲数比乙数大。
8 8


试一试


1 1
1. 已知甲数的 等于乙数的 ,问甲数大还是乙数大?
6 8
2. 已知甲数的 3 等于乙数的 4 ,问甲数是乙数的几分之几?
4 5


巧算计算题


高斯的巧算



在高斯 10 岁上小学的时候,他的老师出了一道题: 1+2+3+?
+99+100。在别人进行繁琐的连加运算时,高斯灵机一动提出妙招。这种 算法简捷、快速,使他的老师惊叹不已。
  高斯把这一长串数进行重新组合:把第一个加数与第 100 个加数相 加;再把第二个加数与第 99 个加数相加??这样,把 100 个加数分为
50 组,每组的两个加数之和都是 101。于是,他得出:1+2+3+?
+99+100=101×50=5050。 对于处在那个知识段的少年来说,这种算法可算是一种运用创造性
的思维解题的典型例子。


等差级数求和


从上面那个例子可以归纳出求连续自然数之和的法则: 第一个加数加第末个加数乘以加数个数的一半,即为这个连续自然
数之和。
用字母表示为
a1+a2+?+an-1+an
=(a1+an)×(n÷2)。
当加数个数是奇数时,上面的公式可变为:
(a1+an)÷2×n,即
n(a1 ? a n ) 。
2
  这种写法就是到高中时才能学到的等差级数的求和公式。这个公式 把高斯小时候提出的那种单独解某个题的方法提到新的高度,即只要这 一串由小到大排列的数,相邻两项之差相同,就都可以用这种方法求和。



倒排相加法


高斯算的那道题,还可以采用倒排相加的办法来解决。具体做法是: 解:

因此,1+2+3+?+99+100=101×100÷2=5050。 这种做法和高斯的做法本质上是相同的,但是思路是有区别的。它
为我们提供了一种重要的数学方法。

例 1 计算:2+4+6+?96+98。 解:

因此,2+4+6+?96+98=100×49÷2=2450。 例 2 计算:3+5+?97+99。
解:






因此,3+5+?97+99=102×49÷2=2499。


利用中间项


当一串连续数的个数为奇数时,可以利用中间项求和。 比如,计算 1+2+3+4+5+6+7。
这个加式的中间项显然是4。要是不易观察时,可以用首项加末项
1 + 7

之和除以2得出。上式的中间项 =
2

? 4。

  我们观察这 7 个加数,发现它们以 4 为中心,左右对称的两数之和 为 8。即



所以,原式可变形为

  因此,我们得出:当连续数的个数是奇数时,它们的和等于中间数 乘以加数个数。
例 3 计算:21+22+23+24+25+26+27+28+29。 解:21+22+23+24+25+26+27+28+29
=25×9×225。
例 4 计算:1+2+3+?+98+99。 解:1+2+3+?+98+99=50×99=4950。
  当连续数的个数是偶数时,仍然可以用这种办法,只不过把加式分 为两部分就可以了。
比如,计算 1+2+3+?+99+100。 解:1+2+3+?+99+100
=50×99+100
=4950+100
=5050。

  实际上,各种方法都可以归结到利用等差级数求和的公式上去。只 是在特殊情况下,用特殊方法去计算,运算的速度会更快些。

从 1 到 10 亿


  高斯的巧算耐人寻味,我们能不能用这种解题思想解决一些实际问 题呢?
有这样一道题:请你计算一下,从1到10亿,这10亿个数的 数 字 之
* *
和是多少?
  在解这道题之前,必须弄明白,“10 亿个数的数字之和”指的是什 么?千万不要与“这 10 亿个数之和”相混淆。举个例子吧。比如,1、2、
3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 这 12 个数的数字之和是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=51。 哇,这 10 亿个数的数字之和怎么加呀?
这时,请你不要急于动手去加,要好好想想高斯的巧算。 我们不妨在这 10 亿个数前加一个“0”,这样做不会改变计算的结
果,但却改变了数字的个数。我们可以把前面 10 亿
个数两两分组。
0 和 999999999;1 和 999999998;
2 和 999999997;3 和 999999996;
???????????????
依此类推,前 10 亿个数可分为 5 亿组,各组的数字之和为
0+9+9+9+9+9+9+9+9+9=1+9+9+9+9+9+(+9+9+8=??=81。最后一个数
1000000000 不成对,它本身的数字之和是 1。 所以,这 10 亿个数的数字之和为
(81×500000000)+1=40500000001。 学习别人的东西不能照戎芦画瓢,而应该根据变化了的情况灵活地
加以运用。


试一试


1.计算: (1)1+3+5+7+9+11+13+15+17 (2)2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
2.计算: (1)11+13+15+?+89+91 (2)10+12+14+?+88+90
3.计算: (1)1949+1950+?+1992
(2) ( 1+3+ ? +1989+1991 ) - ( 2+4+ ? +1900+1992 )

4.请你计算一下,从 1 到 1000,这 1000 个数的数字之和是多少?


化大为小


  “化大为小”是数学中的一种重要思想方法。有些题目数目多,关 系复杂。遇到这种情况,我们常常从数目较小的特殊情况入手,研究题目 的特点,找出一般规律。即所谓“由特殊到一般”,这也是人类认识世界 的重要方法。
例 1 计算下面方阵中所有数的和。
1 2 3 ??100 2 3 4 ??101 3 4 5 ??102
?????????
100 101 102??199











这道题按高斯的方法一行一行地计算未尝不可,但是这样做比较麻
烦。有没有简单的方法呢?
  100×100 这个方阵比较复杂,我们把这个问题“化大为小”,先观 察 5×5 的方阵。
容易看到,对角线上 5 个 5 之和为 25。 这时,如果把对角线下面的部分用剪刀剪开,并把剪下的部分与对
角线上面的部分对接,那么我们就会发现:

这 5 个斜行之和均为 25。 因此,5×5 方阵中所有数的和为
25×5=53=125。
易知,100×100 方阵中所有数的和为
10000×100=1003=1000000。
例 2 把自然数中的偶数 2、4、6、8??依次排 5 列(如图)


第 第 第 第 第
一 二 三 四 五
列 列 列 列 列

2 4 6 8
16 14 12 10
18 20 22 24
32 30 28 26
34 36 38 40
48 46 44 42
? ? ? ? ?


我们把最左边的一列叫第一列,从左到右顺次编号。请问“1992”出现 在哪一列?
我们知道,从 2 到 1992 共有:1992÷2=996 个偶数。 我们发现,从前到后,前 8 个偶数为第一组,以后按顺序编成第二
组、第三组??后面各组都重复第一组的排列顺序。这个规律是:每组 的前 4 个偶数,按由小到大的顺序,分别排在第二、三、四、五列,每 组的后 4 个偶数,按由小到大的顺序,分别排在第四、三、二、一列。 因此,由 996÷8=124??4 可知,996 个偶数可分为 124 组还余 4
个。所以,1992 应排在第五列。

试一试

1.下面这个由连续奇数组成的 5 阶方阵中,所有数的和是多少?

1 3 5 7 9 3 5 7 9 11 5 7 9 11 13 7 9 11 13 15 9 11 13 15 17

2.计算下面方阵中所有数的和。
1 3 5 ?? 97 99 3 5 7 ?? 99 101 5 7 9 ?? 101 103 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 99 101 103 ?? 195 197


巧用凑整法


  对于某些特殊加数的加法,常常用凑整十、整百、整千??的方法 进行简算。
例 1 计算:99.9+11.1。

  分析:先把 99.9 拆成 90+9+0.9,再把 11.1 拆成 10+1+0.1,然后把 它们重新组合,凑整。
解:99.9+11.1
=(90+10)+(9+1)+(0.9+0.1)
=100+10+1
=111
例 2 计算:9+98+997+6。
分析:先把 6 拆成 1+2+3,然后把它们重新组合、凑整。 解:9+98+997+6
=(9+1)+(98+2)+(997+3)
=10+100+1000
=1110
例 3 计算:9+99+999+9999。
  分析:从 9 里取出 3 个 1,分别与 99、999、9999 相加,凑成整百、 整千、整万,然后再相加。
解:9+99+999+9999
=(9-3)+(99+1)+(999+1)+(9999+1)
=6+100+1000+10000
=1116
例 4 计算:
125+125+125+125+125+125+125+120。
  分析:我们知道 125×8=1000,可是现在只有 7 个 125。这时,我们 不妨假定最后一个数也是 125。这样总和多了 5,再减去 5 就是了。
解:125+125+125+125+125+125+125+120
=125×8-5
=1000-5
=995
例 5 计算:567-98。
  分析:可先从 567 中减去 100,这样比应减的 98 多减了 2,再加上 2 就是最后的结果。
解:567-98
=567-100+2
=467+2
=469

试一试

计算下面各题:
1.0.+0.99+0.999+0.9999+0.99999
2.8+88+888+6
3.7.87+3.23
4.689-397

“以乘代减”


有这样一种两位数相减:相减的两位数的个位和十位数字恰好相
反。对于这种减法,可以用十位数字减去个位数字的差乘以 9 就行了。 比如,83-38=(8-3)×9=5×9=45。
这是由于
83-38
=(10×8+3)-(10×3+8)
=10×8-8+3-10×3
=8×(10-1)-3×(10-1)
=(8-3)×9
=5×9
=45
如果用字母表示具有上述特点的两个数相减(即ab ? ba,其中,a ? b,
a、b 皆不为 0),那么上述过程可表述如下:
(10a+b)-(10b+a)
=(10a-a)-(10b-b)
=9a-9b
=9(a-b)
例 计算:(1)43-34;(2)64-46;(3)73-37。 解:(1)43-34=(4-3)×9=9;
(2)64-46=(6-4)×9=18;
  (3)73-37=(7-3)×9=36。 这样一来,使这种类型减法的运算速度大大加快了。

试一试

计算下列各题:
21-12 31-13 41-14 51-15 62-26 72-27 82-28 92-29 83-38 93-39 54-45 74-47 65-56 75-57 76-67 86-68 96-69 87-78 97-79 98-89



巧算退位减法



退位减法,都出现在被减数某个数位上的数字,小于同一数位上减
数的数字时。借一当十,然后用心计算结果。尽管这样做并不难,但是 常常由于口算不熟而出现计算错误。
下面,我们通过两道题的计算,寻求退位减法的新方法。

(1)

4275
? 3347
928

(2)

50872
? 1699
49173

(1)个位上 5 比 7 少 2,差为 8;百位上 2 比 3 少 1,差为 9。 (2)个位上 2 比 9 少 7,差为 3;十位上 6 比 9 少 3,差为 7;千位上

0 比 1 少 1,差为 9。 我们不难发现:
相同数位上,被减数比减数少 1,差为 9;被减数比减数少 2,差为
8??被减数比减数少 9,差为 1。 从中,我们很容易总结出:在计算退位减法时,被减数比减数少的
数的补数就是所求的差。
  什么是补数呢?比如,3+7=10。我们就说 3 是 7 的补数,7 也是 3 的补数,3 和 7 互补。
  这样一来,我们就可以先求被减数比减数少的数,然后再用凑 10 的 方法求差了。
例 计算下列各式
6 0 5 3 1 7 2 4 8 0

? 4 8 7 5 6
1 1 7 7 5

? 6 8 7 5 9
3 7 2 1

↑↑↑ ↑↑ ↑
少少少 少少 少
3 3 5 7 3 9


                    试一试

计算下列各式:
56078 81243

? 27359

? 56752





弃九验算法(一)


  在验算多位数加减法时,同学们大都根据运算定律或互逆关系。这 样做实际上是把原题变换了一种方式又重作了一遍。为了减少计算上的 差错,自然做两遍是值得的。但是,这样太费时间。有没有更简单的验 算方法呢?有。这种方法叫“弃九法”。
为了弄懂这种方法,先要懂得“去九数”。把一个数的各位数字相
加,直到和是一个一位数,我们把这个数叫做原来数的“去九数”。例 如:
278:2+7+8=17→1+17=8(去九数)
361:3+6+1=10→1+0=1=(去九数)
5674:5+6+7+4=22→2+2=4(去九数) 去九数也可以这样求得:把一个数中的数字 9 或相加得 9 的几个数
字都划去,将剩下的数字相加,得到一个小于 9 的数,这个数就是原来 数的去九数。
弃九法就是用去九数进行的。
1.加法题
  两个多位数相加的结果是否正确,可以用弃九法。具体做法是:先 求出每个加数的去九数,然后把它们相加。如果这个和的去九数与原来 计算的和的去九数相等,那么原来的计算是正确的,否则原来的计算就
  
是错误的。
例 1 判断以下两题计算的结果是否正确: (1)872+6541=7413;(2)3705+6428=10123。









一般地说,由于最后两个去九数相等,所以这道题的原计算结果是 正确的。







所以,这道题的计算是错误的。正确答案为 10133。 为了便于观察,上述两题也可以写成下面的形式:





  其中,左边为第一个加数的去九数,右边为第二个加数的去九数, 上边为原加式和的去九数,下边为左右两数和的去九数。
2.减法题
我们知道,减法与加法互为逆运算: 减数+差=被减数。 因此,验算减法可以仍用算加法的办法来进行。 例 2 判断以下两题计算的结果是否正确。 (1)8675-5489=3186;(2)10439-9996=443。







由于最后两个去九数相同,所以,一般地说,这道题的原计算结果 是正确的。







同样地,一般地说,这道题的原计算结果也是正确的。 当然,上面的做法也可以写成简单形式:


  不过,这时左边为减数的去九数,右边为原减式差的去九数,上边 为被减数的去九数,下边为左右两数和的去九数。
  这种弃九法的根据是什么呢?它就是利用一个数被 9 整除的特性。 细心的同学一定已经看出来了,一个数的去九数就是这个数被 9 除后的 余数。如果原来的计算是正确的,那么加式等号两边的余数是相同的; 如果等号两边的余数不同,那就说明计算一定有错误。
应该说明的是,这种方法并不是万灵的:
1.答案中多写或少写 0 是查不出来的;
2.答案中数字的顺序写颠倒了是查不出来的;
  3.你所写错的数正好也符合弃九法,这也是查不出来的(尽管这种 可能性很小)。
  但是,作为一种辅助方法,应该说在大多数情况下弃九法还是有用 的。

多位数乘以 11


  一个两位以上的数乘以 11,若用竖式计算,则很容易看出,这种算 法实际上就是错位相加。
比如,(1)36×11=398;(2)143×11=1573。

36
? 11
36
36
396

143
? 11
143
143
1573

我们认真观察以上两个算式就会发现:
36 ? 11 ? 3 9 6 143 ? 11 ? 1 5 7 3
↑ ↑↑
3 ? 6 1 ? 4 4 ? 3
  积的头尾两位数字与被乘数的两个数相同,中间的数字就是被乘数 相邻的两个数字相加的和,满十要进一,这就是这种乘法的法则。有的 人形象地把上述过程通俗地概括为“头尾一拉,中间相加”。
例 1 计算:534×11。




534×11=5874。
例 2 计算:876245×11。






876245×11=9638695。

  注意:这里出现了进位的情况,前两位数字之和满十进一,积的第 一位数字就比被乘数的第一个数字大 1。以下情况与此类似,这里就不一 一赘述了。
例 3 计算:3241×33。 解:3241×33
=3241×3×11
=9723×11
=106953




这道题的乘数是 11 的 3 倍,可以先将被乘数乘以 3,然后再乘以 11。

试一试

计算下列各题: 647×11 2058×11 70561×11 135×33 321×66 10101×99

十位相同、个位是“5”两数积


  十位数字相同,个位数字是“5”的两个两位数相乘,实际上就是个 位是“5”的两位数的平方。这样两个两位数相乘的具体法则是:相乘积 的末两位一定是 25,首位是十位数字乘以它大 1 的数。
比如,(1)45×45;(2)75×75
(1) 45 ? 45 ? 20 25

4 ? (4 ? 1)
(2) 75 ? 75 ? 56 25

7 ? (7 ? 1)
这是因为
45×45=(40+5)×(40+5)
=40×40+(5+5)×40+5×5
=1600+400+25
=400×(4+1)+25
=100×4×(4+1)+25,
75×75=(70+5)×(70+5)
=70×70+(5+5)×70+5×5
=4900+700+25
=700(7+1)+25
=100×7×(7+1)+25。
一般地说,若两位数是a5(a为自然数),则a5 ? 10a ? 5,
(10a+5)(10a+5)=100a(a+1)+25。

其中,a(a+1)是积的前半部分;25 是积的后半部分;前半部分乘以
100 再加后半部分,正好把两部分对接在一起了。 这样一来,对于求末位是 5 的两位数的平方这类特殊问题,就非常
容易了。 上述两题可以这样做:
45×45→首位 4×5=20。末位 25→2025
75×75→首位 7×8=56,末位 25→5625

试一试

直接写出下列各式的结果:
25×25 35×35 45×45 55×55
65×65 75×75 85×85 95×95

十几乘十几,几十一乘几十一


  十位数字是 1 的两个两位数相乘或个位数字是 1 的两个两位数相 乘,有一种共同的简算方法。具体的法则是:把两个乘数中的十位数字 相乘积写在积的百位上,把两个乘数中的不同的两个数字相加之和写在 乘积的十位上;把两个乘数中的个位数字相乘积写在乘积的个位上。
比如,(1)12×13;(2)21×31。
百 十 个
(1) 12 ? 13 ? 1 5 6
↑ ↑ ↑
1 ? 1 2 ? 3 2 ? 3
(2)21 ? 31 ? 6 5 1
↑ ↑ ↑
2 ? 3 2 ? 3 1 ? 1
这是因为
12×13=(10+2)(10+3)
=1×1×100+(2+3)×10+2×3
=100+50+6
=156,
21×31=(20+1)(30+1)
=2×3×100+(2+3)×10+1×1
=600+50+1
   =651。 这里应指出的是:每次运算结果出现满十或几十的,就要向前进一
或进几。 比如,(3)15×17;(2)41×71。




1×1 5 ? 7 5×7
? 1 ? 3 进3
进1
(4)41 ? 71 ? 29 1 1
↑ ↑ ↑
4 ? 7 4 ? 7 1? 1
? 1 进1
进2
一般地说,上述两个特殊方法可概述为:
1.若两个两位数分别是1a、1b(a、b为自然数),则1a ? 10 ? a,1b ? 10 ? b,
(10+a)(10+b)=1×1×100+(a+b)×10+ab。
  其中,1×1 就是百位数;a+b 就是十位数(够 10 进位);ab 就是个 位数(够 10 进位)。
2.若两个两位数分别是c1、d1(a、d为自然数),则c1 ? 10c ? 1,
d1 ? 10d ? 1,(10c ? 1)(10d ? 1) ? c ? d ? 100 ? (c ? d) ? 10 ? 1 ? 1。


其中,c×d 就是百位数(若有进位,它就占据千位和百位);c+d
就是十位数(够 10 进位);1×1 就是个位数。

试一试

计算下列各题:
17×18 71×81 14×19 41×91
16×13 91×61 17×12 51×71

十位相同,个位相补两数积


  十位数字相同,个位数字相补的两个两位数相乘,具有这样的法则: 它们的相乘积的末两位数是这两个两位数的个位数字之积,首位是十位 数字乘以比它大 1 的数。
比如,(1)74×76;(2)81×89。
(1) 74 ? 76 ? 56 24
↑ ↑

7 ? (7 ? 1)

4 ? 6

(2) 81×89 ? 72 09
↑ ↑

8×(8 ? 1)
这是因为

1×9

74×76=(70+4)(70+6)
=70×70+(4+6)×70+4×6
=70×80+4×6
=7×(7+1)×100+4×6
=5624,
81×89=(80+1)(80+9)

=80×80+(1+9)×80+1×9
=80×90+1×9
=8×(8+1)×100+1×9
=7209。
一般地说,若一个两位数的十位数字是 a,个位数字是 b,则 (10a+b)[10a+(10-b)]
=100a2+100ab+100a-100ab+10b-b2
=100a2+100a+10b-b2
=100a(a+1)+b(10-b)。 其中,a(a+1)就是乘积的前半部分;b(10-b)就是乘积的后半部分;
前半部分乘以 100 再加后半部分,正好把两部分对 接在一起了。
  应当指出的是,如果是两个三位数相乘,并且这两个三位数的百位 和十位数字相同,个位数字互补,那么上述法则依然成立。
比如,134×136。 根据同样的法则可得
134 ? 136 ? 182 24
↑ ↑

13 ? (13 ? 1)

4 ? 6



试一试


计算下列各式:
37×33 76×74 92×98
51×59 64×66 85×85

十位相补、个位相同两数积


  个位数字相同,十位数字相补的两个两位数相乘,具有这样的法则: 它们的相乘积的末两位数是个位数字的平方,首位是两个十位数字之积 再加上一个个位数字。
比如,(1)24×84;(2)33×73。

(1)

24×84 ? 20 16
↑ ↑
2×8 ? 4 4×4

(2) 33×73 ? 24 09
↑ ↑
3×7 ? 3 3×3
这是因为
24×84=(20+4)(80+4)
=20×80+4×80+20×4+4×4
=1600+400+42
=100(16+4)+42
=100(2×8+4)+42

=2016,
33×73=(30+3)(70+3)
=30×70+3×70+30×3+3×3
=2100+300+32
=100(21+3)+32
=100(3×7+3)+32
=2409。
一般地说,若一个两位数的十位数字是 a,个位数字是 b,则 (10a+b)[10(10-a)+b]
=(10a+b)[100-10a+b]
=1000a+100b-100a2-10ab+10ab+b2
=100[10a-a2+b]+b2
=100[a(10-a)+b]+b2。
其中, a(10 - a)+b 就是乘积的前半部分; b2 就是乘积
的后半部分;前半部分乘以 100 再加后半部分,正 好把两部分对接在一起了。

试一试

计算下列各式:
21×81 34×74 46×66
92×12 83×23 57×57

接近 100 的两数积


  这里的说的接近,一般是指和 100 上下不超过 9 的数。由于这种乘 法比较复杂,我们打算分三种情况进行讨论。
1.两个乘数都比 100 小
例 1 98×94。

  这里,前面减式中,98 是被乘数,6 是乘数个位数字的补数。后面 乘式中,2 和 6 分别是被乘数和乘数个位数字的补数。
这是因为
98×94=(100-2)(100-6)
=1002-100×2-100×6+2×6
=(100-2-6)×100+2×6
   =(98-6)×100+2×6。 例 2 91×97。
   

2.两个乘数都比 100 大 例 3 102×107。







  这里,前面加式中,102 是被乘数,7 是乘数的个位数字。后面乘式 中,2 和 7 分别是被乘数和乘数的个位数字。
这是因为
102×107=(100+2)(100+7)
=1002+100×2+100×7+2×7
=(100+2+7)×100+2×7
=(102+7)×100+2×7。 例 4 103×103。






3.一个乘数比 100 大,另一个乘数比 100 小 例 5 106×98。







  这里,前面减式中,106 是被乘数,2 是乘数个位数字 8 的补数。后 面乘式中,6 是被乘数的个位数字,2 仍是 8 的补数。
这是因为
106×98=(100+6)(100-2)
=1002+100×6-100×2-6×2
=(100+6-2)×100-6×2
=(106-2-1)×100+100-6×2。 例 6 93×107。







例 6 中,93×107=107×93,所以例 6 和例 5 这两种情况是一致的。 由此看来,三种情况应有三种法则。

  法则 1:当两个乘数都比 100 小的时候,它们的积可分为两部分来 求,前面两位数是第一个乘数与第二个乘数个位数字的补数之差,后面 两位数的两个乘数个位数字补数之积。
  法则 2:当两个乘数都比 100 大的时候,它们的积可分为两部分来 求,前面三位数是第一个乘数与第二个乘数个位数字之和,后面两位数 是两个乘数个位数字之积。
  法则 3:当一个乘数超过 100,一个乘数不足 100 的时候,它们的积 可分为两部分来求,前面三位数是大乘数减去小乘数个位的补数再减去
1,后面的两位数是 100 减去大乘数的个位数和小乘数个位数的补数之 积。
用文字表示法则往往是罗唆的,不如用字母简明。 设 a、b 是小于 10 的自然数,则
第一种情况是: (100-a)(100-b)
=1002-100a-100b+ab
=(100-a-b)×100+ab。
  其中,100-a 是第一个乘数,a、b 分别是第一、二个乘数个位数字 的补数。
第二种情况是:
(100+a)(100+b)
=1002+100a+100b+ab
=(100+a+b)×100+ab。
  其中,100+a 是第一个乘数,a、b 分别是第一、二个乘数的个位数 字。
第三种情况是:
(100+a)(100-b)
=1002+100a-100b-ab
=(100+a-b)-ab。 注意:第三种情况当然可以变形为 (100+a)(100-b)
=(100+a-b-1)×100+100-ab。
  其中,100+a 是第一个乘数,a、b 分别是第一个乘数的个位数和第 二个乘数个位数字的补数。
  在以上三种情况的讨论中,应用了初中的知识,比如,有理数的运 算和二项式相乘。看不懂的同学可暂时不看。

试一试

计算下列各式:
97×97 101×103 103×97
99×96 105×106 102×98

“首同尾 25”自相乘


末尾是 25 的三位数的平方,遵循以下法则:相乘积的末三位数一定
是 625,与 625 对接的前面的数(两位或三位数)是由原三位数百位和个 位数字组成的两位数与百位数字的积。
比如,1252,7252。

1252



7252

? 15 625
↑ ↑
15 ? 1 252
? 525 625
↑ ↑
75 ? 7 25 2

这是因为
1252=(100+25)2
=1002+2×100×25+752
=10000+5000+252
=(10+5)×1000+252
=15×1×1000+625
=15625,
7252=(700+25)2
=7002+2×700×25+252
=490000+35000+252
=(70+5)×7000+252
=75×7×1000+625
=52625。
  一般地说,若一个三位数的百位数字是 a,十位数字是 2,个位数字 是 5,则
(100a+25) 2
=10000a2+a×100a×25+252
=10000a2+5000a+252
=(10a+5)×a×1000+625。
  其中,(10a+5)×a 就是乘积的前半部分;625 就是乘积后半部分; 前半部分乘以 1000 再加后半部分,正好把两部分对 接在一起了。

试一试

计算下列各式:
2252 3252 4252 5252 6252 8252 9252

“首同尾 75”自相乘


末尾是 75 的三位数的平方,遵循以下法则:相乘积的末三位数仍为
625,与 625 对接的前面的数(两位或三位数)是由原三位数百位和个位 数字组成的两位数与百位数字加 1 的积。
比如,3752,8752。

3752

? 140 625


35 ? (3 ? 1)
8752 ? 765 625

85 ? (8 ? 1)
  这个法则的推导过程比较复杂,只能用初中的知识才能说清楚。下 面,我们把推导过程写出来,一方面是为了从理论上说清法则的正确性; 另一方面是为了前后知识的连贯、完整。
  一般地说,若一个三位数的百位数字是 a,十位数字是 7,个位数字 是 5,则
(100a+75)2
=10000a2+2×100a×75+752
=10000a2+15000a+5625
=(10a2+15a+b)×1000+625
=(10a+5)(a+1)×1000+625。
  其中,(10a+b)(a+1)就是乘积的前半部分;625 就是乘积的后半部 分;前半部分乘以 1000 再加后半部分,正好把两部分对接在一起了。

试一试

计算下列各式:
1752 2752 4752 5752 6752 7752 9752

“以加代乘”

当乘数为 1.5 或 15 时,可以以加法代替乘法。具体办法是:当乘数
为 1.5 时,可用被乘数加上它的一半,即为积;当乘数为 15 时,可用被 乘数加上它的一半,再乘以 10,即为积。
例 1 计算:
(1)246×1.5 (2)421×1.5 (3)472×15 (4)365×15 解:(1)246×1.5=246+123=369;
(2)421×1.5=421+210.5=631.5;

(3)472×15 ? (472 ? 472 )×10 ? (472 ? 236)×10
2
? 708×10 ? 7080
(4)365×15 ? (365 ? 365 )×10 ? (365 ? 182.5)×10
2
? 547.5×10 ? 5475
以(1)、(3)为例。这是因为
246×1.5 ? 246×(1 ? 1 ) ? 246 ? 246 ,
2 2
472×15 ? 472×1.5×10 ? 472(1 ? 1 )×10
2
? (472 ? 472 )×10
2
当乘数为 1.25 或 125 时,也可以以加法代替乘法。具体办法是:当
乘数为 1.25 时,可用被乘数加上它的四分之一,即为积;当乘数为 125 时,可用被乘数加上它的四分之一,再乘以 100,即为积。
例 2 计算:
(1)336×1.25 (2)462×1.25 (3)132×125 (4)837×125
解:(1)336 ? 1.25 ? 336 ? 336 ? 336 ? 84 ? 420;
4
(2)462 ? 1.25 ? 462 ? 462 ? 462 ? 115.5 ? 577.5;
4
(3)132 ? 125 ? (132 ? 132 ) ? 100 ? (132 ? 33) ? 100
4
? 165 ? 100 ? 16500;
(4)837 ? 125 ? (837 ? 837 ) ? 100 ? (837 ? 209.25) ? 100
4
? 1045.25 ? 100 ? 104625。


以(1)、(3)为例。这是因为
336 ? 1.25 ? 336 ? (1 ? 1 ) ? 336 ? 336 ;
4 4
132 ? 125 ? 132 ? 1.25 ? 100
? 132 ? (1 ? 1 ) ? 100
4
? (132 ? 132 ) ? 100。
4


试一试


计算下列各题:
128×1.5 547×1.5 7864×1.5 234×15 469×15 6432×15 124×1.25 227×1.25 2864×1.25 326×125 463×125 1648×125


“以除代乘”


当乘数为 5 、 25 、 125 时,都可以用除法代替乘法。具
体办法是:
1.用 5 去乘一个数时,如果这个数是偶数时,那么可将这个数先除
以 2,再扩大 10 倍,即为积;如果这个数是奇数时,那么可将这个数先 扩大 10 倍,再除以 2,即为积。
  2.用 25 去乘一个数时,可将这个数先除以 4,然后再将所得的商向 右移两位小数点,即为积。
  3.用 125 去乘一个数时,可将这个数先除以 8,然后再将所得的商 向右移动三位小数点,即为积。
例 1 计算: (1)84×5;(2)437×5。
解:(1)84 ? 5 ? 84 ? 10 ? 42 ? 10 ? 420;
2
(2)437 ? 5 ? 437 ? 10 ? 2 ? 4370 ? 2 ? 2185。
这是因为
84 ? 5 ? 84 ? 10 ? 84 ? 10,
2 2
437 ? 5 ? 437× 10 ? 437×10 ? 2。
2
  显然,第一题的被乘数是偶数,先除以 2,再扩大 10 倍,这样计算 比较好些。第二题的被乘数是奇数,先扩大 10 倍,再除以 2,这样计算 比较好些。
例 2 计算:
(1)412×25;(2)321×25。
解:(1)412×25 ? 412 ×100 ? 103×100 ? 10300;
4
(2)321×25 ? 321 ×100 ? 8025×100 ? 8025。
4
这是因为
412×25 ? 412× 100 ? 412 ×100,
4 4
321×25 ? 321× 100 ? 321 ×100。
             4 4
例 3 计算:
(1)464×125;(2)817×125。
解:(1)464×125 ? 464 ×1000 ? 58000;
8
(2)817×125 ? 817 ×1000 ? 102125。
8
这是因为
464×125 ? 464× 1000 ? 464 ×1000,
4 8
817×125 ? 817× 1000 ? 817 ×1000。
8 8

试一试


计算下列各题:
96×5 826×5 971×5 84×25 124×25 325×25 168×125 864×125 321×125


巧妙的试商法


  应该说一位数除法都可以用撞商的办法去试商,所有巧妙的方法也 不见得巧多少。这里着重研究有代表性的两位数除法。

首位试商法

首位试商法是一种基本的方法。所谓首位是指除数的首位。
  1.当除数的个位是 1、2、3 时,可先用四舍五入法后再用首位试商 法进行试商。比如,除数是 51、72、93,可分别看作 50、70、90 去试商。 因此,这种方法又叫“去尾法”。
当除数前两位够除时,比如,744÷31,除数取首位 3,被除数取 7
进行试商,显然商 2,商的首位写在被除数的十位上。具体过程是:
2
31 744
62
124
  当被除数前两位不够除时,就取三位来试商,比如,1218÷42,除 数取 4,被除数取 12 来试商,估计商 3。但是,这时要验证一下,3 与
42 的积是否大于被除数 121,若大于 121,则应改商 2,商的首位写在被
除数的十位数字上。具体过程是:
2
42 1218
84
378
  以上,我们仅仅说明这类问题求商的首位及定位的方法,其实,以 后再除的方法依旧,无非是陆续除得的商,挨位写下去就是了。上述两 题完整的做法如下:
  
24
31 744
62
124
124
0

29
42 1218
84
378
378
0

  2.当除数的个位是 7、8、9 时,仍先用四舍五入法,再用首位试商 法进行试商。比如,除数是 47、68、89,可分别看作 50、70、90 去试商。 因此,这种方法又叫“进一法”。
  
  当被除数的前两位够除时,比如,846÷47,把 47 看作 50,除数取 首位 5,被除数取 8 进行试商,显然商 1。商的首位写在被除数的十位上。 具体过程是:
1
47 846
47
376
当被除数前两位不够除时,就取三位来试商,比如,2262÷78,把
78 看作 80,除数取首位 8,被除数取 22 来试商,估 计商 2。但是,这时要验证一下,2 与 78 的积是否大于被除数 226,若大
于 226,则应改商 1,商的首位写在被除数的十位数上。具体过程是:
2
78 2262
156
702
以上两题的完整过程是:
18 29 47 846 78 2262
47
376
376
0

156
702
702
0

以上两种情况都是除数接近整十数的情况。
  3.当除数的个位是 4、5、6 时,仍可以按首位试商法,但是往往要 试商多次。这时,最好的办法是一律按末尾是 5 的情况去试商。这种方 法要熟记 15、25、35??95 乘以 2 至 9 的积。比如,1224÷36,把 36 看作 35,而 35×3=105,显然商 3。全过程是:
34
36 1224
108
144
144
0


“商 5 法”

两位数作除数的除法,什么时候商 5 呢?
  1.当一次能除尽的时候,可用“商 5 法”:当除数(两位数)10 倍的一半与被除数相等(或相近),可以直接试商“5”。
例 1 计算:(1)70÷14;(2)125÷25。
解:(1) 5
14 70
70
0
14 的 10 倍是 140,它的一半正好是 70,所以直接商 5。

(2)

5
25 125
125
0

25 的 10 倍数是 250,它的一半正好是 125,所以直接商 5。 上述办法对一次可以除尽的题是有效的,但是对一次除不尽的题,
在表述上就显得不够完善了。
  2.当一次不能除尽的时候,可用“无除半商 5”:“无除”是指被 除数的前两位不够除;“半商 5”是指若被除数的前两位恰好等于(或接 近)除数的一半,则可以直接商 5。
例 2 计算:(1)1248÷24;(2)2385÷45。 分析:(1)当被除数的前两位 12 不够除时,就取前三位 124 来试商。
因为被除数的前两位 12 正好等于除数 24 的一半, 所以可以直接商 5。
  (2)当被除数的前两位 23 不够除时,就取前三位来试商。因为被除 数的前两位 23 接近除数 45 的一半,所以可以直接商 5。
  
解:(1) 52

(2) 53

24 1248 45 2385

120
48
48
0

225
135
135
0

这种试商的方法是针对一种特殊情况的: “同头”是指被除数和除数的最高位的数字相同;“无除”仍指被
除数前两位不够除。在这时,商定在被除数从前数第三位数字上边,直
接商 8 或 9。 这样一来,对这种特殊除法的试商速度将大大加快。
例 3 计算:(1)5742÷58;(2)4172÷48。
  分析:因为这两道题的被除数和除数的最高数位的数字相同,并且 被除数的前两位不够除,所以都可以用“同头无除商 8、9”。至于到底
商 9 还是商 8,就要试商了。

解:(1) 99

(2) 87

58 5742 48 4176

522
522
522
0

384
336
336
0



“商 9 法”


  试商 9 的方法很多,但有时不能一次完成,有没有一次定商为 9 的 方法呢?有。我们以除数为两位数的除法为例。具体做法是:两位数除 多位数,当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数,且前三位数字 临时组成的数与除数之和大于或等于除数的 10 倍时,可以一次定商为
9。

一般地说,假设被除数为 m,除数为 n,只有当 9n≤m<10n 时,n 除
m 的商才能是 9。同样地,10n≤m+n<11n。这就是我们上述做法的根据。 例 4 下列哪些算式可以一次定商为 9

(1)
(4)

31 290
64 596

(2)
(5)

21 180
67 590

(3)
(6)

54 486
76 684


解:(1)290+31=321>31×10 (2)180+21=201<21×10 (3)486+54=540=54×10 (4)596+64=660>64×10 (5)590+67=657<67×10 (6)684+76=760=76×10
根据我们总结的法则,一次定商为 9 的是(1)、(3)、(4)、(6)。

例5 计算:(1)

49 4508

(2)

72 6480


  分析:对于被除数不是三位数时,应先考虑前三位被两位数除的情 况。
解:(1)由于 450+49=499>49×10,所以,第一次试商,可以定商为
9。
92
49 4508
441
98
98
0
(2)由于 648+72=720=72×10,所以,第一次试商时,可以一次定商
为 9。
90
72 6480
648
0


试一试

下列除式中哪些除式一定商 9?

(1)

38 346

(2)

67 601

(3)

43 389



(4)

26 225

(5)

55 514

(6)

88 803



(7)

47 1371

(8)

64 6272

(9)

91 8372




“以减代除”

当除数为 1.5 或 15 时,可以用减法代替除法。具体办法是:当除数
为 1.5 时,从被除数里减去它的三分之一,即为商;当除数为 15 时,从

被除数里减去它的三分之一,再除以 10,即为商。 比如,(1)1875÷1.5;(2)4890÷15。
解:(1)1875 ? 1.5 ? 1875 ? 1875 ? 1875 ? 625 ? 1250;
3
(2)4890 ? 15 ? (4890 ? 4890 ) ? 10
3
? (4890 ? 1630) ? 10
? 3260 ? 10 ? 326。
这是因为
1875 ? 1.5 ? 1875 ? 2 ? 1875 ? (1 ? 1 ) ? 1875 ? 1875 ,
3 3 3
4890 ? 15 ? 4890 ? 1.5 ? 10 ? 4890 ? 2 ? 10
3
? 4890 ? (1 ? 1 ) ? 10
3
? (4890 ? 4890 ) ? 10。
3

  这里应指出的是,当被除数不能被 3 整除时,大不必沿用此法,否 则画蛇添足。
其实,以上两道题还有另外的简算方法。具体法则是:当除数为 1.5
时,被除数乘以 2 再除以 3,即为商;当除数为 15 时,被除数乘以 2 再 除以 30,即为商。上述两题可按如下方法:
1875÷1.5=1875×2÷3=3750÷3=1250,
4890÷15=4890×2÷30=9780÷30=326。 这是因为
1875÷1.5=(1875×2)÷(1.5×2),
4890÷15=(4890×2)÷(15×2)。 这就是说,采用简算不必拘泥统一的套路,你习惯用什么方法就用
什么方法,决不能削足适履。

试一试

计算下列各式:
453÷1.5 639÷1.5 3726÷1.5 43125÷15 36240÷15 83421÷15

“以乘代除”

当除数为 5、25、125 时,都可以用乘法代替除法。具体办法是:用
5 去除一个数时,将这个数乘以 2 后,向左移一位小数点,即为商;用
25 去除一个数时,将这个数乘以 4后,向左移两位 小数点,即为商;用 125 去除一个数时,将这个数乘以 8 后,向左移三 位小数点,即为商。
例 1 计算:(1)76÷5 (2)375÷5 (3)2115÷25 (4)10800÷125

解:(1)76÷5=76×2÷10=152÷10=15.2; (2)375÷5=375×2÷10=750÷10=75; (3)2115÷25=(2115×4)÷100=8460÷100=84.6; (4)10800÷125=(10800×8)÷1000=86400÷1000=86.4。
这是因为
76÷5=(76×2)÷(5×2)=76×2÷10,
  2115÷25=(2115×4)÷100=23500÷100=235。 例 2 计算:5875÷25 解:按上面的作法,本题的计算过程是:
  5875÷25=(5875×4)÷25=235000÷100=235。 这道题有没有更简单的方法呢?有。下面我们对除式进行恒等变
形:
5875÷25=(5800+75)÷25
=(58×100+75)÷25
=58×100÷25+75÷25
=58×4+3
=232+3
=235
不难发现,当被除数的末尾两位数是 25 的倍数时,可以
去掉被除数的末尾两位数,乘以 4,再加上末尾两位 数除以 25 的商,即为原除式的商。
例 3 计算:(1)67500÷25 (2)3150÷25
      (3)8225÷25 (4)6175÷25 解:(1)67500÷25=675×4+0÷25
=2700+0
      =2700; (2)3150÷25=31×4+50÷25
=124+2
      =126; (3)8225÷25=82×4+25÷25
=328+1
      =329; (4)6175÷25=61×4+75÷25
=244+3
=247。

试一试

计算下列各式:
235÷25 1374÷25 7514÷25 1425÷25 6850÷25 3775÷25 426÷125 245÷125 8125÷125


弃九验算法(二)

弃九法不仅可以验算多位数加、减法,也可以验算乘、除法。
1.乘法题
  两个多位数相乘的结果是否正确,仍可以用弃九法。具体方法是: 先求出两个乘数的去九数,然后把它们相乘。如果这个积的去九数与原 来计算的乘积的去九数相等,那么原来的计算是正确的。否则,原来的 计算就是错误的。
例 1 判断以下运算的结果是否正确: (1)2467×429=1058343; (2)8459×376=3180584。







由于最后两个去九数相等,所以原计算结果是正确的。

同样地,这道题的原计算结果也是正确的。 为了便于观察,上述两题可以写成下面的形式:





  其中,左边为第一个乘数的去九数,右边为第二个乘数的去九数, 上边为原乘式积的去九数,下边为左右两数积的去九数。
2.除法题
  我们知道,除数×商=被除数。因此,验算除法可以仍用验算乘法的 办法进行。另外,有余数的除法也能用弃九法,这是因为
除数×商+余数=被除数。
例 2 判断以下运算的结果是否正确。 (1)229026÷931=246; (2)162621÷467=348??105。









所以,一般地说,这道题的原计算结果是正确的。



所以,同样地,一般地说,这道题的计算结果也是正确的。 当然,上面的做法也可以写成简单形式:
算得巧的下一页
成为本站VIP会员VIP会员登录, 若未注册,请点击免费注册VIP 成为本站会员.
版权声明:本站所有电子书均来自互联网。如果您发现有任何侵犯您权益的情况,请立即和我们联系,我们会及时作相关处理。


其它广告
联系我们     广告合作     网站声明     关于我们     推荐PDF     全部分类     最近更新     宝宝博客
蓝田玉PDF文档网致力于建设中国最大的PDF格式电子书的收集和下载服务!