蓝田玉PDF文档网 / 小学教育 / 小学数学趣题巧算 六年级分册
 


小学数学趣题巧算 六年级分册



内容简介


  本丛书的目的是培养和发展小学生的数学思维能力,使小学生在学懂数 学知识的同时学会思考,掌握思考方法,提高思维水平。
  本丛书按照学生的程度分册出版。全书分为六个分册,即一、二年级分 册,三年级分册,四年级分册,五年级分册,六年级分册和综合分册。各册 均选编了大量能启发思维的饶有趣味的例题和练习题,并通过对这些例题的 详细讲解,介绍给学生各种思考方法和计算技巧,以期能引导学生举一反三, 灵活运用已学过的数学知识。
  本丛书供小学生自学使用,也可作为教师开展课外数学小组活动以及家 长辅导孩子学习数学的参考书。











名师导学 小学数学趣题巧算 百题 百讲 百练
(六年级分册)
李树德 张玉山 张德勤 李异芳 主编
※ 北京工业大学出版社出版发行 各地新华书店经销 徐水宏远印刷厂印刷

1995 年 3 月第 1 版 1996 年 8 月第 2 次印刷
787×1092 毫米 32 开本 5 印张 110 千字 印数:21001~36000 册
ISBN7-5639-0435-2/G·215
定价:4.50 元
(京)新登字 212 号

编者的话


  一位教育家说过:“教会学生思考,这对学生来说,是一生中最有价值 的本钱。”学习数学的本身,就是要在学懂数学知识的同时,学会思考,掌 握思考的方法,培养和发展思维能力,提高思维水平。
  我们几位从事小学数学教学工作的老师,就是以教会学生思考为出发 点,结合学生学习的知识内容,编写《趣题巧算——百题 百讲 百练》这套 书的。全书分为一、二年级分册,三年级分册,四年级分册,五年级分册, 六年级分册和综合分册。书中列举百例,讲解这百题,同时又设计了一百道 练习题供学生练习用。通过小学生的自学,使他们学会思考。另外,这本书 也是教师开展课外数学小组活动及家长指导孩子学习数学的资料。
  在编写这本小册子的过程中,我们选用了一些竞赛试题或一些他人设计 的趣题,在此向这些作者致谢!
编者水平有限,经验不足,书中如有不当之处,敬请读者提出批评指正。

编者
1994 年 10 月

作者简介


  李树德 1941 年生。原任北京市东城区地坛小学副校长,北京市和东城 区数学奥林匹克学校骨干教师,特级教师,中学高级教师,中国数学奥林匹 克一级教练员,第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛主试委员会委员,第 八届“北京市迎春杯数学竞赛”命题组成员。长期从事小学数学教学工作, 有扎实的专业知识和理论基础,他撰写的论文多次获优秀成果奖,多次在省 市级刊物上发表有关数学教学文章。
  热心于小学数学奥林匹克教学工作,是东城区数学奥林匹克学校创始人 之一。他培养的学生多次在区、市、全国数学竞赛中获奖。为历届“迎春杯” 赛主教练,为东城区在北京市迎春杯数学竞赛中夺得三连冠做出了贡献。
  近年来参加编写了《“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题分析》、《小 学数学标准化题型研究与练习》、《小学数学百问》、《数学奥林匹克电视 讲座》等十余本书。
  张玉山 1940 年生。北京市东城区和平里第二小学副校长,中学高级教 师,中国数学奥林匹克一级教练员。多年从事小学数学教学工作,有扎实的 专业知识和理论基础。撰写多篇论文,多次获优秀成果奖,多次应省市级刊 物的邀请撰写有关数学的专栏文章及专题讲座。
近些年来,积极投身于数学奥林匹克学校的教学工作,是东城区数学奥
林匹克学校创始人之一,北京市和东城区数学奥林匹克学校的骨干教师,为 历届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛、“北京市小学迎春杯数学竞赛”的东 城区集训队主教练之一,为东城区连续三年在北京市迎春杯数学竞赛中夺 冠,为发现和培养数学人才做出了贡献。
近年来,曾编写和参加编写了《小学数学学习指导》、《“华罗庚金杯”
少年数学邀请赛试题分析》、《小学数学标准化题型研究与练习》、《趣题 巧解》以及北京市城近郊区小学奥林匹克教材《小学数学奥林匹克讲义》、
《小学数学奥林匹克辅导与练习》、《数学奥林匹克电视讲座》等十余本书。
  张德勤 1943 年生。1963 年参加工作,现任北京市东城区地坛小学副 校长,分管教学工作,中学高级教师。
长期从事小学数学教学工作,取得了较好的成绩。曾获北京市小学教学
案例评选一等奖,连续三年获得区优秀教学成果奖,连续三次获得市、区优 秀教学论文奖,两次被评为区优秀教育工作者和局级优秀园丁。
热心于小学数学奥林匹克事业,是东城区数学奥林匹克学校创始人之
一,是北京市和东城区数学奥林匹克学校骨干教师,中国数学奥林匹克一级 教练员。他培养的学生多次在区、市、全国各种数学竞赛中获奖,为东城区 连续三年在北京市迎春杯小学数学竞赛中夺冠做出了贡献。
  近年来,参加过《“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题分析》一书的编 写工作,参加了北京市城近郊区小学奥林匹克教材的编写和审订工作。与人 合作编写了《小学数学标准化题型研究与练习》、《小学数学百问》、《数 学奥林匹克电视讲座》等十余本书。配合教材,多次在省市级的刊物上发表 数学教学文章。
  李异芳 1946 年生。1965 年毕业于北京第一师范学校,多年从事小学 数学教学工作,后进入北京教育学院数学系进修,获大专学历。现任北京东 城区黑芝麻胡同小学教导主任,获中学高级教师职称。兼任北京市数学奥林
  
匹克学校东城分校教练员、东城区数学奥林匹克学校教练员及“华罗庚金杯” 少年数学邀请赛、“北京市小学迎春杯数学竞赛”东城区集训队主教练。
  曾参加编写《启蒙数学》、《小学数学重点难点疑点问答》、《小学数 学百问》、《小学数学奥林匹克讲义》、《数学奥林匹克辅导与练习》等书。
  
小学数学趣题巧算

一、百题

1.钟声


  小明家离火车站很近,他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大 楼的钟,每敲响一下延时 3 秒,间隔 1 秒后再敲第二下。
假如从第一下钟声响起,小明就醒了,那么到小明确切判断出已是清晨
6 点,前后共经过了几秒钟?

2.越减越多


同学们对这样的问题可能并不陌生:“一个长方形被切去 1 个角,还剩 几个角?”这种题的最大特点是答案不唯一,要根据去掉的这个角的不同情 况来确定“剩角”的多少。





图 1
  以上 3 幅示意图,表明了 3 种不同情况的 3 种不同答案。其中第 3 种情 况最有趣,长方形原有 4 个角,切去了 1 个角,反而多了 1 个角,出现了越 减越多的情况。下面一道题的思考方法与上题类似,看你能否正确回答。
“一个正方体,锯掉一个角,还剩几个角?”请注意,这里的“角”是
立体的“角”,它不同于平面上的角。

3.数一数


如果有人问你“会数数儿吗?”,你会不屑一顾地说:“这么大了,还 不会数数儿!”其实,数数儿的学问还是很大的。不信,请你数出下面几何 图形的个数。













图 2



4.画一画

下面这些图形你能一笔画出来吗?(不重复画)


图 3

5.最短的路线

养貂专业户养殖场内安置了 9 个貂笼(如下图)。为了节省每次喂食的







时间,他必须走一条最短的路,但又
图 4 不能漏掉一个貂笼,喂完食后还要回到原出发点。你能替他设计一条最
短的路线吗?并算出每喂食一次,至少要走多少米的路。

6.切西瓜


  六(1)班召开夏夜乘凉晚会,买来了许多西瓜。班主任李老师说:“今 天买来了许多西瓜请大家吃。在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数 学题。我规定,西瓜只能竖切,不能横剖。大家知道,切一刀最多分成 2 块,
切 2 刀最分成多 4 块,那么切 3 刀最多能分成几块?切 4 刀、切 5 刀、切 6
刀呢?这中间有没有规律?如果有规律,请同学们找出来。”李老师刚说完, 同学们就七嘴八舌地讨论起来。请你也参加他们的讨论吧。

7.均分承包田


有一块等腰梯形菜地(如下图),地边有一口水井。现在 3 户种菜专业 户都提出要承包这块地。经研究,决定让这 3 户共同承包这块地,因此必须 把这块地分成面积相等、形状相同且与这口水井的距离也要相等的 3 块地。 你能帮助解决这个问题吗?






图 5

8.巧分食盐水


  大家在常识课上认识了量杯。快下课时,王老师让我们用手中的量杯做 一个智力小游戏:
  有 30 毫升、70 毫升、100 毫升的量杯各 1 个,请你用这三个量杯把水槽 中的 100 毫升食盐水平均分成两份,但分的时候不准看量杯的刻度。大家动 手试一试,至少要分几次才成?

9.扩大鱼池


  养鱼专业户张强,去年承包了一个叫“金三角”的鱼池(如下图),喜 获丰收。为了进一步增产,决定把鱼池扩大。但有这样的要求:①扩大后的 鱼池必须仍是三角形,保持“金三角”鱼池的称号;②扩大后的鱼池面积是 原面积的 4 倍;③原鱼池的三个角上栽的 3 棵大柳树不能移动。你能替张强 设计一个施工草图吗?



10.巧妙的算法(一)

11=1 22=1+3
32=1+3+5 42=1+3+5+7
?? ?? 请你仔细观察上面这些算式,试着找出某种规律,并利用 这个规律迅速算出下面式子的答案:
(1)1+3+5+7+9+11+13+15
(2)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37
+39

11.巧妙的算法(二)

13+23=9 (1+2)2=9
13+23+33=36 (1+2+3)2=36
?? ?? 请你仔细观察上面两组算式,找出规律,并迅速算出下面算式的答案:
(1)13+23+33+43+53+63+73+83+93+103
(2)13+23+33+??+203

12.哪个分数大?



有三个分数

数大?

1111 、
11111

11111
111111

和 111111
1111111

,请你比较一下,哪个分

13.想办法巧算



计算:

1
1×2

1
+ 1×3

1
+ 1×4

+ ?? +

1
998×999 +

1
999×1000





   14.从 1 到 100 万


大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了。 传说他在十岁的时候,老师出了一个题目:1+2+3+??+99+100 的和是
多少?
老师刚把题目说完,小高斯就算出了答案:这 100 个数的和是 5050。 原来,小高斯是这样算的:依次把这 100 个数的头和尾都加起来,即
1+100,2+99,3+98,??,50+51,共 50 对,每对都是 101,总和就是 101
×50=5050。
  现在请你算一道题:从 1 到 1000000 这 100 万个数的数字之和是多少? 注意:这里说的“100 万个数的数字之和”,不是“这 100 万个数之和”。 例如,1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 这 12 个数的数字之和就是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=51。
请你先仔细想想小高斯用的方法,会对你算这道题有启发。

15.求数列的和


  你能用巧妙的方法,求出下列算式的结果吗?注意,高斯求和的方法在 这里用不上。
  
(1) 1 ? 1 ?

1 1 1 1 1
? ? ? ? ;

2 4 12

24 40

60 84

(2 ) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 。

3 15 35

63 99

143



16.不必大乘大除


  下面这道计算题,按一般运算法则计算是很麻烦的。如果你能发现数字 的特点,采用巧算,则这道题将变得很容易。请你不要用纸和笔,用脑子想 一想,就得出答案,行吗?(限 10 秒钟)
1994
1994×1994 ? 1995×1993


17.猜猜是几?

一个三位数,写在一张纸上,倒过来看是正着看的 1.5 倍,正着看是倒
过来看的 2 。这个三位数是几?
3

18.完全数

如果整数 a 能被 b 整除,那么 b 就叫做 a 的一个因数。例如,1、2、3、
4、6 都是 12 的因数。有一种数,它恰好等于除去它本身以外的一切因数的 和,这种数叫做完全数。例如,6 就是最小的一个完全数,因为除 6 以外的 6 的因数是 1、2、3,而 6=1+2+3。
你能在 20 至 30 之间找出第二个完全数吗?

19.有这样的数吗?


  小明异想天开地提出:“世界上应该存在这样两个数,它们的积与它们 的差相等。”他的话音刚落,就引起了同学们的哄堂大笑,大家都觉得这是 不可能的。但是,世界上有些事情往往产生于一些怪想法。小明的想法,后 来竟被同学们讨论证实了。
你能找到这样的两个数吗?告诉你,这样的数还不止一对呢!

20.两数的积与两数的和能相等吗?


  数学课上,小明偶然发现 2×2=2+2。下课后,小明问王老师:“2×2=2+2, 这样两数的积等于两数的和的情况,还有吗?”王老师听后很高兴地拍着小 明肩膀说:“你能在数学学习中敏锐地发现问题,提出问题,这是很宝贵的, 希望你能保持这个优点。你提的问题在数学中不是偶然的现象,
还可以举出很多实例。例如,3×1 1 = 3 + 1 1 ,甚至还有三个数的积等于
2 2
这三个数的和,四个数的积等于这四个数的和,五个数的积等于这五个数的 和。这些现象近似于数学游戏,有兴趣,你回去仔细想想,一定会找到答案 的。明天我们一起交换看法好吗?”小明听后高兴地接受了老师的建议。
同学们,你们能找出这样的数吗?

21.老路行不通


五年级的时候,我们在数学课上就学习过计算与三角形有关的阴影部分 面积的方法。但下面这道题却无法用习惯的方法解答,需要另辟蹊径。这条 要走的“新路”所依靠的知识,仍然是最基本的:如果几个三角形的底和高 都相等,那么它们的面积也相等。






图 7
已知:在△ABC 中,BC=5BD,AC=4EC,DG=GS=SE,AF=FG。 求阴影部分的面积占△ABC 面积的几分之几?

22.关键在于观察


你在数学课上学了不少几何图形的知识,掌握了不少平面图形的求面积
公式。但是有许多组合面积的计算,单靠这些知识是远远不够的,它更需要 对组合图形的观察能力。下面就是一道考查你的观察能力的题目。试试看, 你能很快做出来吗?
已知图内各圆相切,小圆半径为 1 ,求阴影部分的面积。






图 8

23.一筐苹果

入冬前,妈妈买来了一筐苹果。清理时,发现这筐苹果 2 个、2 个地数,
余 1 个;3 个、3 个地数,余 2 个;4 个、4 个地数,余 3 个;5 个、5 个地数,
余 4 个;6 个、6 个地数,余 5 个。你知道这筐苹果至少有多少个吗?

24.怎样分?


  有 44 枚棋子,要分装在 10 个小盒中,要求每个小盒中的棋子数互不相 同,应该怎样分?

25.不要急于动手

下图是一个正方形,被分成 6 横行,6 纵列。在每个方格中,可任意填
入 1、2、3 中的一个数字,但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各 不相同,这可能吗?为什么?









图 9

26.数字小魔术


  新年联欢会上,同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微 笑着走到讲台前说:“我给你们表演一个数字魔术吧!”说完,王老师拿出 一叠纸条,发给每人一张,并神秘地说:“由于我教你们数学,所以你们脑 子里的数也听我的话。不信,你们每人独立地在纸条上写上任意 4 个自然数
(不重复写),我保证能从你们写的 4 个数中,找出两个数,它们的差能被
3 整除。”

  王老师的话音一落,同学们就活跃起来。有的同学还说:“我写的数最 调皮,就不听王老师的话。”不一会儿,同学们都把数写好了,但是当同学 们一个个念起自己写的 4 个数时,奇怪的事果真发生了。同学们写的数还真 听王老师的话,竟没有一个同学写的数例外,都让王老师找出了差能被 3 整 除的两个数。
同学们,你们知道王老师数字小魔术的秘密吗?

27.应该怎样称?


  有 9 个外观完全相同的小球,其中只有一个重量轻一点儿。现在要求你 用一架天平去称,问你至少称几次,才能找出较轻的球?
  如果是 27 个球、81 个球中只有一个较轻的球,你知道至少称几次才能 找出那个较轻的球吗?这里有规律吗?

28.最少拿几次?


  晚饭后,爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子 前,爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说:“小红,爸爸给你出道跳棋子的题, 看你会不会做?”小红毫不犹豫地说:“行,您出吧?”“好,你听着:这 盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各 15 个,你闭着眼睛往外拿,每次只能拿 1 个棋 子,问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有 3 个是同一颜色的?”
听完题后,小红陷入了沉思。同学们,你们会做这道题吗?

29.巧手摆花坛


  学校门口修了一个正方形花坛,花坛竣工时,大队部在花坛旁挂出一块 小黑板,上面写着:
“各中队少先队员:
  花坛修好了,同学们都希望管理这个花坛。哪个中队的少先队员能做出 下面两道题,就请那个中队的少先队员负责管理这个花坛。
① 要在这个花坛的四周摆上 16 盆麦冬,要求每边都是 7 盆,应该怎样
摆?
  ② 还要在这个花坛四周摆上 24 盆串红,要求每边也是 7 盆,应该怎样 摆?”
同学们,你会摆吗?请你试试看。

30.填数(一)


  请你把 1~8 这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里,使每个面 的 4 个角上的数之和都相等。
  

图 10

31.算算这笔账


  小明哥哥的个体商店里,同时放着甲、乙两种收录机,售价都是 990 元。 但是甲种收录机是紧俏商品,赚了 10%;乙种收录机是滞销品,赔了 10%。 假如今天两种收录机各售出一台,小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了?若 赚了,则赚了多少?若赔了,则赔了多少?你会算这笔账吗?

32.“达标”的人数


3
有一所学校,男生有5%的人体育“达标”,得了优秀。这所学校的 是
5
男生;在全校“达标”获优秀的学生中, 3 是男生。问女生“达标”获
4
优秀的学生占全校学生总数的百分之几?

33.谁得优秀?


  六年级同学毕业前,凡报考重点中学的同学,都要参加体育加试。加试 后,甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩:
甲说:“如果我得优,那么乙也得优。”
乙说:“如果我得优,那么丙也得优。” 丙说:“如果我得优,那么丁也得优。” 以上三名同学说的都是真话,但这四人中得优的却只有两名。问这四人
中谁得优秀?

34.排名次


  学校举办排球比赛,进入决赛的是五(1)班、五(2)班、六(1)班、 六(2)班的代表队,到底谁得第一,谁得第二,谁得第三,谁得第四呢?
甲、乙、丙三人做如下的猜测: 甲说:“五(1)班第一,五(2)班第二。” 乙说:“六(1)班第二,六(2)班第四。” 丙说:“六(2)班第三,五(1)班第二。” 比赛结束后,发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对,但他们都猜对了
一半。你能根据上面情况排出 1~4 名的名次吗?

35.要赛多少盘?


六年级举行中国象棋比赛,共有 12 人报名参加比赛。根据比赛规则,每
个人都要与其他人各赛一盘,那么这次象棋比赛一共要赛多少盘?

36.获第三名的得几分?


  A、B、C、D、E 五名学生参加乒乓球比赛,每两个人都要赛一盘,并且 只赛一盘。规定胜者得 2 分,负者得 0 分。现在知道比赛结果是:A 和 B 并 列第一名,C 是第三名,D 和 E 并列第四名。那么 C 得几分?

37.五个好朋友


  A、B、C、D、E 五个学生是同班的好朋友,其中有四人做课代表工作, 这四科是语文、数学、地理、历史。另一个人是中队长。
请你根据下列条件,判断出这五位同学各做什么工作。
(1)语文课代表不是 C,也不是 D;
(2)历史课代表不是 D,也不是 A;
(3)C 和 E 住在同一楼里,中队长和他们是邻居;
(4)C 问数学课代表问题时,B 也在一旁听着;
(5)A、C、地理课代表、语文课代表常在一起讨论问题;
(6)D、E 常到数学课代表家去玩,而中队长去的次数不多。

38.过队日


  六(1)中队共 43 名队员,他们到龙潭游乐园过中队日。中队长宣布, 大家只能参加“激流勇进”、“观览车”和“单轨火车”三种游乐活动。活 动结束时,中队长说:“根据今天参加游乐活动的情况我编了一道数学题: “全中队至少有多少人参加的活动完全相同?”
你能替六(1)中队的同学找到正确答案吗?

39.放硬币游戏


参加人:2 人,也可以有裁判 1 人。 用具:一张纸(方形、圆形都可以),1 分硬币若干枚。
  游戏规则:①2 人轮流把硬币放在纸上,每人每次只放一枚;②放在桌 上的硬币不能重叠;③最后在纸上无处可放者为负。
  同学们,要想在这个小游戏中取胜,只需应用几何中一个很简单的原理。 你知道怎样放才能保证在游戏中稳操胜券吗?

40.一本书的页数

我们知道印刷厂的排版工人在排版时,一个数字要用一个铅字。例如
15,就要用 2 个铅字;158,就要用 3 个铅字。现在知道有一本书在排版时, 光是排出所有的页数就用了 6869 个铅字,你知道这本书共有多少页吗?(封

面、封底、扉页不算在内)

41.重要的是能发现规律


  学习数学,重要的不是会做几道题,而是通过学习,学会总结规律、使 用规律,最终培养出一种能独立发现和总结规律并应用规律去解决实际问题 的能力。
  下面有一道题,就是检查你是否具备这方面能力的。不过,在正式做题 前,先复习一下有关的知识。
一个三位数,例如 256,可以表示成:
100×2+10×5+6。
  一个任意三位数 abc(通常表示几位数时就在这几个字母上面画一条横 线)也可以表示成:
100a+10b+c
一个任意四位数abcd也可以表示成:
1000a+100b+10c+d
好了,现在请做下面的题。
  有一个四位数,减掉它各位数字的和得到 19※2,你能准确地判断出※ 表示的数字是几吗?
解答这道题,当然可以用分析、推理等方法,但希望你能发现规律,并
利用规律来巧解这道题。

42.填数(二)

右图中的大三角形被分成 9 个小三角形。试将 1、2、3、4、5、6、7、8、
9 分别填入 9 个小三角形中,每个小三角形内只填一个数。要求靠近大三角 形每条边的 5 个小三角形内的数相加的和相等,并且使五个数的和尽可能 大,请问该怎样填?如果使五个数的和尽可能小,又该怎样填?




图 11

43.换个角度想

在所有的三位数中,有很多数能同时被 2、5、3 整除,那么不能同时被
2、5、3 整除的三位数的和是多少? 要解答这个问题,最好换个角度想。

44.从后往前想


  明明和华华各有铅笔若干支,两个人的铅笔合起来共 72 支。现在华华从 自己所有的铅笔中,取出明明所有的支数送给明明,然后明明又从自己现在 所有的铅笔中,取出华华现有的支数送给华华,接着华华又从自己现在所有
  
的铅笔中,取出明明现在所有的支数送给明明。这时,明明手中的铅笔支数 正好是华华手中铅笔支数的 8 倍,那么明明和华华最初各有铅笔多少支?

45.缺少条件吗?

红光小学六年级共有学生 210 多人。期末考试成绩得优的占全年级人数

的 1 ,得良的占全年级人数的 2 ,得中的占全年级人数的

7 ,其余的不及

2 9 27
格。问不及格的有几人?


46.丢番图的墓志铭


  古希腊的大数学家丢番图,大约生活于公元前 246 年到公元 330 年之间, 距现在有二千年左右了。他对代数学的发展做出过巨大贡献。
  丢番图著有《算术》一书,共十三卷。这些书收集了许多有趣的问题, 每道题都有出人意料的巧妙解法,这些解法开动人的脑筋,启迪人的智慧, 以致后人把这类题目叫做丢番图问题。
但是,对于丢番图的生平知道得非常少。他唯一的简历是从《希腊诗文
集》中找到的。这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”。“墓志铭”是用 诗歌形式写成的:
“过路的人!
这儿埋葬着丢番图。 请计算下列数目, 便可知他一生经过了多少寒暑。 他一生的六分之一是幸福的童年, 十二分之一是无忧无虑的少年。 再过去七分之一的年程, 他建立了幸福的家庭。 五年后儿子出生, 不料儿子竟先其父四年而终, 只活到父亲岁数的一半。 晚年丧子老人真可怜, 悲痛之中度过了风烛残年。 请你算一算,丢番图活到多大, 才和死神见面?”
请你算一算,丢番图到底活到多少岁?

47.丢番图的趣题

下面是丢番图出的一道题:
  今有四数,取其每三个而相加,则其和分别为 22、24、27 和 20。求这 四个数各是多少?

48.真是没想到!


出题前,先讲个小故事。
  传说在很久以前,印度有个叫塞萨的人,为了能使国王忘掉战争,精心 设计了一种游戏(国际象棋)献给国王。国王对这种游戏非常满意,决定赏 赐塞萨。国王问塞萨需要什么,塞萨指着象棋盘上的小格子说:“就按照棋 盘上的格子数,在第一个小格内赏我 1 粒麦子,在第二个小格内赏我 2 粒麦 子,第三个小格内赏 4 粒,照此下去,每一个小格内的麦子都比前一个小格 内的麦子加一倍。陛下,把这样摆满棋盘所有 64 格的麦粒,都赏给我吧。” 国王听后不加思索就满口答应了塞萨的要求。但是经过大臣们计算发现,就 是把全国一年收获的小麦都给塞萨,也远远不够。国王这才明白,塞萨要的, 是国王放弃战争,发展生产,改善人民生活。
我们来计算一下,塞萨要的小麦到底是多少?原来聪明的塞萨巧妙地利
用了数学中的乘方。棋盘上共有 64 格,按塞萨的要求,应付给他 264-
1=18446744073709551615 粒小麦,约合 5 千多亿吨。这个数字大得惊人,古 代印度那个国王,怎么能付得出来?
下面有一道类似的题:
“把一张厚度仅有 0.05 毫米的纸,对折 30 次后,它的厚度是多少?” 请你算算,看你想到了没有?

49.黑蛇钻洞(印度古题一)

古代印度的许多算术题是很有趣的,比如:
一条长 80 安古拉(古印度长度单位)的强有力的、不可征服的、极好的

黑蛇,以 5

天爬7 1 安古拉的速度爬进一个洞;而蛇尾每 1 天长 11 安古拉

14 2 4 4
。请你算一算,这条大蛇多少天全部进洞?

50.芒果总数(印度古题二)


有一堆芒果,国王取 1 ,王后取余下的 1 ,三个王子分别
6 5
取逐次余下的 1 、 1 和 1 ,最年幼的小孩取剩下的三个芒果。请你求
4 3 2
出芒果的总数是多少个。

51.托尔斯泰的算题(一)


  托尔斯泰是 19 世纪末俄国的伟大作家。他对算术也很有兴趣,还写过算 术课本。他特别喜欢表面复杂,但却有简便方法解答的算题。
下面就是托尔斯泰非常喜欢的“割草人”算题: “一队割草人要收割两块草地,其中一块比另一块大 1 倍。全队在大块
草地上收割半天之后,分为两半,一半人继续留在大块草地上,到傍晚时把 草割完;另一半人到小块草地上割草,到傍晚还剩下一小块没割。剩下的一 小块要第二天 1 个人用 1 整天才能割完。

问割草队共有几人?”

52.托尔斯泰的算题(二)


托尔斯泰喜欢的另一道算题是: 木桶上方有两个水管。若单独打开其中一个,则 24 分钟可以注满水桶;
若单独打开另一个,则 15 分钟可以注满。木桶底上还有一个小孔,水可以从 孔中往外流,一满桶水用 2 小时流完。如果同时打开两个水管,水从小孔中 也同时流出,那么经过多少时间水桶才能注满?

53.爱因斯坦编的问题


  很多科学家都喜欢用一些有趣的数学问题来考察别人的机敏和逻辑推理 能力。这里有一道著名物理学家爱因斯坦编的问题:
  在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨 2 阶,那么最后剩下 1 阶; 如果你每步跨 3 阶,那么最后剩 2 阶;如果你每步跨 5 阶,那么最后剩 4 阶; 如果你每步跨 6 阶,那么最后剩 5 阶;只有当你每步跨 7 阶时,最后才正好 走完,一阶也不剩。
请你算一算,这条阶梯到底有多少阶?

54.苏步青教授解过的题


  我国著名数学家苏步青教授,有一次到德国去,遇到一位有名的数学家, 在电车上出了一道题目让苏教授做。这道题目是:
甲、乙两人同时从两地出发,相向而行,距离是 50 千米。甲每小时走 3
千米,乙每小时走 2 千米,甲带着一只狗,狗每小时跑 5 千米。这只狗同甲 一起出发,碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑,碰到甲时又往乙这边跑,碰 到乙时再往甲这边跑??,直到甲、乙二人相遇为止。问这只狗一共跑了多 少路?
苏步青教授略加思索,未等下电车,就把正确答案告诉了这位德国数学
家。
  请你也来解答这道数学题,题目虽不太难,但要认真思考,才能找到解 题的“窍门”。

55.农妇卖鸡蛋


  从前,有一个农妇提了一篮鸡蛋去卖。甲买了全部鸡蛋的一半多半个; 乙买了剩下鸡蛋的一半多半个;丙又买了剩下的一半多半个;丁买了最后剩 下的鸡蛋的一半多半个。这样,鸡蛋刚好卖完。
你知道农妇的一篮鸡蛋共有几个吗?

56.各有多少钱?

兄弟俩到商店去买东西。妈妈问哥哥:“你带多少钱?”哥哥说:“我

和弟弟一共带 240 元,如果弟弟给我 5 元,那么我的钱数就比弟弟的钱数多 一倍了。”妈妈又问弟弟:“你带了多少钱呢?”弟弟回答说:“如果哥哥 给我 35 元钱,那么我的钱数就和哥哥的一样多了。”妈妈听了以后,还弄不 清哥哥和弟弟到底各带多少钱。你能弄明白吗?

57.河边洗碗


  有一名妇女在河边洗刷一大摞碗,一个过路人问她:“怎么刷这么多 碗?”她回答:“家里来客人了。”过路人又问:“家里来了多少客人?” 妇女笑着答道:“2 个人给一碗饭,3 个人给一碗鸡蛋羹,4 个人给一碗肉, 一共要用 65 只碗,你算算我们家来了多少客人。”

58.是谁错了?


小明看见哥哥的练习本上抄着一道加法题,越看越奇怪,题目是这样写 的:



小明认为这道题错了,到底是谁错了呢?

59.各放多少发子弹?


  小张是某部队武器库保管员,他将 1 千发子弹分放在 10 个盒子里,一旦 需要,只需告诉他 1000 以内所需子弹数,他都可以拿出若干个盒子,凑出所 需的子弹数,而不必打开盒子去数子弹。请问小张在 10 个盒子里各放了多少 发子弹?

60. 逢四进一

通常我们用的数的进位制是十进制,即逢十进一。它有十个数字:0、1、
2、??、9。下面的算式用的不是十进制,而是四进制——即逢四进一。它 有四个数字:0、1、2、3。在这个算式中,字母 A、B、C、D 分别代表 0、1、
2、3 中的某一个数字。


请问按此算式,字母 A、B、C、D 各代表什么数字?

61.交叉公路


  有两条公路成十字交叉,甲从十字路口南 1350 米处往北直行;乙从十字 路口处向东直行。二人同时出发,10 分钟后,二人离十字路口的距离相等; 二人仍保持原速继续直行,又过了 80 分钟,这时二人离十字路口的距离又相 等。求甲、乙二人的速度。
  

62.何时追上乙?


  甲、乙二人步行速度比是 13∶11。如果甲、乙二人分别从 A、B 两地同 时出发,相向而行,0.5 小时相遇,那么甲、乙二人分别从 A、B 两地同向而 行,几小时后甲追上乙?

63.流水行船


  一只小船,第一次顺水航行 20 千米,又逆水航行 3 千米,共用了 4 小时; 第二次顺水航行了 17.6 千米,又逆水航行了 3.6 千米,也用了 4 小时。求船 在静水中的速度和水流速度。

64.粗心的钟表匠


  小王师傅是钟表店的新职工,由于工作不安心,时常出问题。有一次, 他给学校修理一只大钟,竟然把长短针装配错了。这样一来,短针走的速度 变成了长针的 12 倍。装配的时候是下午 6 点,他把短针指在“6”上,长针 指在“12”上。小王装好后,就回家了。
学校值班老师看到这大钟一会儿 7 点,一会儿 8 点,十分奇怪,立刻派
人去找小王师傅。小王师傅在第二天上午 7 点多钟才来到,他掏出标准表一 看,表和大钟的时间一样,说学校故意找他的麻烦,气乎乎地回家了。小王 走后,老师发觉大钟还是不对头,又通知小王来。下午 8 点多,小王又来到 学校,与标准表一对,仍旧准确无误。
请你想一想,小王第一次来校对表的时刻是上午 7 点几分?第二次对表
的时刻又是下午 8 点几分?

65.分针、时针追跑


  你注意过钟面上的时、分、秒 3 根针的运动特点吗?这 3 根针,每时每 刻都处在你追我赶之中。秒针追分针、分针追时针??,永不停息。请问从 早晨 8 点开始,当分针第一次与时针重合时,是几点几分?

66.弄通情境


  骑车人以每分钟 300 米的速度,从 102 路电车始发站出发,沿 102 路电 车线前进。骑车人离开出发地 2100 米时,一辆 102 路电车开出了始发站。这 辆电车每分钟行 500 米,行 5 分钟到达一站并停 1 分钟,那么要用多少分钟, 电车追上骑车人?

67. 预定时间

2
某人从甲地到乙地按预定的时间和速度行了甲、乙两地路程的 ,在
3
余下的路程上,他行走的速度增加 1 ,行走的时间每天减少 1 ,结果他从
9 4
甲地到乙地共行了 16 天。那么原定从甲地到乙地要行多少天?

68.文艺书与科技书

六(1)班的图书箱里共有文艺书和科技书 91 本,文艺书本数的 25%
与科技书本数的 2 正好相等。两种书各有多少本?
5

69.几天完工?

一项工程,甲、乙两队合做需要 8 天完成,甲队单独做了 4 天,乙队又
单独做了2 天,还有全工程的 2 没有完成,那么每队单独完成这项工程各
3
需要几天?


70.干活的人数

一项工程,8 个人干需 15 天完成。今先由 18 人干了 3 天,余下的又由 另一部分人干了 3 天,共完成了这项工程的 3 ,问后3天有多少人参加?
4


71.甲先做了几天?


  一件工程,甲独做 12 天可以完成,乙独做 4 天可以完成。现在甲先独做 了几天,因事离去,乙接着做余下的工程,直至完工。完成这件工程前后共 用了 6 天,那么甲先独做了几天?

72.空池注水


  一个水池有两个进水管甲、乙,一个排水管丙。如果单开甲、丙两管, 那么 10 小时可把空池注满;如果单开乙、丙两管,那么 15 小时可把空池注 满;如果单开丙管,那么 30 小时可把满池水放光。现在同时打开甲、乙、丙 三管,几小时可把空池注满?

73.往返行驶


  一辆汽车在甲、乙两站之间行驶,往返一次共用去 4 小时(停车时间不 计)。已知汽车去时每小时行驶 45 千米,返回时每小时行驶 30 千米,问甲、 乙两站相距多少千米?
  
74.分树苗


  学校把 414 棵树苗按各班人数分给六年级三个班。一班和二班分得树苗 的棵数比是 2∶3,二班和三班分得树苗的棵数比是 5∶7,求每个班各分得树 苗多少棵?

75.生产巧安排


  甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂,并且都生产同规格的成衣,而且甲、 乙两厂的人员和设备都能全力进行上衣和裤子的生产。但是两厂的特长不 同,
3 2
甲厂每月用 的时间生产上衣,用 的时间生产裤子,这样每月可生产90
5 5
0套成衣;乙厂每月用 4 的时间生产上衣,用 3 的时间生产裤子,这样每
7 7
月可以生产 1200 套成衣。现在两厂联合,尽量各自发挥特长,那么怎样进行 合理安排,在原有的条件下增加产量?每月能增产成衣多少套?

76.谁先掉进陷阱?


  狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛。狐狸每次跳 4.5 米,黄鼠狼每次跳 2.75 米。
它们每秒钟都只跳一次。比赛途中,从起点开始,每隔12 3 米设有一个陷
8
阱。它们同时起跳,当它们之中有一个掉进陷阱时,另一个跳了多少米?

77.何时再相逢?


  甲、乙、丙三辆公共汽车分别往返于 A、B,A、C,A、D 之间。A、B 间 的路程是 4 千米,A、C 间的路程是 6 千米,A、D 间的路程是 8 千米。甲车每 小时行 40 千米,乙车每小时行 50 千米,丙车每小时行 60 千米。现在三辆车 同时从 A 站出发往返而行,(途中停车时间不计)那么经过多少小时后三辆 车又在 A 站相遇?

78.奇特的长跑训练


  小明在 400 米长的环形跑道上练习长跑。上午 8 点 20 分开始,小明按逆 时针方向出发,1 分钟后,小明掉头按顺时针方向跑,又过了 2 分钟,小明 又掉头按逆时针方向跑。如此,按 1、2、3、4、??分钟掉头往回跑。当小 明按逆时针方向跑到起点,又恰好该往回跑时,他的练习正好停止。如果小 明每分钟跑 120 米,那么他停止练习时是几点几分?他一共跑了多少米?

79.试着使用代数法

  我们快要上中学了,在数学学习上,要完成从算术到代数的过渡。下面 这道题希望你试着用代数法解答。
  为了庆祝“六一”儿童节,班里决定做一幅贴纸画送给低年级同学。中 队长小明拿 1 元钱买了彩色纸 100 张。其中,绿色纸 3 分 1 张,红色纸 4 分
1 张,白色纸 1 分 7 张。你知道小明买了 3 种颜色的纸各多少张吗?

80.发奖品


  学校举办了数学竞赛。老师准备了 35 支铅笔作为奖品,发给一、二、三 等奖获得者。原计划发给一等奖获得者每人 6 支,发给二等奖获得者每人 3 支,发给三等奖获得者每人 2 支,正好发完。后来改为发给一等奖获得者每
人 13 支,发给二等奖获得者每人 4 支,发给三等奖获得者每人 1 支,也正好 发完。那么获得二等奖的有多少人?

81.姐姐、弟弟各几岁?


  李老师问明明的姐姐今年几岁了。明明的姐姐说:“4 年前,我的年龄 正好是弟弟年龄的 3 倍。”李老师又问明明:“你姐姐今年几岁?”明明说: “姐姐今年的年龄是我今年年龄的 2 倍。”请问今年姐姐、弟弟各几岁?

82.兄弟俩的年龄


  今年兄弟俩的年龄加起来是 55 岁,曾经有一年,哥哥的岁数是弟弟今年 的岁数,那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的两倍。问哥哥和弟弟今年年龄各 是多少岁?

83.幼儿园的午餐


  某幼儿园现有大人和幼儿共 100 人,今天午餐刚好吃了 100 个面包,其 中一个大人一餐吃四个面包,四个幼儿一餐只吃一个面包。问这 100 个人中, 大人和幼儿各有多少人?

84.生产课桌椅


  新星木器厂安排 56 名工人生产学生用的课桌椅。每个工人平均每天能生 产课桌 6 张或椅子 8 把,问应分配多少人生产课桌,多少人生产椅子,才能 使每天生产出的课桌和椅子刚好配套?

85. 为新生做花


  为了欢迎一年级新生入学,六(1)班同学承担了做花的任务。如果每人 平均做 5 朵,则缺少 20 朵,不能完成任务;如果每人平均做 6 朵,则又超过 任务 24 朵。问参加做花的同学有多少人?做花的任务是多少朵?
  
86.五个少年


  五个少年,依次相差一岁,在 1994 年共同发奋学习,到公元 2018 年时, 他们都在科学上做出了很大贡献。那时他们的年龄也增长了,他们五人在公
元 2018 年的年龄之和正好是 1994 年的年龄之和的 3 倍。问在 1994 年时他们 的年龄各是多少?

87. 学雷锋


  小丽和小刚两个小朋友向雷锋叔叔学习,准备把零用钱攒起来,以后寄 给希望工程,帮助贫困地区的小朋友上学。小丽现有 5 元钱,她计划每年节
约 11 元;小刚现有 3 元,他打算每年节约 12 元。问他们俩几年后钱数能一 样多吗?如果他们俩准备一共凑足 100 元,问需要几年?

88. 白鹅和山羊


  小勇跟爷爷去赶集,看见集市的一角有 44 只白鹅和山羊,它们共有 100 条腿。请问白鹅和山羊各有几只?

89. 两盘苹果


  有大小两盘苹果。如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里,两盘苹果就 一样多;如果从小盘中拿出一个苹果放在大盘里,大盘苹果就是小盘的 3 倍。 问大小两盘苹果各有几个?

90. 师徒加工零件

师徒两人加工一批零件,徒弟先加工 240 个,然后师傅和徒弟共同加工。
完成任务时,师傅加工的零件比这批零件的 3 少40个。已知师徒工作效率
8
的比是 5∶3,问这批零件有多少个?

91. 王医生出诊


  王医生为一位山里人出诊,他下午 1 时离开诊所,先走了一段平路,然 后爬上了半山腰,给那里的一位病人看病。半小时后,王医生沿原路下山回 诊所,下午 3 时半回到诊所。已知他在平路步行的平均速度是每小时 4 千米, 上山每小时 3 千米,下山每小时 6 千米。请问王医生出诊共走了多少路?

92.规定时间


  一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地,每小时走 15 千米可以早到 24 分钟,每小时走 12 千米就要迟到 15 分钟。问原规定时间是 多少?他去某地的路程有多远?
  

93.至少有几个人做的数学题一样多?


  9 月 1 日开学那天,数学课代表向李老师汇报说:“我们六年级 100 个 同学,在暑假里一共做了 1600 道数学题。”李老师听了非常高兴,立刻表扬 了他们。接着李老师问课代表:“你知道这 100 个同学中,至少有几个人做 的数学题一样多吗?”课代表答不出来。同学们,你能帮助课代表解答这个 问题吗?

94.六(1)班有多少人?

六(1)班在期末考试中,数学得 100 分的有 10 人,英语得 100 分的有
12 人,这两门功课都得 100 分的有 3 人,两门功课都未得 100 分的有 26 个。 那么六(1)班有学生多少人?

95.至少有几个学生四项活动都会?

六(2)班有学生 50 人,其中 35 人会游泳,38 人会骑车,40 人会溜冰,
46 人会打乒乓球。那么这班至少有多少个学生以上四项活动都会?

96. 五种颜色的铅笔


  有红、黄、蓝、绿、白五种颜色的铅笔,每两种颜色的铅笔为一组,最 多可以搭配成不重复的几组?

97.最少有几个座位?


  有一条公共汽车的行车路线,除去起始站和终点站外,中途有 9 个车站。 一辆公共汽车从起始站开始上乘客,除终点站外,每一站上车的乘客中,都 恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站。为了使每位乘客都有座位,这 辆公共汽车至少要有多少个座位?

98. 将军饮马


古希腊一位将军要从 A 地出发到河边(如下图 MN)去饮马,然后再回到 驻地 B。问怎样选择饮马地点,才能使路程最短?





图 12



99.牛顿与方程


阿基米德、牛顿和高斯被誉为历史上最伟大的三位数学家。牛顿是 17
世纪英国著名科学家,他非常喜欢用方程解题,并常常出一些方程问题。下 面的一道题就是选自牛顿的名著《一般算术》。为了便于理解,我们把长度 单位改为现行的通用单位。
  “邮递员 A 和 B 相距 59 千米,相向而行。A 两小时走了 7 千米,B 三小 时走了 8 千米,而 B 比 A 晚出发一小时。求 A 在遇到 B 时走了多少千米?”

100.有名的牛吃草的问题


  牛顿的名著《一般算术》中,还编有一道很有名的题目,即牛在牧场上 吃草的题目,以后人们就把这种应用题叫做牛顿问题。
  “有一片牧场的草,如果放牧 27 头牛,则 6 个星期可以把草吃光;如果 放牧 23 头牛,则 9 个星期可以把草吃光;如果放牧 21 头牛,问几个星期可 以把草吃光?”
  解答这道题时,我们假定牧草上的草各处一样密,草长得一样快,并且 每头牛每星期的吃草量也相同。
你会解这道题吗?

二、百解

1.钟声


  小明家离火车站很近,他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大 楼的钟,每敲响一下延时 3 秒,间隔 1 秒后再敲第二下。
假如从第一下钟声响起,小明就醒了,那么到小明确切判断出已是清晨
6 点,前后共经过了几秒钟?
  分析与解 从第一下钟声响起,到敲响第 6 下共有 5 个“延时”、 5 个 “间隔”,共计(3+1)×5=20 秒。当第 6 下敲响后,小明要判断是否清晨 6 点,他一定要等到“延时 3 秒”和“间隔 1 秒”都结束后而没有第 7 下敲响, 才能判断出确是清晨 6 点。因此,答案应是:
(3+1)×6=24(秒)。

2.越减越多


  同学们对这样的问题可能并不陌生:“一个长方形被切去 1 个角,还剩 几个角?”这种题的最大特点是答案不唯一,要根据去掉的这个角的不同情 况来确定“剩角”的多少。
以下 3 幅示意图,表明了 3 种不同情况的 3 种不同答案。其中第 3 种情
况最有趣,长方形原有 4 个角,切去了 1 个角,反而多了 1 个角,出现了越 减越多的情况。下面一道题的思考方法与上题类似,看你能否正确回答。





图 13 “一个正方体,锯掉一个角,还剩几个角?”请注意,这里的“角”是
立体的“角”,它不同于平面上的角。
分析与解 锯掉角的情况有 4 种,因此剩角的答案也有 4 种(如 14 图所 示)。















图 14



3.数一数


如果有人问你“会数数儿吗?”,你会不屑一顾地说:“这么大了,还
不会数数儿!”其实,数数儿的学问还是很大的。不信,请你数出下面几何 图形的个数。













图 15
  分析与解 图(1)中:边长 1 个单位的三角形有 12 个;边长 2 个单位的 三角形有 6 个,边长 3 个单位的三角形有 2 个。
一共有三角形 20 个。
图(2)中:先按公式,计算出边长 8 个单位的大正方形中,共有(12
+22+32+42+52+62+72+82)=204 个正方形;然后再分别计算左、右两侧 各多出的一部分构成 13×2=26 个正方形;最后计算出共有大、小不同的正方
形 204+26=230 个。
图(3)中:共有长方形(1+2+3+ 4 +5)×(1+2+3+4)= 15×10=150
(个)。 图(4)中:共有梯形(1+2+3+4+5)×(1+2+3)=15×6=90(个)。

4.画一画

下面这些图形你能一笔画出来吗?(不重复画)













图 16


  分析与解 一笔画需要解决两个关键问题。一个是这幅图能不能一笔画? 另一个是,若能一笔画,应该怎样画?对于这两个问题,数学家欧拉在 1736 年研究了“哥尼斯堡七桥”的问题后,做了相当出色的回答。他指出,如果 一幅图是由点和线连接组成,那么与奇数条线相连的点叫“奇点”;与偶数 条线相连的点叫“偶点”。
例如,在图 17 中,B 为奇点,A 和 C 为偶点。

图 17
  如果一幅图的奇点的个数是 0 或是 2,这幅图可以一笔画,否则不能一 笔画。这是对第一个问题的回答。欧拉又告诉我们,如果一幅图中的点全是 偶点,那么,你可以从任意一个点开始画,最后还回到这一点;如果图中只 有两个奇点,那么必须从一个奇点开始画,并结束于另一个奇点。
本题的 4 幅图,其中图(1)、(4)各有两个奇点,图(2)、(3)的 奇点个数为 0。因此这 4 幅图都可一笔画。画法请参看图













图 18

5.最短的路线

养貂专业户养殖场内安置了 9 个貂笼(如下图)。

  为了节省每次喂食的时间,他必须走一条最短的路,但又不能漏掉一个 貂笼,喂完食后还要回到原出发点。你能替他设计一条最短的路线吗?并算 出每喂食一次,至少要走多少米的路。
  分析与解 要给 9 个貂笼的貂分别喂食,最短的路线不止一条。我们只 给出其中的一种如图 20 所示。
  我们选择这条路线的根据是:(1)尽量多走 3 米长的貂笼间隔,少走 4 米长的貂笼间隔;(2)根据勾股定理,第⑨步走斜边(长 5 米,这是因为
52=32+42)比走两条直角边(3+4=7 米)要少走 2 米。 他每喂食一次,至少要走
3×5+4×3+5=32(米)。

图 20

6.切西瓜


  六(1)班召开夏夜乘凉晚会,买来了许多西瓜。班主任李老师说:“今 天买来了许多西瓜请大家吃。在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数 学题。我规定,西瓜只能竖切,不能横剖。大家知道,切一刀最多分成 2 块,
切 2 刀最多分成 4 块,那么切 3 刀最多能分成几块?切 4 刀、切 5 刀、切 6 刀呢?这中间有没有规律?如果有规律,请同学们找出来。”李老师刚说完, 同学们就七嘴八舌地讨论起来。请你也参加他们的讨论吧。
分析与解 分割圆时,切的刀数和最多可分的块数之间有如下规律:
切 n 刀时,最多可分成:(1+1+2+3+??+n)块。
2

经整理,可归纳成公式: n

21 所示。

? n ? 2 。其中n表示切的刀数举例如图
2


图 21

7.均分承包田


有一块等腰梯形菜地(如下图),地边有一口水井。现在 3 户种菜专业 户都提出要承包这块地。经研究,决定让这 3 户共同承包这块地,因此必须 把这块地分成面积相等、形状相同且与这口水井的距离也要相等的 3 块地。 你能帮助解决这个问题吗?








图 22
  分析与解 分法如图 23 所示。我们只要把等腰梯形上底的两个端点,分 别与水井连接,这样就把这块菜地分成符合题意的 3 块了。
  
图 23

8.巧分食盐水


  大家在常识课上认识了量杯。快下课时,王老师让我们用手中的量杯做 一个智力小游戏:
  有 30 毫升、70 毫升、100 毫升的量杯各 1 个,请你用这三个量杯把水槽 中的 100 毫升食盐水平均分成两份,但分的时候不准看量杯的刻度。大家动 手试一试,至少要分几次才成?
分析与解 至少分 9 次。这种题,一般统称为分液问题。解答时,最好 用列表的方法。本题解答方法,如下表所示(这不是唯一的方法):


   杯子容量 杯中盐水
分的次数
100 毫升
70 毫升
30 毫升 1 30 70 0 2 30 40 30 3 60 40 0 4 60 10 30 5 90 10 0 6 90 0 10 7 20 70 10 8 20 50 30 9 50 50 0


9.扩大鱼池


  养鱼专业户张强,去年承包了一个叫“金三角”的鱼池(如图 24),喜 获丰收。为了进一步增产,决定把鱼池扩大。但有这样的要求:①扩大后的 鱼池必须仍是三角形,保持“金三角”鱼池的称号;②扩大后的鱼池面积是 原面积的 4 倍;③原鱼池的三个角上栽的 3 棵大柳树不能移动。你能替张强 设计一个施工草图吗?

分析与解 草图如图 25 所示。



  我们只要过三角形的三个顶点,分别作它们所对的边的平行线,两两相 交,成一个大三角形,这个大三角形的面积是原三角形面积的 4 倍。
  

10. 巧妙的算法(一)

11=1 22=1+3
32=1+3+5 42=1+3+5+7
?? ?? 请你仔细观察上面这些算式,试着找出某种规律,并利用这个规律迅速
算出下面式子的答案:
(1)1+3+5+7+9+11+13+15
(2)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25
+27+29+31+33+35+37+39
分析与解 由已知的算式
12=1
22=1+3
32=1+3+5
 42=1+3+5+7 我们不难看出:
52 = 1?+?3+? ?5+? 7?+?9
5 项
6 2 = 1?+?3+? 5?+? 7?+?9 +? ?11
6 项

????
n 2 = 1?+?3+?



+????? +??(? 2?n -?3)? ?+ (?
n项



n?- 1?



因此,(1)的答案为 8(项数)的平方,即 64;(2)的答案为 20(项
数)的平方,即 400。

11.巧妙的算法(二)

13+23 =9 (1+2)2=9
13+23+33 =36 (1+2+3)2=36
?? ?? 请你仔细观察上面两组算式,找出规律并迅速算出下面算式的答案:
(1)13+23+33+43+53+63+73+83+93+103
(2)13+23+33+??+203
  分析与解 求几个数的立方和,一般总是先求出各数的立方再相加。但 对于从 1 开始的若干个连续自然数的立方和,我们可以从题中的两组算式得 到启发,找出规律,迅速算出它的答案:
(1)13+23+33+??+103
=(1+2+3+??+10)2=552=3025;
(2)13+23+33+??+203
=(1+2+3+??+20)2=2102=44100

用数学归纳法可以证明:
13+23+33+??+(n-1)3+n3
=[1+2+3+??+(n-1)+n]2

12.哪个分数大?



有三个分数 1111 、
11111

11111 和
111111

111111 ,请你比较一下,哪个分
1111111

数大?
分析与解
1111




11111




111111

在比较 、 和 的大小时,如果用先通分再比较

11111

111111

1111111

大小的一般方法,就太麻烦了。我们知道, 1 ? 1 ,而 1 的倒数2却比 1
2 3 2 3
的倒数 3 小。就普遍的情况而言,一个分数的倒数大,这个分数反而小。这 样,要比较这三个分数的大小,只要比较它们的倒数就可以了。

1111
11111

的倒数是10

1

1111

11111 的倒数是10 1 ;

111111
111111
1111111

11111
1
的倒数是10 。
111111


因为,10

1
111111


< 10

1
11111

1
<
1111

所以,

111111
1111111

11111
<
111111

1111
<
11111



13.想办法巧算



计算: 1
1 ? 2

1
? ?
2 ? 3

1
3 ? 4


?? ? ?

1
?
998 ? 999

1
999 ? 1000



分析与解 计算这道题要是先通分再加,那实在是太困难了。我们可以
把这样的分数拆开。


因为:

1
1 ? 2

1
? 1 ? ,
2

1
2 ? 3
1
3 ? 4

1 1
? ? ,
2 3
1 1
? ? ,
3 4

? ?
1 1 1
? ?

999 ? 1000
1

999
1

10000
1 1 1


1 1 1 1

所以,原式 = 1-

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?


1
? 1? ?
1000


999
`000

2 2 3 3 4

998

999

999

1000
小学数学趣题巧算
成为本站VIP会员VIP会员登录, 若未注册,请点击免费注册VIP 成为本站会员.
版权声明:本站所有电子书均来自互联网。如果您发现有任何侵犯您权益的情况,请立即和我们联系,我们会及时作相关处理。


其它广告
联系我们     广告合作     网站声明     关于我们     推荐PDF     全部分类     最近更新     宝宝博客
蓝田玉PDF文档网致力于建设中国最大的PDF格式电子书的收集和下载服务!