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奇妙数学大世界A



前言

美妙的数学


  长期以来,一个令人困惑的现象是:一些同学视数学如畏途,兴趣淡漠, 导致数学成绩普遍低于其他学科。
这使一些教师、家长以至专家、学者大伤脑筋! “兴趣是最好的老师。”对任何事物,只有有了兴趣,才能产生学习钻
研的动机。兴趣是打开科学大门的钥匙。 对数学不感兴趣的根本原因是没有体会到蕴含于数学之中的奇趣和美
妙。
  一个美学家说:“美,只要人感受到它,它就存在,不被人感受到,它 就不存在。”
对数学的认识也是这样。
  有人说:“数学真枯燥,十个数字来回转,+、-、×、÷反复用,真乏 味!”
有人却说:“数学真美好,十个数字颠来倒,变化无穷最奇妙!” 认为枯燥,是对数学的误解;感到了兴趣,才能体会到数学的奥妙。 其实,数学确实是个最富有魅力的学科。它所蕴含的美妙和奇趣,是其
他任何学科都不能相比的。
  尽管语文的优美词语能令人陶醉,历史的悲壮故事能催人振奋,然而, 数学的逻辑力量却可以使任何金刚大汉为之折服,数学的浓厚趣味能使任何 年龄的人们为之倾倒!茫茫宇宙,浩浩江河,哪一种事物能脱离数和形而存 在?是数、形的有机结合,才有这奇奇妙妙千姿百态的大千世界。
数学的美,质朴,深沉,令人赏心悦目;数学的妙,鬼斧神工,令人拍
案叫绝!数学的趣,醇浓如酒,令人神魂颠倒。 因为它美,才更有趣,因为它趣,才更显得美。美和趣的和谐结合,便
出现了种种奇妙。
  这也许正是历史上许许多多的科学家、艺术家,同时也钟情于数学的原 因吧!
数学以它美的形象,趣的魅力,吸引着古往今来千千万万痴迷的追求者。

一、数学的趣味美


  数学是思维的体操。思维触角的每一次延伸,都开辟了一个新的天地。 数学的趣味美,体现于它奇妙无穷的变幻,而这种变幻是其他学科望尘莫及 的。
  揭开了隐藏于数学迷宫的奇异数、对称数、完全数、魔术数??的面纱, 令人惊诧;观看了数字波涛、数字漩涡??令人感叹!一个个数字,非但毫 不枯燥,而且生机勃勃,鲜活亮丽!
  根据法则、规律,运用严密的逻辑推理演化出的各种神机妙算、数学游 戏,是数学趣味性的集中体现,显示了数学思维的出神入化!
  各种变化多端的奇妙图形,赏心悦目;各种扑朔迷离的符形数谜,牵魂 系梦;图形式题的巧解妙算,启人心扉,令人赞叹!
  
  魔幻谜题,运用科学思维,“弹子会告密”、“卡片能说话”,能知你 姓氏,知你出生年月,甚至能窥见你脑中所想,心中所思??真是奇趣玄妙, 鬼斧神工。
?? 面对这样一些饶有兴味的问题,怎能说数学枯燥乏味呢?

二、数学的形象美


黑格尔说:“美只能在形象中出现。” 谈到形象美,一些人便联想到文学、艺术,如影视、雕塑、绘画,等等。
似乎数学只是抽象的孪生兄弟。 其实不然。
  数学是研究数与形的科学,数形的有机结合,组成了万事万物的绚丽画 面。
数字美:
  阿拉伯数字本身便有着极美的形象:1 字像小棒,2 字像小鸭,3 字像耳 朵,4 字像小旗??瞧,多么生动。
符号美:
  “=”(等于号)两条同样长短的平行线,表达了运算结果的唯一性,体 现了数学科学的清晰与精确。
“≈”(约等于号)是等于号的变形,表达了两种量间的联系性,体现
了数学科学的模糊与朦胧。 “>”(大于号)、“<”(小于号),一个一端收紧,一个一端张开,
形象地表明两量之间的大小关系。
  {[()]}(大、中、小括号)形象地表明了内外、先后的区别,体现对 称、收放的内涵特征。
??
线条美: 看到“⊥”(垂直线条),我们想起屹立街头的十层高楼,给我们的是
挺拔感;看到“—”(水平线条),我们想起了无风的湖面,给我们的是沉
静感;看到“~”(曲线线条),我们想起了波涛滚滚的河水,给我们的是 流动感。
几何形体中那些优美的图案更是令人赏心悦目。

  三角形的稳定性,平行四边形的变态性,圆蕴含的广阔性??都给人以 无限遐想。
脱式运算的“收网式”变形以及统计图表,则是数与形的完美结合。 我国古代的太极图,把平面与立体、静止与旋转,数字与图形,更做了
高度的概括!


三、数学的简洁美


  数学科学的严谨性,决定它必须精炼、准确,因而简洁美是数学的又一 特色。
数学的简洁美表现在:
  1.定义、规律叙述的高度浓缩性,使它的语言精炼到“一字千金”的程 度。
  质数的定义是“只有 1 和它本身两个约数的数”,若丢掉“只”字,便 荒谬绝伦;小数性质中“小数末尾的 0??”中的“末尾”若说成“后面”, 便“失之千里”。此种例证不胜枚举。
2.公式、法则的高度概括性 一道公式可以解无数道题目,一条法则囊括了万千事例。 三角形的面积=底×高÷2。把一切类型的三角形(直角的、钝角的、锐
角的;等边的、等腰的、不等边的)都概括无遗。 “数位对齐,个位加起,逢十进一”把各种整数相加方法,全部包容了
进去。
3.符号语言的广泛适用性 数字符号是最简洁的文字,表达的内容却极其广泛而丰富,它是数学科
学抽象化程度的高度体现,也正是数学美的一个方面。
a+b=b+a abc=acb=bca??
其中 a,b,c 可以是任何整数、小数或分数。
1
S = (a + b) h,适用于各种形状梯形面积的求解。
2
a 1

a·b =

1 ,a÷b = a× b ,表达了乘与除相互转化的关系,反映
b

了事物的对立统一。
πR2-πr2=π(R+r)·(R-r),环形面积的多解性便富含其中。

?r 2 ? 2r 2
2r 2

(? - 2)r 2
= 2r 2

? - 2
= = 57%,则表明:“圆中方”剪去部分
2

与正方形面积间的固有联系。 所以,这些用符号表达的算式,既节省了大量文字,又反映了普遍规律,
简洁,明了,易记,充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感。

四、数学的对称美


  对称是美学的基本法则之一,数学中众多的轴对称、中心对称图形,幻 方、数阵以及等量关系都赋予了平衡、协调的对称美。
略举几例:


算式:
2∶3=4∶6 x+5=17-9 数阵:











图形: 数学概念竟然也是一分为二地成对出现的:“整—分,奇—偶,和—差,
曲—直,方—圆,分解—组合,平行—交叉,正比例—反比例??,显得稳 定、和谐、协调、平衡,真是奇妙动人。












  数学中蕴含的美的因素是深广博大的。数学之美还不仅于此,它贯穿于 数学的方方面面。数学的研究对象是数、形、式,数的美,形的美,式的美, 随处可见。它的表现形式,不仅有对称美,还有比例美、和谐美,甚至数学 的本身也存在着题目美、解法美和结论美。
上述这些只是浮光掠影的介绍,然而,也足见数学的迷人风采了。
  打开这本书,如同进入一个奇妙世界,呈现眼前的尽是数、形变幻的奇 妙景观,一个个“枯燥”的数字活蹦乱跳地为你做精彩表演,一个个“抽象” 的概念娓娓动听地向你讲述生动的故事。它揭示了隐藏于深层的数学秘密, 展示了数学迷宫的绚丽多彩。数的变幻,形的奇妙,有的令你追根究底,有 的令你流连忘返,有的令你惊讶感叹,有的令你拍案叫绝??
走进这个奇妙世界,必将如咀嚼一枚橄榄果,品尝到数学的浓浓趣味,
感受到数学王国神异高妙,从而使我们眼界大开。你将惊呼:“哇!数学原 来是这么有趣啊!”

奇妙数学大世界 A

数字花絮


  十个阿拉伯数字,像五彩缤纷的花絮。四种运算符号+、-、×、÷,如 变幻多姿的魔棒。数字与符号的组合分化,则构建一道道迷人的风景线,它 牵动着多少智者的神经,激荡起几多想象和思考。
  一代代人的耕耘培育,使数学园地繁花似锦,光彩夺目。这里的每一个 数字都是一朵彩色的花瓣,这里的每一道问题都诱发出迷人的魅力。
  一些题隐去了数字,只呈现一片虚幻的空白。每一块空白又都是一个等 待回答的问号,扑朔迷离,直令人魂牵梦绕。
  再没有比“悬念”更能激发思考了!空白虚幻之中却又隐藏种种技巧。 数字趣题虽没有像应用题、故事或游戏趣题那样的事件、情节,往往只 透露一点点信息,却要求从已知的点滴信息中,推出它的整体面貌。它像一 团雾,像一个谜,虽然一时看不清,抓不住,却又有着实实在在的答案。这
样,就更加激人深思,引人思考。一经入目,必欲弄个水落石出。 数字趣题中,有的是在一个算式中只保留部分数字,而将另一些数字隐
去,只用“□”、“☆”或其他文字符号来替代。要求根据已有的数字,运 用分析、推理,将被隐去的数字复原,使算式完整,成立。这种趣题,在我 国古代称为“虫蚀算”,意思是,本来很完整的算式,被书虫啃蚀了,因而, 数字便残缺不全。有的只提供一些数字,要求添加运算符号或巧妙组合,使 它们符合规定的条件。
有的是通过数字的排列组合出现一些奇妙的有规律的现象。如幻方、数
阵,它们纵横或周边,在同一直线上的各个数字之和,都为同一数值,奇幻 迷人。
数字趣题,依其表现形式,常见的有以下数种:
一、竖式谜 二、横式谜 三、填空谜 四、幻方 五、数阵
解数字谜,要根据四则运算的法则、规律,对照已知条件,理清数与数
间的内在联系,先易后难,由此及彼,使被隐去或要求填写的数字,一个一 个地暴露出来。从而拨开迷雾,显出“庐山真面目”。幻方和数阵的制作, 则更有一套独特的方法。
  解数字趣题,如同侦察员破案一样,开始如理乱麻,渐渐便理清线索, 继而顺藤摸瓜,最终便真相大白了!
  
竖式谜


  在加、减、乘、除四则运算中,比较复杂的题目,都要先列竖式进行演 算。
  常见的竖式,都是单纯的求和或差,或积或商。竖式谜,却只提供不完 全的条件。有时给出几个或一个数字,隐去了其他各数;有时一个数字也没 有,只用“□”或“★”等特殊符号,把竖式的框架显示出来。
  这种竖式看上去像一团迷雾,扑朔迷离,简直是个没解开的谜。只有熟 练算法、算理,根据已提供的点滴信息,分析、推理,顺藤摸瓜,才能使一 个个隐去的数字重新出现。
  解加、减法的竖式谜,主要根据进位、退位情况,进行分析、判断。乘、 除法,除了考虑进、退位问题,还要根据乘、除法的法则,认真推敲。一般 要先将容易找出的数字填出来,这样,未知数的范围便越来越小,最终便可 找出全部隐藏的数字。
解数字谜,如同侦察员破案一样,新奇,有趣。
例 1

解:加数都是两位数,从第一个加数个位是 5 与和的个位数是 9,可以 推断第二个加数的个位数必定是 4。即 5+?=9。从和的百位数与十位数是 18, 可断定,两个加数的十位数都是 9,这样,谜便揭开了:




例 2






解:三个加数,只知道其中两个加数的个位分别是 7、5,而和的个位却
是 8,肯定是进位造成的。从 7+5+?=□8,可判断另一个加数的个位必为 6, 十位上 5+□+7=□7,可断定:□加上个位进上来的 1 是 5,去掉进上来的 1 应是 4。百位上 2+□=6,可知:□=4,去掉进上来的 1,□=3。
可知原式为:





例 3

  解:这个减法算式,只告知了减数是 1,被减数、减数都不知道!全式 应有八个数字,其中七个都是未知数,初看是比较难解的。但是认真分析一
  
下减法算式各部分的数位,便可以找到突破口。被减数有四位,减去 1 后, 差却成了三位数,只有相减时连续退位,才会如此。那么,什么数减去 1 需 要向高位借数呢?只有“0”!而最高位退 1 后成了 0,表明被减数的最高位 就是“1”。这样,就可以断定被减数是 1000。知道了被减数和减数,差就 迎刃而解了!
可知,原式是:




例 4

  解:个位上,被减数是 7,差是 6,可知减数是 1。十位上,减数是 8, 差是 9,可知被减数必小于 8,借位后才使差比减数大的。那么,?-8=9,可 知被减数十位上是 7。再看百位,因为被减数是四位数。相减后,成了三位 数,差的百位数又是 9,从而断定,被减数的百位上是 0,千位上必定是 1 了。
可知,原式是:

例 5 下面的算式,加数的数字都被墨水污染了。你能知道被污染的四个 数字的和吗?






  解:和的个位数是 9,可知加数的个位数字相加没有进位。即两个数字 和是 9。和的百位与十位上的数是 18,便是两个加数十位数字的和。所以, 被污染的四个数字的和是:18+9=27。
例 6 下面算式中的数字都被遮盖住了,求竖式中被遮盖住的几个数字的
和。

  解:这是一道三个三位数的加法。从和的前两位是 29,可断定三个加数 的百位必须是 9,因为三个 9 的和才是 27,多出的部分便是进位造成的。同 理,可断定加数的三个十位数字的和,也必须是 9,多出的 2(29-27),是 个位进位造成的。而和的个位数是 1,断定三个加数的个位数字和是 21。
因此,被遮盖的数,数字和是:
27+27+21=75
例 7


  解:这是个三位数与一位数相乘的算式。被乘数只知道十位数是 2,积 只知道个位数是 2,乘数是 7,其余都是未知数!但是从个位的一个数与 7 相乘,积的个位数是 2,可推断被乘数的个位数只能是 6。 6×7=42,十位上
进 4。被乘数的十位数是 2,20×7=140,加上进位的 4,积的十位应是 8,进
位 1。从积是三位数,可断定被乘数的百位数必为 1(因为若大于 1,积则为 四位数了!),1×7=7,加上进上来的 1,积的百位数便是 8 了。
可知,原式是:




例 8

  解:这是个四位数与两位数相乘的算式。从乘数的个位数 9 和部分积个 位是 7,可推知被乘数的个位是 3,进 2。据此,推知被乘数的十位是 8,8
×9=72,加上进位 2,才符合积的十位数得 4 的要求。再根据积的百位数是
5,推知被乘数百位是 2,2×9=18,加上进位 7,得 5,进 2。继而推知被乘 数千位是 5,5×9=45,加上进位 2,才可得积的千位数 7。
从被乘数是 5283 和第二部分积中的 5,可以推断乘数的十位数,因为被
乘数的前两位是 5、2,经过尝试,乘数的十位数只能是 3。 至此,其他各数字,便容易得出了!





例 9

解:为了分析,我们将题中的关键位置用字母标出。 算式中,只有被乘数与 2 的积是四位数,与 A、B 的积都仍是三位,从而
断定 A=B=1。以此为突破口,再追寻其他。
  其中,部分积 D 与完全积中的 C,也很明显是 1。D 由“□×2”得来, 最大的一位数乘 2 也只能进 1。由 D=1,断定 C=1。
  知道 D=1,“D+E”又进位,推断 E 不是 8 必是 9。如果 E 是 8,则 F 非 6 即 7,但是 F+8=9,所以 E 不可能是 8。
  

  部分积“GH□”和“E8□”都是被乘数与 1 相乘得到的,所以,E=G=9, H=8。
知道了 H=8,从“8+K=□2”断定 K=4。K 是被乘数与 2 相乘得到的,乘
2 后积的尾数是 4 的只有 2 或 7。 再通过一些试算,算式中的数字,便一个个都推断了出来:







例 10 下面的算式,没有一个已知数。只知道式内的全部数字都是质数。 能把所有的数字都找出来吗?







  解:式中的全部数字都是质数,那么组成算式的数字只能是 2、3、5、7 四个数字。
从三位数乘得的积都是四位数,并且得数全部是质数,我们可以用 2、3、
5、7 任组成一个三位数和一个一位数相乘,凡积也全部是质数的就记下来, 不符合就舍弃,这样使范围逐步缩小。
经尝试,只有 775×3=2325,555×5=2775,755×5=3775,325×7=2275
四种情况。 要符合题目的条件,乘数只能是数字相同的两位数。这样也有四种情况:
775×33 555×55 775×55 325×77。
相乘后,不仅它们的部分积,连完全积也必须都是质数,才能符合题意。 经检验后,只有下面的算式符合:






这团迷雾,终于真相大白。
例 11







解:在乘法中,积的位数估算方法是:看被乘数与乘数首数相乘的积:

首数相乘满 10 时: 积的位数=被乘数位数+乘数位数
首数相乘不满 10 时: 积的位数=被乘数位数+乘数位数-1
本题是三位数与两位数相乘,积为四位数。可知,属首数相乘不满 10 的。由此断定,被乘数的首位是 1。再由两部分积首位相加不进位,断定被 乘数的十位数也只能是 1。被乘数的个位数,则根据积是四位数,参照乘数 的十位数 8,相乘后,部分积的首位不能满 10,断定必是 2。这样,全式便 可以列出了:





例 12

  解:这个除式中,除了告知商中两个数字外,其余的全是未知数!初看 很难。但是,当认真观察全式后,便可发现线索:除数是两位数,与商的首 位相乘,其积是三位数,而与商中的 8 相乘,则积是两位数了,从而可断定:
①商的首位是 9;②除数的首位是 1;③除数的个位数字,一定小于或等于 2。
因为,1□中个位若是 3,与 8 乘积就是三位数了;个位若是 1,与商的首位
9 乘,又不是三位数了。可知,必为 2。即除数是 12。
  再看商的十位数。从商 98□7,对照除式是落下一位不够除的,才连落 两位数,这样,又可断定,十位上的商是 0。
已经知道了除数和商,被除数便是:12×9807=117684。
可知,原式是:








例 13


解:首先要找出解题的突破口。
  从余数是 0,表明商与除数相乘得 138,即“2□×6=138”,一个数乘 6 个位是 8 的只有 3 和 8,但是 2□方框中若是 8,便不合题意,因为 28×6≠
138。
确定了除数是 23,23×6=138,则被除数的个位数也必是 8。 再从商的十位数□与除数 23 相乘得 184,即 23×□=184,可知商的十位
数也是 8。
  商的百位数已知是 1,与除数 23 相乘仍是 23,从首商差的数字是 19, 可推断被除数的首位数字应是 4。
这样,算式便全部恢复了数字:









例 14











解:这是除数是三位数的除法。
  商的百位是 1,它与除数相乘的积个位是 5,可知除数的个位也是 5,即 除数是 215,从而可知第一次相减余 55,拉下 9,得 559。被除数的千位数必
是 7。
再看 559 被 215 除应商几呢?从相减余下 9,可知商的百位数是 2。余
129,再拉下 0,继续除。
除数 215 的多少倍是 1290 呢?从而又确定了商的个位数是 6。 这样,全式便是:








例 15


  解:这道题被除数是六位数,除数和商都是三位数,这么复杂的除式, 知道的数字只有一个 8,要将那些隐去的数字都找出来,就要有侦察员破案 的精神。
  从除数与 8 相乘的积是三位数,而除数与商的百位和个位相乘都得四位 数,说明商的百位和个位都比 8 大,那就只能是 9 了!
即完全商是 989。

  从除数乘 9 得四位数,断定除数百位是 1,否则与 8 乘也是四位数了。 同理,商的十位数也必须比较小。经对照商与乘积关系,反复尝试,确定了 除数是 112。这样,其他各数便不难推断了。
例 16

  解:这是一道六位数除以两位数,商是四位数的除法算式。整个算式中, 只知道商的末位数字是 5,要我们把全部数字都找出来,真是个难解的谜!
从何处下手呢?
  首先要认真观察算式特点,由易到难,顺藤摸瓜。一般都是从除数、商 与被除数的关系进行推导。
  在除法中,余数必须小于除数,落下被除数中的一位后,仍不够除,必 须在商的空位上补 0。由竖式特点,可判定商的百位数是 0。
商的千位数是几呢?
  从商的百位数是 0,可推断,被除数的首位数和第一次余数的首位数必 定是 1,由此,又可推断,如果除数是 11,商的千位数是 9,如果除数是 99, 商的千位数是 1。因为三位数减去两位数,余数是 1 的,只能是 100—99,而 从除式的末尾看,商与除数的积只有两位数,除数若是 99,那么与商的末位
数 5 相乘,便是三位数了!所以,除数只能是 11。 同样,根据除式的特点及已推知除数是 11,可断定,商数的十位数也是

9。
这样,整个算式便可恢复原状了。
9095×11=100045
原式为:








例 17

  解:这道小数除法算式中,竟然连一个已知数都没有。但是却要求根据 算法、算理把全部数字都补上去,真是奇妙!
从哪里寻找突破口?
  我们知道,小数除法最后一个不完全积的右端必有若干个 0,这是它与 整数除法的特殊之处。这就决定了它的商和除数的最后一位数字,必然为一 个是 5,另一个是偶数,否则,它们的积,便不可能是整十、整百、整千?? 了。
从这道式的特点看,商的十分位是 0。首次商后的余数,数字在 1~9 之
间,若不考虑小数点,补 0 后为 100~900 之间。定下这个数之后,便可进一 步分析除数和商的末位数了。
除数是三位数与商的末位相乘得整百的数只有:125×4=500,225×
4=900。
如果除数是 125 (实际是 1.25 ),则被除数是 130 (实际是
1.25+0.05=1.3)。
如果除数是 225 (实际是 2.25 ),则被除数是 234 (实际是
2.25+0.09=2.34)。 经检验,这两种情况都符合题意。 则此式可能是:
解 1:







解 2:



              横式谜


横式谜比竖式谜更为复杂、迷人。 竖式谜只是四则运算中的一种,横式谜则常把加、减、乘、除四则运算
贯穿在一个题目中,有着更大的灵活性。 解横式谜,不能孤立地只看一数一式,必须兼顾上下左右的联系,使所
填数字适应整体要求。
  例 1 将 0、1、2??9 这十个数字,不遗漏,不重复,分别填入□中, 组成三道算式:
□+□=□
□-□=□
□×□=□□
  解:这类问题,虽然要多作尝试,但也要找准突破口,否则,胡乱尝试, 费时费功也难找到正确答案。
  这道题,首先要确定 0 的位置。经分析,前两式不可能含 0。0 只能在第 三式的积中。两数的积含 0 的有:2×5=10 4×5=20 6×5=30 8×5=40, 共四道算式。这样,就把尝试的范围大大地缩小了!
经验证,如下填法可符合要求:
7+1=8
9-6=3
5×4=20
  例 2 将 1~9 九个数字,不重复,不遗漏,填入下列式中的□,使等式 成立。
□□÷□=□□÷□=□□÷□
解:全式中含有三道算式,都是两位数除以一位数,解题应从商入手。 商只能是一位数,若是两位数,则重复的数字太多,三道算式便不能把
1~9 九个数字都包括进去。
这样,只能从商是 2~9 各式中去尝试、筛选。
商是 2 商是 3 商是 4 商是 5 18÷9 27÷9 36÷9 45÷9 16÷8 24÷8 32÷8 40÷8 14÷7 21÷7 28÷7 35÷7 10÷5 18÷6 24÷6 30÷6 15÷5 20÷5 25÷5 12÷4 16÷4 20÷4 12÷3 15÷3 商是 6 商是 7 商是 8 商是 9 54÷9 63÷9 72÷9 81÷9 48÷8 56÷8 64÷8 72÷8 42÷7 49÷7 56÷7 63÷7 36÷6 42÷6 48÷6 54÷6 30÷5 35÷5 40÷5 45÷5 24÷4 28÷4 32÷4 36÷4
18÷3 21÷3 24÷3 27÷3 12÷2 14÷2 16÷2 18÷2
从这一些算式中,按照要求进行分析,把式中含有重复数字的式子全部
剔除,余下的式子若符合条件,便是正确的解。 我们发现,只有商是 7 或 9 的有符合要求的算式。即:
21÷3=49÷7=56÷8
或:
27÷3=54÷6=81÷9
例 3 在下列式中,每个□内填入一个大于 1 的数字,使等式成立。
        [□×(□3+□)]2=8□□9 解:可采用“层层剥笋”的方法,逐步缩小谜底的范围。 把方括号内看作一个数,此式便成为:一个数的平方是四位数,这个四
位数是八千几百几十九。 我们知道,在乘法中,被乘数与乘数的首数相乘满十的,积的位数=被
乘数位数+乘数位数。由此,缩小了方括号中数的估算范围。 经试算,能满足等式右端条件的完全平方数只有 93,即:932=8649,
从而断定:方括号内的数必须是 93。 再分析方括号内各□应填的数。
把小括号看成一个数,则是□×□□=93,93 分解成因数相乘是 3×31,
可知小括内的数和应为 31。由“□3+□=31”,可推知是 23+8。这样,全 式便破译出来了:
[3×(23+8)]2=8649
例 4 在下式□中,分别从 1~9 个数字中,选取八个填入,使带分数相 减的差值最大。





解:要使差的值最大,必须把数字组合成被减数最大而减数最小。 可先确定它们的整数部分:被减数填 98,减数填 12。
分数部分从 3、4、5、6、7 五个数选取。
最大的真分数是分子比分母小 1。因此,被减数的分数部分只能在
6 、 5 、 4 、 3 中挑。减数的分数部分值要求最小,应取分母与分
7 6 5 4
子的差最大,由上述3、4 、5、6、7五个数组合,应是 3 。这样,
7
被减数的分数部分只能挑 5 ,才能避7 字重复出现。
6
故而,上题可填为:


例 5 将 1~8 八个数字,分别填入下式□内,使全式的值最小:
□□×□□×□□×□□
  解:这是两位数相乘的算式,要使相乘得的积最小,必须使各数的高位 数字尽可能小。
  
根据这个原则,填写的顺序应是:
从左至右,先将 1、2、3、4 填在各个数的十位上,再从右至左,将 8、
7、6、5 填在各个数的个位上。最后便得到:
15×26×37×48
例 6 将 1~9 这九个数字,分别填入九个□内,使算式的值为最大。
□□□×□□□×□□□
  解:要使乘积最大,同样,要遵循“把比较大的数都填在高位上”的原 则。据此,可先从左至右,在各数的百位上分别填 9、8、7,再从右至左, 在各数的十位上填 6、5、4,最后再从右至左,在各数的个位上填 3、2、1。 结果得:
941×852×763

填空谜


  例 1 把 4、5、6、7、8、9、10、11 八个数,分别填在等号两端的□里, 使等式成立。
□+□+□+□=□+□+□+□
  解:因为等号两端各有四个数,只要它们的和相等,等式便能成立。题 中八个数的总和是 60,则等号两边的四个数的和应各为 30。这八个数还有如 下特点:4+11=15,5+10=15,9+6=15,7+8=15,只需把这四组数两 两一组,或将每一组的两个数分开于等号两端即可。因此,填法有:
(1)4+11+5+10=9+6+7+8
(2)4+11+6+9=5+10+7+8
(3)4+5+7+8=6+9+5+10
例 2 0.25、0.75、22.5、 、 。
  解:这类题的各个数间都存在一定的相互关系,并不是彼此孤立毫无联 系的。它们都隐含着递增、递减或倍数关系。要认真地观察、分析,找出其 中的规律。
本题的各数,愈向后愈大,而且相邻两数间,后一个数总是它前一个数
的 3 倍。发现这个规律后,往后的数便可很容易的填出来了。 即:6.75(2.25×3)、20.25(6.75×3)
例 3 0、1、1、2、3、5、8、 、 。
  解:这道题初看似无规律:数字虽然逐渐增多,但增多的部分并不相同, 又不成倍数关系。仔细分析后,便可发现:后面的数总是它前面两个数的和, 这样,问题便迎刃而解了。接下去应填:13(5+8=13)、21(8+13=21)。
例 4

  解:每个分数的分子都比分母大,而且差数都是 3。因此可推断最后一 个分数的分子是 23+3=26,即“?”处应填 26。
例 5






解:每个图中,上端的数是被除数,下端的两个数是除数和商。因此,?
=63÷9=7。
例 6

  解:这类题必须仔细观察,反复分析,才能发现共同的规律,否则,把 部分数间的关系当作共同特点,便误入歧途了。本题对顶的两个数间存在共 同规律,即较大的数都是较小数的 2 倍。题中不存在小数,因此,与 19 相对
  
的数应是 19×2=38,即:?=38。
例 7

  解:这三组数,初看毫无联系。实际,每组数的第一个数都是第二、三 两个数和的 2 倍。即:
36=(15+3)×2
           24=(5+7)×2 据此,?=(13+8)×2=42
  例 8 请你把 27、32、50、72 各分成任意的四个数,将分成的四个数分 别填入各个括号中,使等式成立。
(1)分解 27:( )+2=( )-2=( )×2=( )÷2 (2)分解 32:( )+3=( )-3=( )×3=( )÷3 (3)分解 50:( )+4=( )-4=( )×4=( )÷4 (4)分解 72:( )+5=( )-5=( )×5=( )÷5   解:这类问题假如全靠尝试是十分麻烦的。分解成的四个数,分别填入 四个括号,各式得数要相等,四个数的和还必须等于原数。
怎样分解原数便成了关键!
从乘式入手,从最小的数 1 试验,而后再调整。以(1)为例,若乘式填
1,则全式仍保持相等就成了:
     (0)+2=(4)-2=(1)×2=(4)÷2 式子虽成立了,但是分解的四个数和为:0+4+1+4=9,是 27 的三分
之一!所以,乘式原来填的 1 太小了,应再扩大 3 倍,这样再保持等式成立,
便成了:
     (4)+2=(8)-2=(3)×2=(12)÷2 各式的结果都等于 6。 分解的四个数和是:4+8+3+12=27。 其他各题,读者自己填填看。
例 9 找出头、脚数字间的规律,把“?”换成数。

  解:寻找数字间的内在关系,可以把每个图作为独立的个体,考察头、 脚间三个数的内在联系。也可以把三个人当作一个整体,考察数字的演化过 程,用数字间加、减、乘、除,找出存在的共同规律。
  若从头上的数字变化,仅三个人 5→4→?看不出规律。经尝试,每个人 “头上”的数,都是“脚”上数字和的一半。可知“?”是(2+8)÷2=5。
  
例 10 将“?”填上合适的数:
解:头手共三个数。 若把三人当作整体,仍看不出头上数的变化规律。把每个人当作独立的
个体。经尝试,前二人头上数的规律为:中数为两边数的差。从而可知“?” 应填上“2”,即 5—3 的差。











例 11

解:第一人头手三数是 19、21、23。 第二个人头手三数是 71、73、75。
都是连续的三个奇数。第三人手中的两个数也是奇数,可知“?”应填
“5”。
例 12



  解:小动物的四条腿和尾上都有数字。共五个。要我们求解的是尾上的 数字。应考虑尾上的数可能是由四条腿上的数字而来。
通过多方尝试,第一个动物中,前两腿中两数和与后两腿中两数和相减,
差为 5。即:(8+6)-(4+5)=5。可知后一动物中,?=(3+9)-(4
+2)=6。
例 13


  解:小姑娘的头、手、足共有五个数字。头上的数字很可能是其余数字 的计算结果。
经检验,两手数字和与两足数字和的差,恰为头上数字。 可知:?=(4+15)-(13+3)=3
例 14





解:三角形内角三个数的和恰为中心数。可知
?=9+8+1=18

幻方


  例 1 将 1~9 九个自然数,填入下图空格内,使横、坚、斜对角每三个 数的和都是 15。
解:在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中任意一横行、 一纵列及对角线的几个数之和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方”。 我国古代称为“河图”、“洛书”,又叫“纵横图”。








  由三行三列数组成的幻方,称为“三阶幻方”。制作这种幻方的方法是: 把九个自然数,按照从小到大的递增次序斜排(如图一),然后把上、 下两数对调,左、右两数也对调(如图二),最后再把中部四个数各向外拉
出到正方形的四角,幻方就制成了。

  如果把图三制好的幻方,旋转 90°、180°、270°都各成一个新的幻方。 如果画在透明纸上,反过来观察,再旋转上述角度每次所得到的幻方,也具 备上述性质。这样便可得到八个图,当然,它们并无实质上的区别。
幻方的神奇有趣,还不仅仅表现在纵、横、斜和为 15,它具备的许多奇
妙特性,人们尚未充分认识。
  例 2 将 1~9 九个自然数,填在 3×3 正方形表格内,使其中每一横行、 每一竖列及任一条对角线上的三数之和都不等,并且相邻的两个数在图中位 置也相邻。
解:具备题中特征的称为“反幻方”。
据美国当代科普作家加德纳研究发现,符合上述条件的反幻方,只有两 个,即:








  反幻方也很有趣,瞧,它的数字排列酷似个螺旋,前一个由外向内转, 后一个由内向外转。
这使我们想到古代的回文诗。 莺啼岸柳

月明弄 夜睛春
这是一首联珠顶真的回文诗,自外向内再自内向外,如螺旋,可读作: 莺啼岸柳弄春晴,柳弄春睛夜月明。 明月夜睛春弄柳,睛春弄柳岸啼莺。
看一下,它们多么相像!
例 3 认真观察下列的七阶幻方,指出它有哪些显著的特点。

  解:这个幻方纵、横、斜对角的七个数和是 175;如果圈出图内 5×5 格, 也是个幻方,它的纵、横、斜五个数和也是 175;圈出中心的三阶幻方,纵、 横、斜三数和是 75。这个幻方的奇妙之处是:将七阶幻方,剥掉一层,就成 了五阶幻方;再剥掉一层,就成了三阶幻方。它从中心向外辐射,内部的三 阶幻方是个核心。因此,这种幻方,叫做同心幻方,也叫嵌套幻方。
例 4 下图是由 1~64 组成的八阶幻方,如果把其中的数字逐个间隔地
取出来,按原顺序重新组成两个四阶方阵,这个新的数字方阵,有什么特点?
1 35 24 54 43 9 62 32 6 40 19 49 48 14 57 27 47 13 58 28 5 39 20 50 44 10 61 31 2 36 23 53 22 56 3 33 64 30 41 11 17 75 8 38 59 25 46 16 60 26 45 15 18 52 7 37 62 29 42 12 21 55 4 34

解:我们先把上图中数字逐个间隔地取出来,排成如下面的四阶方阵,
再分析它们的特点。

  在这两个图中,任意一横行的数字和是 130,任意一纵行的和以及斜对 角四数之和都是 130!更为奇妙的是:把所有的对角线连起来,凡是不足四 个数的,便与它相对平行的间隔大的一个或两个数相加,其和仍是 130。
例如:


??
例 5 下图是个八阶幻方,算一算,它们的纵、横、对角线上的八个数 和是多少?再算算八个数的积是多少?你发现了什么?















  解:只要学会多位数四则运算了,八个数的加或乘,并不难,细心一些 就行了。
任抽几行算算看:
216+161+17+52+171+90+58+75=840
39+34+138+243+100+29+105+152=840
117+232+17+50+45+108+133+138=840
200+153+58+13+92+57+162+105=840
46+60+17+87+91+225+162+152=840
203+153+90+184+38+108+25+39=840
??
纵、横、斜任意一行,八个数的和都是 840。 将上面的每八个数相乘,令人惊奇的是,它们的积也相等!都是
205806823185600。
这个乘积的数字太大了! 有没有乘积小一些的幻方呢?
  遗憾的是,至今为止,数学爱好者们对阶数低于 8 的“双料”幻方,还 没发现过!尽管多于八阶、十六阶以及更高阶的幻方都有制作。但是这种等 和、等积的幻方,八阶以下的根本没有,或虽然有却无人能创制,总之,现 在还是个谜!
  例 6 下面的图是由 1~81 连续自然数组成的九阶幻方。现把它分割成 相等的九块。算算看,每一小块中的纵、横、斜对角的数字和有什么特点? 解:从左至右,从上而下,我们对每一个方块中的纵、横、斜三数进行 加法运算,令人惊奇的是:这个九阶幻方中,所分成的九小块,每一小块也
都自成幻方! 它们的常数分别是:

31 36 29
30 32 34
35 28 33 76 81 74
75 77 79
80 73 78 13 18 11
12 14 16
17 10 15 22 27 20
21 23 25
26 19 24 40 45 38
39 41 43
44 37 42 58 63 54
57 59 61
62 55 60 67 72 65
66 68 70
71 64 69 4 9 2
3 5 7
8 1 6 49 54 47
48 50 52
53 46 51

96,231,42;69,123,177;204,15,150。
  这三组数的和都是 369,也是相等的,这个数又是整个大幻方的常数。 这种一个大幻方中,又蕴含着许多各自独立的小幻方,被称作“母子幻 方”。最早的“母子幻方”创制者是我国宋代的数学家杨辉,当时他只画出 了图形,没加任何文字说明,人们大都像猜谜一样看不懂。后人经过研究,
终于明白了他的意图,还弄懂了制作的方法。
例 7 上海博物馆存有一块伊斯兰教徒佩带的玉挂,它是从浦东陆家嘴 附近一个名叫陆深的墓中发现的。据考证,陆深是三国时东吴大将陆逊的后 人。玉挂的正面刻有:“万物非主,唯其真宰,穆罕默德为其使者。”玉挂 的反面却整齐地刻着 16 个阿拉伯数字,经过专家的破译,原来是个四阶完全 幻方(如图)。请你认真地计算一下,这个幻方有哪些更奇特的特点?












解:这个幻方具有如下特点:
①纵、横、对角线四数之和(34)都相等。
②对角线“折断”平行线上四数之和也相等,如:
11+13+4+6=3+5+14+12=34
14+2+3+15=5+9+12+8
=13+16+4+1
=11+7+6+10
③幻方中,任何一个 2×2 正方形中四数之和也相等。如
8+11+13+2=11+14+2+7
=14+1+7+12
=34??
④幻方中,任何一个 3×3 正方形,它的四个角数字之也是 34!如:
8+9+14+3=11+6+1+16
=34??

数阵


  数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、 横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形,还有三角形、圆、 多边形、星形、花瓣形、十字形,甚至多种图形的组合。变幻多姿,奇趣迷 人。一般按数字的组合形式,将其分为三类,即辐射型数阵、封闭型数阵、 复合型数阵。
  数阵的特点是:每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相 等。
  它的表达形式多为给出一定数量的数字,要求填入指定的图中,使其具 备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是:
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”,列出关系式,找出关键数——重复使用的数。
  3.确定重复用数后,对照“和相等”的条件,用尝试的方法,求出其他 各数。有时,因数字存在不同的组合方法,答案往往不是唯一的。
  
一、辐射型数阵


  例 1 将 1~5 五个数字,分别填入下图的五个○中,使横、竖线上的三 个数字和都是 10。
解:已给出的五个数字和是:
1+2+3+4+5=15







题中要求横、竖每条线上数字和都是 10,两条线合起来便是 20 了。20
-15=5,怎样才能增加 5 呢?因为中心的一个数是个重复使用数。只有 5 连加两次才能使五个数字的和增加 5,关键找到了,中心数必须填 5。确定了 中心数后,按余下的 1、2、3、4,分别填在横、竖线的两端,使每条线上数 的和是 10,便可以了。
通过尝试,可以填为:

  例 2 将 1~7 七个数字,分别填入图中的各个○内,使每条线上的三个 数和相等。
解:图中共有 3 条线,若每条线数字和相等,三条线的数字总和必为 3
的倍数。
设中心数为 a,则 a 被重复使用了 2 次。即,










1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a
28+2a 应能被 3 整除。
(28+2a)÷3=28÷3+2a÷3
其中 28÷3=9?余 1,所以 2a÷3 应余 2。由此,便可推得 a 只能是 1、
4、7 三数。
  当 a=1 时,28+2a=30 30÷3=10,其他两数的和是 10-1=9,只要 把余下的 2、3、4、5、6、7,按和为 9 分成三组填入两端即可。
同理可求得 a=4、a=7 两端应填入的数。


例 3 将从 1 开始的连续自然数填入各○中,使每条线上的数字和相等。
解:图中共有三条线,若每条线数字和相等,三条线的数














字总和必为 3 的倍数。
设中心数为 a,a 被重复使用了两次,即:
1+2+3+??+10+2a=55+2a
55+2a 应能被 3 整除。
(55+2a)÷3=55÷3+2a÷3
其中,55÷3=18 余 1,所以 2a÷3 应余 2。由此,可推知 a 只能在 1、4、
7 中挑选。
  在 a=1 时,55+2a=57,57÷3=19,即中心数若填 1,各条线上的数 字和应为 19。但是除掉中心数 1,在其余九个数字中,只有两组可满足这一 条件,即:
  




所以,a 不能填 1。

9+7+2=18
8+6+4=18
7+5+3=15

经试验,a=7 时,余下的数组合为 12(19-7=12),也不能满足条件。 因此,确定 a 只能填 4。即














  例 4 将 1~9 九个数字,填入下图各○中,使纵、横两条线上的数字和 相等。
  

解:1~9 九个数字和是:
        1+2+3+??+9=5×9=45 把 45 平分成两份:45÷2=22 余 1。
  这就是说,若使每行数字和为 23,则需把 1 重复加一次,即中心数填 1; 若使数字和为 24,中心数应填 3??。总之,因 45÷2 余数是 1,只能使 1、
3、5、7、9 各个奇数重复使用,才有可能使横、竖行的数字和相等。因而, 此题可有多种解法。但中心数必须是 9 以内的奇数。如:












例 5 将 1~11 十一个数字,填入下图各○中,使每条线段上的数字和 相等。











  解:图中共有五条线段,全部数字的总和必须是 5 的倍数,每条线上的 数字和才能相等。
1~11 十一个数字和为 66,66÷5=13 余 1,必须再增加 4,可使各线上 数字和为 14。共五条线,中心数重复使用 4 次,填 1 恰符合条件。










  此题的基本解法是:中心数重复使用次数与中心数的积,加上原余数 1, 所得的和必须是 5 的倍数。据此,中心数填 6、11 均可得解。
  
二、封闭型数阵


例 1 把 2、3、4、5、6、7 六个数字,分别填入○中,使三角形各边上 的数字和都是 12。






解:要使三角形每边上的数字和都是 12,则三条边的数字和便是 12×3
=36,而 2+3+4+5+6+7=27,36 与 27 相差 9。 三个角顶的数字都重复使用两次,只有这三个数字的和是 9,才能符合
条件。确定了角顶的数字,其他各数通过尝试便容易求得了!






这题还可有许多解法,上图只是其中一种。
例 2 把 1~9 九个数字,分别填入下图○中,使每边上四个数的和都是
21。







解:要使三角形每条边上的数字和是 21,则三条边的数字和便是:21
×3=63。而 1~9 九个数字的和只有 45。45 比 63 少 18,只有使三角形三个 顶角的数字和为 18,重复使用两次,才能使总和增加 18。所以应确定顶点的 三个数。下面是填法中的一种。







确定了顶角的数后,其他各数便容易了。
例 3 下图是四个互相联系的三角形。把 1~9 九个数字,填入○中,使 每个三角形中数字的和都是 15。








解:每个三角形数字和都是 15,四个三角形的数字和便是:15×4=60,
而 1~9 九个数字和只有 45。45 比 60 少 15。怎样才能使它增加 15 呢?靠数 字重复使用才能解决。


  中间的一个三角形,每个顶角都联着其他三角形,每个数字都被重复使 用两次。因此,只要使中间的一个三角形数字和为 15,便可以符合条件。因 此,它的三个顶角数字,可以分别为:
1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5 2、9、4 3、8、4 3、7、5 8、6、1 把中间的三角形各顶角数字先填出,其他各个三角形便容易解决了。 前页下图是其中的一种。
例 4 把 2~10 九个数字,分别填入下图○中,使每条直线上的三个数和 为 15。








解:2~10 九个数字的和为:
        2+3+4+??+10=6×9=54 若排成每个三角形每边的数字和都是 15,图中含有每边都三个数字的三
角形有两个,共六条边,数字总和应是 15×6=90。54 比 90 少 36。在外围
的六个数都被重复使用了两次,它们又分属于两个三角形。所以,每个三角 形三个顶角的数和应为:36÷2=18。
这样,便可以先填外三角形三个顶角的数。
三个数和为 18 的有很多组,可以通过试验筛选出适宜的一组。 填好了外围三角形各个数后,里面的三角形,因为顶角的数已知,其他
各数便容易填写了。
下面是填法中的一种:

  例 5 把 1~10 十个数字,分别填入下图○中,使每个三角形三个顶角的 三个数字和相等。
  

解:图中有三个三角形,顶角数字互不联系,中心的一个数独立于各个 三角形之外。因此,要使各三角形顶角的数字和相等。去掉中心数后,数字 总和应是 3 的倍数,而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复。














如:以 10 为中心数,可填为如前页下图样。
例 6 将 1~12 分别填入下图○中,使图中每个三角形周边上的六个数的 和都相等。











  解:图中共有四个三角形,共有六个边。1~12 的数字和是 78。每条边 上的数字和应为:78÷6=13。
如:



  这样,我们可以推想:因为内部的三条边都被重复计算两次,只要每个 数增加 1,十二个数的总和便增加 6,它们同样可以填出来,因而,本题的解
  
法是很多的。
7. 把 1 、 1 、 1 、 1 、 1



、 2 、 3 、 5



、 7 九个数分别填入下

2 3 4

6 12

3 4 12 12

图○中,使每条直线上的三个数的和都相等。

解:九个分数排成方阵,使纵、横、对角线的三个数和相等,这已经符 合幻方的要求了,因此,可以按幻方的制作方法求解。











这十二个分数,按从小到大的顺序排列是:

1 、 1 、 1 、 1 、 5

、 1 、

7 、 2 、 3

12 6 4

3 12 2 12 3 4

把它们按序排列为斜方形: 将上、下两数,左、右两数对调,再把中间四数向外拉出,这样重新组
成的数阵,便是求得的解了。

例 8 将 1~8 八个数字,分别填入下图○中,使每个小三角形顶点上三 数之和为 12。








  解:图中共有四个小三角形,每个三角形顶点数字的和若都是 12,数字 总和便是 12×4=48,可是 1~8 八个数字总和只有 36。36 比 48 少 12。只有 靠共用顶角上数的重复使用,才能解决。因此,必须把四个公用顶角的数字 和填成 12。把 1~8 八个数四个一组,和为 12 的有:
  
6+3+2+1
5+4+2+1
上述两组中,经验证,只有 6+3+2+1 可以作公用顶点的数字。 确定了公用顶点的数,其他各数也便容易了。可填为:








  例 9 在下图五个○内,各填入一个自然数,使图中八个三角形中顶点的 数字和各不相同。求能满足这个条件的自然数中最小的五个数。
  解:能满足使八个三角形顶点数字和各不相同的任意自然数有很多组, 但自然数中能满足这个条件的最小自然数却只有一组。
最小的一组自然数中的五个数,若有两个相同的,其中三个数的和可以 多到有 7 个不同值,因此,五个数互不相同。如









果这五个数是 1,2,3,4,5,则其中三个数的和有如下组合方式:
1+2+3=6 2+3+4=9 3+4+5=12
1+2+4=7 1+3+4=8 2+3+5=10
2+4+5=11
这样,总共只有七种不同的和,而图中共有八个三角形,可知 1,2,3,
4,5 五个自然数不能满足条件。 因而,可填为如下形式。









例 10 在下列图中三个正方形中,每个正方形的四个顶点上,只填入 1,
2,3,4 四数,使图中八个三角形顶点数字和互不相同。

  解:图中,顶角在大正方形边上的四个三角形,顶角都分别为两个三角 形共用,只有正方形的四个角分别只属于一个三角形,所以,四个三角形顶
  
点数字的和应等于:


(1+2+3+4)×3=30

30 不是 4 的倍数,因而,外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。同 理,里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等。










题中要求,每个三角形顶点数字和不相同,1~4 四个数之和最小值是 1
+1+2=4,最大值是 4+4+3=11,这样共可组成八组数,将八组数分别填 入各个三角形顶点,便可符合条件。
例 11 将 1~8 八个数字,分别填入下图○中,使每个面的四个数和相 等。












  解:数字图是个正立方体,共有六个面。每个面四个顶点上的数都是三 个面重复使用的。
1~8 八个数的数字总和是:
1+2+3+??+8=36 因为每个顶点的数都被重复使用三次,所以六个面的数字总和是:
36×3=108

每个面的数字和便是:


108÷6=18

这样,便可填为下图或其他形式。 由数学符号、文字符号或图形等组合成的数学问题,幽深、隐秘,妙趣
横生。
符、形问题扑朔迷离,初看无从下手。但只要认真分析一下题目的特点, 它与“虫蚀算”有些相似,仍然可以从中找出隐含的“蛛丝马迹”。











解这类问题,要根据组成题目的各种条件和其中的已知数目,上下或前

后对照,综合分析,发现其中的内部联系,找出一两个突破口,便可使问题 破译。

符形数谜


由数学符号、文字符号或图形等组合成的数学问题,幽深、隐秘,妙趣 横生。
符、形问题扑朔迷离,初看无从下手。但只要认真分析一下题目的特点, 它与“虫蚀算”有些相似,仍然可以从中找出隐含的“蛛丝马迹”。
解这类问题,要根据组成题目的各种条件和其中的已知数目,上下或前 后对照,综合分析,发现其中的内部联系,找出一两个突破口,便可使问题 破译。

竖式谜

例 1 题中的“桃、李、杏、橘、梨”各代表什么数字,算式才能成立?

  解:这是由数种水果摆成的加法算式。在同一道题中,同一种水果,不 论它在哪个数位上,代表的数字都是相同的。
  本题中,“梨”是由“桃+桃”进位得出的,可知它代表 1,因为两个数 字相加只能进“1”。
  从个位“橘+橘”仍得“橘”,可知“橘=0”。再从“桃+桃=橘”,可知 “桃=5”。
从“杏+梨=桃”,已知梨=1,桃=5,可知“杏=4”。 从“李+李=杏”,已知“杏=4”,所以“李=2”。 从而可知全式为:



例 2



  解:从竖式看,三个加数是相同的两位数,而且和的末两位与加数相同。 个位的“习+习+习=习”,在 1~9 各数中,只有 0 和 5 可能。若习为 5, 则十位的“学”三数相加再加进位的“1”,便没有符合条件的数。所以断定
“习=0”。
十位的“学+学+学=学”,也只能是 5,才成立。由此,又可推断“再=1”。 所以原式是:




例 3

解:个位“趣+趣+趣=□4”,推断“趣=8”。和的十位数是 9,其中含 个位进上来的 2,所以,“有+有+有=□7”,推断“有=9”,进位二。 从和的千位与百位数字特征,推断出“真=1”,“是=6”。
原式便是:


例 4


解:根据竖式特点分析:可知“数=1”,“学=2”,“用=8”。再从“学
+用+好+好”中,推定“好=6”,“为=4”。 故数字式为:





例 5

解:个位数“看+看=看”,推断“看=0”。 千位的“边”是从进位得来的,百位的加数是两个,进位只能是 1,所
以“边=1”。
  和的十位上是“边”,可知“想+算=11”,百位上的“想+ 算”再加上 进位的 1,应是 12,推断:“想=9”。
所以算式是:


例 6




解:和的千位“真”是由加数的百位数“巧+真”进位得来,断定“真
=1”,因为两个数相加不可能进 2。 和的百位“巧+真=是”,已知“真=1”,可知“巧=9,是= 0”。 和的个位“巧+巧=啊”,已知“巧=9”,所以“啊= 8”。 算式应为:



例 7

解:从和的连续进位,可断定“K=9”。 由个位“K+N=0”中,已知 K=9,则 N=1。 算式应为:





例 8


  解:由个位五个 A 相加,和的个位是 0,且十位有二个 A,加上进位为 0, 可知 A 不是 0,便是 4。
从和的百位是“5”,断定“A≠0”,且 A<5。 算式便是:






例 9

  解:从个位“C+M+C=6”,可知十位“M+C+C=6”。而和的十位数是 M, 断定“M=6”,由“M=6”,可知“C=0”。
算式应为:


例 10 ABC 是个三位数。



解:从个位“C+C=8”,可知“C=8÷2=4”。
  从百位“A+A=3”,3 为单数,可断定其中含有十位上进过来的 1,实际 A+A=2,“A=1”。
十位 B+B=14,可知“B=7”。
算式应是:



例 11

解:这题全由英文字母组成。 由千位的进位情况,可断定“M=1”、“S=9”、“Q=0”,由百位和十位
的进位情况,可求出“R=8”、“ N=6”、“D=7”、“E=5”“Y=2”。 算式应为:


例 12

解:由千位数“A+C”进位,断定“B=1”。 由个位数“D+B=B”,断定“D=0”。 由十位数“C+A=B=1”可知 C+A 满十进 1。
  由百位数“B+B=C”可知“C=2+1=3”,已知“C=3”,由十位和千位加式, 断定“A=8”。
可知原式为:




例 13

解:从和的个位“兵-兵=兵”,可知“兵=0”。 从全式四位数减去三位数,差变成了三位数,可知因借位造成的,帅必
为 1。
从百位上“兵-将=将”,已知“兵=0”,则将必为 5。 原式应是:





例 14

  解:从算式可知,被减数是四位数,相减后,差变成了三位数,必因借 位造成的。从而断定“前=1”。从“进-进=速”,同数相减需借位,其差为
9,可知“速=9”。由个位“前-进=速”,已知前为 1,速为 9,可断定“进
=2”。 全式便是:



例 15



解:可以这么分析:
从百位 A-B=0,可知 B+1=A,10+B-C=A,C-A
  =B。把 10+B-C=A 中的“B”换成 C-A 则可求得 10+(C-A)-C=A 10=2A “A=5”。
再由 B+1=A,可知“B=4”。

由 C-A=B,也即 C=A+B=5+4=9。 算式应为:





例 16 下式中 A、B、C、D 各应是什么数?

  解:全式是五位数减去四位数,差变成了三位数。从而断定:“A=1”, “D=9”,这样便找到了解题的突破口。
从个位 7-C=9,可知“C=8”。
从十位 C-B=0,已知 C=8,则“B=7”。 全式便破译了:



例 17 下式中文字各代表什么数?

  解:被乘数是三位数,乘以 6 后变成了四位数,断定飞>1,这样才有 可能进位。
假定“飞=2”,2×6=12,进 1。这样,对照百位数的“飞×6”,则“快
=1”了!再对照十位的“呀×6=快”,便矛盾了,因为不论“呀”是几与 6 相乘都不可能得 1(快)。所以,“飞≠2”。
飞不可能是 3,因为 3×6=18,尾数不是同一个字。其它 5、6、7、8、9
与 6 相乘,积的个位都不能与被乘数个位相同。 所以,“飞”只能是 4。 由此,可断定“呀=0”,“快=2”。 算式是:




例 18 下列算式中,每个不相同的字都代表一个不同的数字。已知“赛” 代表 9,其他各代表什么数字?



解:已知“赛=9”,则个位“赛×赛=81”“来=1”进 8。“请”只有是
7,才能使积的十位数字是 1。“请×赛+8=71”,进 7。“邀=6”,才能使百 位的积也是 1。
同样道理,可以推知: “学=5”,“数=4”,“加=3”,“参=2”,所以,算式是:



例 19


其中:A=1 B=( ) C=( ) D=( )
  解:由“A=1”推断“D=9”。千位A×9=9 结合十位的进位 8,推断“B=0”, “C=8”。
算式是:




例 20 把下式的文字变为数字,使算式成立。

  解:这个算式的特点是:被乘数的六个数字各不相同,积却是同一个数 字。
  首先分析个位数“学×学”同数相乘寻找突破口:“学”不可能是 1, 因为 1×1=1,与“学×学=好”相矛盾。
假定“学=2”,则“好=4”,这样,必须“数=7”,才能使“好=4”。2
×7=14,进 1,只有“欢×学=3”,才能保证“好=4”,但乘数“学”若是 2, 与任何整数相乘,都不能得 3。所以“学≠2”。
假定“学=3”,则“好=9”。而被乘数中其他各数都不是 3,积也不能
再得 9。所以,“学≠3”。
  假定“学=4”,4×4=16,则“好=6”,进位 1,此后 4 乘任何数再加进 来的 1,都不能得 6。所以,“学≠4”。
假定“学=5”,5×5=25,则“好=5”,不合题意。同理,“学≠6”。
再试“学=7”,“好=9”符合题意。
已知个位数,学=7,积为 999999,其他各数便不难求得了。 所以这道算式是:



例 21

  解:“天然居”是连云港市中心的一座高级宾馆。它的顶层可自动旋转, 登临楼顶,宛如腾云驾雾,远望青山绿水,俯视车水马龙,港城风光尽收眼 底。
上述问题,也如谜似幻,难在乘式的积都是各不相同的文字。 但是,只要作深入的分析考查,仍可找到解题线索。就从个位“居×请=
□客”和万位“客×请=居”入手吧。 被乘数是五位数,积仍是五位数,说明“客×请”的积小于 10,因数中
若没有 1,则必为 2 和 4。因为“客”、“请”是两个不相同的文字,不可能 都是 3。
  假定“客=4”,“请=2”,则居可能是 8。若是 8,对照个位“居×请= 客”不符。
  
假定“客=2”,“请=4”,则“居×请=□2”符合题意,再推断出“居
=8”??。 这样,经过反复尝试,最后便可揭开谜底。即:“客=2”,“上=1”,
“天=9”,“然=7”,“居=8”,“请=4”。 全式为:





例 22 下式中,“奇”字为奇数,即指 1、3、5、7、9 中的某一个,“偶” 字为偶数,即指 0、2、4、6、8 中的某一个。为使竖式成立,求它的所代表 的数字。






  解:在乘法中,奇数×奇数=奇数,奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶 数。
在加法中,奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数,偶数+偶数=偶数。
据此,对照部分积进行分析,被乘数中的“奇≥3”,因为若<3,即使
与 9 相乘,进位也不可能是偶数。从第二部分积看,它只能是 3,否则与乘 数中的“偶”相乘,便不会是两位数了。
由被乘数中的“奇=3”,可推定乘数中的“偶=2”,否则,便不可能使
第二部分积为两位数。
  被乘数中的“偶”≤4,否则,第二部分积的百位数将是奇数了!验证后, 断定:“偶=2”。
最后分析乘数中的“奇”代表的数字。经尝试 3、5、9 都不符合条件,
所以,乘数的个位数的“奇=7”。 从而列出算式:







数字所在的数位,完全符合原式中奇、偶数的规定。
例 23 下式中,不同位置的“奇”、“偶”可以是相同的数,也可以是 不同的数。但是数位是“奇”必须是奇数,数位是“偶”必须是偶数。










  解:为了便于分析和叙述,我们将式中的“奇”、“偶”换成不同的代 号。根据“奇数×奇数=奇数”,“偶数×偶数=偶数”,“偶数×奇数=偶数”
  
的规律,可作如下分析:
fgh 和 mnp 是不同的三位数,说明:c、d 不可能是 1、9,只能是 3、5、
7 中的两个数。从而可断定“a=1”。b 位是奇数。若 b 是奇数,“ab6×5” 的十位数必是偶数,所以“c≠5”。如果“d=5”,则“p=0”。从式中可见 “k-p”是借前一位的,所以“p≠0”,因而,“d≠5”,可能是:“c=3, d=7”或“c=7,d=3”。试算 ab6×7 和 ab6×3 的积十位分别是奇数和偶数,
便可断定:“c=7,d=3”。









已知 c 为 7,b 只能为 1 或 3,试算可判定“b=1”。
因为 s 是奇数,则 6×e 进位的数是奇数,可推知 e 可能是 2 或 6,若 “e=6”,n 已确定为 4,则“j-n”需借位,便不符合算式 3,从而断定: “e=2”。知道了除数和商,整个算式便可推出。
  
                 横式谜

例 1 想想×算算=嘻嘻哈哈
  解:这个算式的特点是:相乘的两个两位数,每个数的数字分别相同, 积的前两位和后两位数字也分别相同。两个两位数相乘所得的积又是四位 数。根据这个特点,“想”和“算”必须>3,否则,积只能是三位数,也即 “想×算”积应进位。由此,可作如下尝试:
44×33=1452 55×33=1815
66×33=2178 77×33=2541
  88×33=2904 99×33=3267 上述乘数是 33 的,积都不合要求。
55×44=2420 66×44=2904
77×44=3388 88×44=3872
99×44=4356
其中:77×44=3388 符合题目条件。
例 2 abcd×9=dcba
  解:abcd 是四位数,与 9 相乘仍得四位数,表明被乘数首数 a×9 没有 进位,a 只能是 1,由积的尾数 a 进 1,推知“d=9”,再结合进位情况和积 的数序,推知“b=8”,“c=0”,从而得解:
1089×9=9801
  例 3 下式中,不同的字母代表 1~9 中的不同数字,要使两道式同时成 立,各字母应是什么数字?
A×B=CD,E+F=DC
  解:观察算式,可见积与和是逆序数,因此,可先从结果寻求突破口。 由于各个字母代表的数字不同,试取的积应该是它的逆序数同时是另外 两个不同数字的乘积,如:12=3×4,21=3×7,而若选 48 则肯定不行,因为
48=6×8,式子本身便重复了“8”。
经验证,可作如下填法:
?3×7 = 21
?8 + 4 = 12
  例 4 “好、好、学、习”各代表一个什么数字,才能使下面三个等式同 时成立?
          ? ①好 + 好 + 学 + 习 = 18
?
? ②好 + 好 - 学 + 习 = 4
?
? ③好 + 好 + 学 - 习 = 8
  解:这种相互联系的题目,同一个文字在不同的题目中,代表的数字却 是相同的。因此,不能孤立地只解一个,不顾其他。
由于题目中含有相同的文字,可以把式与式相加减,使问题简化。 把①式与②式相加,得:
“4 好+2 习=22”

化简

把②式与③式相加,得:


“2 好+习=11”

“4 好=12”,“好=3” 从“2 好+习=11,好=3”可知:“习=5”。
从“好+好+学+习=18”,已知“好=3,习=5”,可知:“学=7”。
例 5“如、花、岁、月”各代表一个什么数字,能使下面三个等式成立?
①如+花×岁+月=18
②如×花-岁+月=18
③如×岁+花-月=18 解:这种文字谜可以用“消量法”解。 将①式与③式相加,可消去“月”字:
(如+花×岁+月)+(如×岁+花-月)=18+18 如+花+花×岁+如×岁=36 如+花+岁×(花+如)=36
         (如+花)×(岁+1)=36 即:(如+花)×(岁+1)的积是 36
36 可分解为:
36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6 可知:(如+花)和(岁+1)必为上述五个乘式中的一个。
(岁+1)的值不可能少于 2,也不可能大于 10。(如+花)的值不可能小
于 3,也不可能大于 17。所以,(如+花)与(岁+ 1)的值只有四种可能:
①“岁+1=3 如+花=12”
②“岁+1=4 如+花=9”
③“岁+1=9 如+花=4”
④“岁+1=6 如+花=6” 经验证,只有②成立。可知:
“岁=3,月=1,如=5,花=4”

符号谜
例 1 在□内填入“+”、“-”号,使等式成立
1□23□4□56□7□8□9=100
  解:解这类题目仍要先观察等号右端的数,根据这个结果的大小,确定 算式中数间的符号。本题的结果是 100,比式中任何一个数都大得多,便可 肯定在式中的 23、56 之前必须用“+”号,而后再用“+”或“-”,试算其 他各数,直到符合最后结果是 100 为止。
这题的正确填法是:
1+23-4+56+7+8+9=100
  例 2 下式左端是一位数的四则运算,请填入+、-、×、÷、()等符号, 使等式成立。
① 9 8 7 6 5 4 3 2 1=100
  解:算式的结果是 100,如果全用“+”,9~1 九个数的和是 45(简算 用中间项 5 乘以项数 9)。显然,需用乘号。倘在较小的数间填“×”,与
100 仍相差很多,因此需在较大的数间填“×”。经试算,8×9=72,余下七 个数的和是 4×7=28,相加恰是 100。即:
9×8+7+6+5+4+3+2+1=100
② 9 9 9 9 9=17
  解:结果是 17,等号左端的数是五个 9。9+8=17。因此,必须把其中的 四个 9,通过添加运算符号,使其得数为 8,才能保证最后结果为 17。通过 试算:
                 (9×9-9)÷9=8
这样,整个算式可组合为:
(9×9-9)÷59+9=17
例 3 改动下式中的一个运算符号,使下式成立。
1+2+3+4+5+??+19+20=200
  解:这是个连续数相加的算式,确定改动哪一个符号,必须先知道已知 的和 200 与实际和的差数。
1~20 各数的实际和是:
总和=(首项+尾项)×(项数÷2)
(1+20)×(20÷2)=210
210 比已知的和多 10,即 210—200=10 因此,只要在算式中,将“+10”改为“-10”即可以了。
例 4 在下式合适的位置添上()、〔〕和(),使等式成立。
1+2×3+4×5+6×7+8×9=9081
  解:本题的最后结果是 9081,数目较大,求解有一定难度,但仍可用“层 层剥笋”的方法,缩小推导范围。
将 9081 分解得:
9081=1009×9 因此,{}位置可定,即:
{ }×9=9081
  1009-8=1001。而 1001=7×ll×13=77×13。据此,可将 8 前的算式 用添括号的方法,使它成为结果为 77 和 13 相乘的两个算式。经试算,
(1+2)×3+4=13(5+6)×7=77

从而,可以确定各种括号的位置。即:
{〔(1+2)×3+4〕×(5+6)×7+8}×9=9081
例 5 用六个 9 组成等于 100 的算式。
  解:本题没有规定六个 9 的组合形式,因此,每一个数可以是 9,也可 以是 99,或 999??。各数间的运算符号也没有特殊要求,+、-、×、÷、
()、〔〕、{}完全可根据自己需要选用,只要把六个 9 组合成算式使结 果为 100,便符合题目的要求了!因此,有时可以有许多种解法。
如,本题可组合为:
解 1:99+99÷99=100
解 2:(999-99)÷9=100
解 3:9×9+9+9+9÷9=100 解 4:99÷9×9+9÷9=100
  例 6 在下列算式中加上运算符号,使每一道算式都不相同,但结果却都 等于 5。
① 5○5○5○5○5=5
② 5○5○5○5○5=5
③ 5○5○5○5○5=5
④ 5○5○5○5○5=5
⑤ 5○5○5○5○5=5
  解:解这类问题没有固定规律,只有不断地反复尝试,才能找到答案。 下面是参考答案。
① 5+5+5-5-5=5
② 5÷5-5÷5+5=5
③ 5÷5×5+5-5=5
④ 5×5÷5×5÷5=5
⑤ 5×5-5×5+5=5
  例 7 用五个 3 组成十一道算式,在数字间加上不同的运算符号,使它们 的结果依次等于 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
① 3○3○3○3○3=0
② 3○3○3○3○3=1
③ 3○3○3○3○3=2
④ 3○3○3○3○3=3
⑤ 3○3○3○3○3=4
⑥ 3○3○3○3○3=5
⑦ 3○3○3○3○3=6
⑧ 3○3○3○3○3=7
⑨ 3○3○3○3○3=8
⑩ 3○3○3○3○3=9 (11) 3○3○3○3○3=10
解:填符号的方法不是唯一的。下面是参考答案。
① 3×3-3-3-3=0
② 3-3÷3-3÷3=1
③ 3×3÷3-3÷3=2
④ 3×3÷3+3-3=3

⑤ 3×3÷3+3÷3=4
⑥ 3+3+3÷3+3=5
⑦ 3×3-3+3-3=6
⑧ 3×3-3+3÷3=7
⑨ 3+3+3-3+3=8
⑩ 3×3÷3+3+3=9 (11) 3+3+3+3÷3=10
  例 8 下面各式,等号两端的数字是一样的,请在等号右端的○中,填上 与等号左端不同的运算符号,使等式成立。
① 1×2×3=1○2○3
② 4×2-1=4○2○1
③ 8÷4+1=8○4○1
④ 3×2+2×1=3○2○2○1
⑤ 4×2+3×1=4○2○3○1
解:答案是:
① 1×2×3=1+2+3
② 4×2-1=4+2+1
③ 8÷4+1=8-4-1
④ 3×2+2×1=3+2×2+1
⑤ 4×2+3×1=4+2×3+1
  例 9 下面的七道算式结果都等于 1,数字间应加上哪些符号,算式才能 成立?
① 1○2○3=1
② 1○2○3○4=1
③ 1○2○3○4○5=1
④ 1○2○3○4○5○6=1
⑤ 1○2○3○4○5○6○7=1
⑥ 1○2○3○4○5○6○7○8=1
⑦ 1○2○3○4○5○6○7○8○9=1
解:下面是参考答案:
① (1+2)÷3=1
② 1×2+3-4=1
③ 〔(1+2)÷3+4〕÷5=1
④ 1×2×3-4+5-6=1
⑤ 1×2+3+4+5-6-7=1
⑥ (1×2×3-4+5-6+7)÷8=1
⑦ 〔(1+2)÷3+4〕÷5+6-(7+8-9)=1
  例 10 下面的三道算式,运算结果都错了,能否不改动数字,只加入适 当的括号使等式仍成立?
① 78+84÷3+21=75
② 573-273+149=151
③ 500÷250×8-1500=1
  解:解这类问题,首先应算出式子的结果,再对两个不同的结果作比较 如(1)78+84÷3+21=78+28+21=127,大于 75,则考虑使算式得数变
  
小,从而确定括号所加的位置。这三题可以是:
①(78+84)÷3+21=75
② 573-(273+149)=151
③ 500÷(250×8-1500)=1
  例 11 在下列各式左端添上+、-、 ×、÷、()等,数字也可以根 据需要任意组合成两位数或三位数等,使等式能够成立。
① 9 9 9 9 9=17
② 9 9 9 9 9=18
③ 9 9 9 9 9=19
④ 9 9 9 9 9=20
⑤ 9 9 9 9 9=21
⑥ 9 9 9 9 9=22
解:下述答案可供参考:
① (9×9-9)÷9+9=17
② (9-9)×9+9+9=18
③ 9+(99-9)÷9=19
④ (9+9)÷9+9+9=20
⑤ (99+9)÷9+9=21
⑥ (99+99)÷9=22
  例 12 下列各式是一位数四则运算,请填入运算符号及顺序符号,使等 式成立。
① 9○8○7○6○5○4○3○2○1=1
② 9○8○7○6○5○4○3○2○1=10
③ 9○8○7○6○5○4○3○2○1=100
④ 9○8○7○6○5○4○3○2○1=1000
⑤ 9○8○7○6○5○4○3○2○1=1993
⑥ 9○8○7○6○5○4○3○2○1=1994
解:参考答案:
① 9-8+7-6+5-4-3+2-1=1
② 9×8-7×6-5×4+3-2-1=10
③ 9×8+7+6+5+4+3+2+1=100
④ (9×8×7-6-5+4+3)×2×1=1000
⑤ (9+8)×(7+6)×(5+4)+3+2-1=1993
⑥ 9+8×(7+6×5×4-3)×2+1=1994
例 13 在下列各式的适宜位置添加()、〔〕和{},使等式成立。
① 1+2×3+4×5+6×7+8×9=1005
② 1+2×3+4×5+6×7+8×9=9081
③ 1+2×3+4×5+6×7+8×9=1717
解:可如下添加括号:
①(1+2)×〔3+4×(5+6)×7〕+8×9=1005
②{〔(1+2)×3+4〕×(5+6)×7+8}×9=9081
③ 1+2×3+〔(4×5+6)×7+8〕×9=1717
  例 14 A、B、C 各代表一个整数,根据下面三个相联系的式子,它们各 是什么数?
  
A+A=A B-B=A B×A=A A÷B=A
  解:从前两道关系式,可断定“A=0”,因为只有 0+0=0,同数相减 得 0。
  从后两道关系式,可断定 B 为任意数都可以,因为任何数乘 0 等于 0,0 除以任何数得 0。由于 0 不能作除数,而 A÷B=A,必须具备“B≠0”,等式 才成立。
  例 15 下面的四道算式所得结果的和恰是 100,A 是什么数,算式才能成 立?
A+A=□ A-A=□ A×A=□ A÷A=□
□+□+□+□=100
   解:四道算式中,有两道可以直接得出结果。即:A-A=0,A÷A=1, 因为同数相减差是 0,同数相除商是 1。这样,另两式的结果之和必为 99。 经尝试运算,在 1~9 九个数字中,只有 A=9 算式才能成立。即:
9+9=18
9-9=0
9×9=81
9÷9=1
  例 16 下题中“□、○、△”各代表一个数,根据已知的条件,你能知 道它们是什么数吗?
① □+□+□=120
② ○×△=45
③ □÷○=8
④ △=? 解:从①式,可知: “□=120÷3=40”
将③式换成:40÷○=8,可知:
“○=40÷8=5” 将②式换成:5×△=45,可知: “△=45÷5=9”
例 17 下列三式是互相有联系的,每个图形代表一个整数,其中□、△、
○各代表什么数?
① □+△+○+○=13
② □+△+△+○=14
③ □+△+△+○=17
  解:经观察,每道式中都有两个相同的图形。若能求出三个各不相同图 形的和,而后与四个图形的和作比较,便可求得一个图形所代表的数了。
将三式相加可得:
4□+4○+4△=13+14+17=44
奇妙数学大世界A的下一页
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