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和小学数学教师谈解应用题的方法



和小学数学教师谈解应用题的方法

一、观察法


  在解答数学题时,第一步是观察。观察是基础,是发现问题、解决问题 的首要步骤。小学数学教材,特别重视培养观察力,把培养观察力作为开发 与培养学生智力的第一步。
  观察法,是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点,条件与结论之 间的关系,题目的结构特点及图形的特征,从而发现题目中的数量关系,把 题目解答出来的一种解题方法。
  观察要有次序,要看得仔细、看得真切,在观察中要动脑,要想出道理、 找出规律。
*例 1(适于一年级程度)此题是九年义务教育六年制小学教科书数学

第二册,第 11 页中的一道思考题。书中除图 1-1 的图形外没有文字说明。这 道题旨在引导儿童观察、思考,初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学
过 20 以内的加减法,基于他们已有的知识,能够判断本题的意思是:在右边
大正方形内的小方格中填入数字后,使大正方形中的每一横行,每一竖列, 以及两条对角线上三个数字的和,都等于左边小正方形中的数字 18。实质 上,这是一种幻方,或者说是一种方阵。
解:现在通过观察、思考,看小方格中应填入什么数字。从横中行 10+6+
□=18 会想到,18-10-6=2,在横中行右面的小方格中应填入 2(图 1-2)。 从竖右列 7+2+□=18(图 1-2)会想到,18-7-2=9,在竖右列下面的小方
格中应填入 9(图 1-3)。

  从正方形对角线上的 9+6+□=18(图 1-3)会想到,18-9-6=3,在大正方 形左上角的小方格中应填入 3(图 1-4)。
从正方形对角线上的 7+6+□=18(图 1-3)会想到,18-7-6=5,在大正方 形左下角的小方格中应填入 5(图 1-4)。


  从横上行 3+□+7=18(图 1-4)会想到,18-3-7=8,在横上行中间的小方 格中应填入 8(图 1-5)。
  又从横下行 5+□+9=18(图 1-4)会想到,18-5-9=4,在横下行中间的小 方格中应填入 4(图 1-5)。
图 1-5 是填完数字后的幻方。


  例 2 看每一行的前三个数,想一想接下去应该填什么数。(适于二年级 程度)
6、16、26、 、 、 、 。
9、18、27、 、 、 、 。
80、73、66、 、 、 、 。
解:观察 6、16、26 这三个数可发现,6、16、26 的排列规律是:16 比
6 大 10,26 比 16 大 10,即后面的每一个数都比它前面的那个数大 10。
观察 9、18、27 这三个数可发现,9、18、27 的排列规律是:18 比 9 大
9,27 比 18 大 9,即后面的每一个数都比它前面的那个数大 9。
观察 80、73、66 这三个数可发现,80、73、66 的排列规律是:73 比 80
小 7,66 比 73 小 7,即后面的每一个数都比它前面的那个数小 7。 这样可得到本题的答案是:
6、16、26、36、46、56、66。
9、18、27、36、45、54、63。
80、73、66、59、52、45、38。


例 3 将 1~9 这九个数字填入图 1-6 的方框中,使图中所有的不等号均
成立。(适于三年级程度) 解:仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现:只有中心的那个方
框中的数小于周围的四个数,看来在中心的方框中应填入最小的数 1。再看
它周围的方框和不等号,只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框 中的数,其它方框中的数都是一个比一个大,而且方框中的数是按顺时针方 向排列越来越小。
所以,在左下角的那个方框中应填 9,在它右邻的方框中应填 2,在 2
右面的方框中填 3,在 3 上面的方框中填 4,以后依次填 5、6、7、8。 图 1-7 是填完数字的图形。




  例 4 从一个长方形上剪去一个角后,它还剩下几个角?(适于三年级程 度)
  
  解:此题不少学生不加思考就回答:“一个长方形有四个角,剪去一个 角剩下三个角。”
  我们认真观察一下,从一个长方形的纸上剪去一个角,都怎么剪?都是 什么情况?
(1)从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角,剩下三个角(图 1-8)。
(2)从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角,剩下四个角(图
1-9)。
(3)从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角,





剩下五个角(图 1-10)。


  例 5 甲、乙两个人面对面地坐着,两个人中间放着一个三位数。这个三 位数的每个数字都相同,并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的 这个数大一半,这个数是多少?(适于三年级程度)
  解:首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的,不然就没法考 虑了。
甲看到的数与乙看到的数不同,这就是说,这个三位数正看、倒看都表
示数。在阿拉伯数字中,只有 0、1、6、8、9 这五个数字正看、倒看都表示 数。
这个三位数在正看、倒看时,表示的数值不同,显然这个三位数不能是
000,也不能是 111 和 888,只可能是 666 或 999。
  如果这个数是 666,当其中一个人看到的是 666 时,另一个人看到的一 定是 999,999-666=333,333 正好是 666 的一半。所以这个数是 666,也可 以是 999。


  *例 6 1966、1976、1986、1996、2006 这五个数的总和是多少?(适 于三年级程度)
解:这道题可以有多种解法,把五个数直接相加,虽然可以求出正确答
案,但因数字大,计算起来容易出错。 如果仔细观察这五个数可发现,第一个数是 1966,第二个数比它大 10,
第三个数比它大 20,第四个数比它大 30,第五个数比它大 40。因此,这道
题可以用下面的方法计算:
1966+1976+1986+1996+2006
=1966×5+10×(1+2+3+4)
=9830+100
=9930
这五个数还有另一个特点:中间的数是 1986,第一个数 1966 比中间的
数 1986 小 20,最后一个数 2006 比中间的数 1986 大 20,1966 和 2006 这两 个数的平均数是 1986。1976 和 1996 的平均数也是 1986。这样,中间的数 1986 是这五个数的平均数。所以,这道题还可以用下面的方法计算:
1966+1976+1986+1996+2006
=1986×5

=9930


  例 7 你能从 400÷25=(400×4)÷(25×4)=400×4÷100=16 中得到 启发,很快算出(1)600÷25(2)900÷25(3)1400÷25(4)1800÷25(5)
7250÷25 的得数吗?(适于四年级程度) 解:我们仔细观察一下算式:
400÷25=(400×4)÷(25×4)=400×4÷100=16 不难看出,原来的被除数和除数都乘以 4,目的是将除数变成 1 后面带
有 0 的整百数。这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数(零除 外),商不变”。
  进行这种变化的好处就是当除数变成了 1 后面带有 0 的整百数以后,就 可以很快求出商。按照这个规律,可迅速算出下列除法的商。
(1)600÷25 (2)900÷25
=(600×4)÷(25×4) =(900×4)÷(25×4)
=600×4÷100 =900×4÷100
=24 =36
(3)1400÷25 (4)1800÷25
=(1400×4)÷(25×4) =(1800×4)÷(25×4)
=1400×4÷100 =1800×4÷100
=56 =72
(5)7250÷25
=(7250×4)÷(25×4)
=29000÷100
=290


  *例 8 把 1~1000 的数字如图 1-11 那样排列,再如图中那样用一个长方 形框框出六个数,这六个数的和是 87。如果用同样的方法(横着三个数,竖 着两个数)框出的六个数的和是 837,这六个数都是多少?(适于五年级程 度)
解:(1)观察框内的六个数可知:第二个数比第一个数大 1,第三个数
比第一个数大 2,第四个数比第一个数大 7,第五个数比第一个数大 8,第六 个数比第一个数大 9。
假定不知道这几个数,而知道上面观察的结果,以及框内六个数的和是
87,要求出这几个数,就要先求出六个数中的第一个数:










(87-1-2-7-8-9)÷6
=60÷6
=10

求出第一个数是 10,往下的各数也就不难求了。 因为用同样的方法框出的六个数之和是 837,这六个数之中后面的五个
数也一定分别比第一个数大 1、2、7、8、9,所以,这六个数中的第一个数 是:
(837-1-2-7-8-9)÷6
=810÷6
        =135 第二个数是:135+1=136 第三个数是:135+2=137 第四个数是:135+7=142 第五个数是:135+8=143 第六个数是:135+9=144 答略。
  (2)观察框内的六个数可知:①上、下两数之差都是 7;②方框中间坚 行的 11 和 18,分别是上横行与下横行三个数的中间数。
11=(10+11+12)÷3
          18=(17+18+19)÷3 所以上横行与下横行两个中间数的和是:
87÷3=29
  由此可得,和是 837 的六个数中,横向排列的上、下两行两个中间数的 和是:
837÷3=279
因为上、下两个数之差是 7,所以假定上面的数是 x,则下面的数是 x+7。
x+(x+7)=279
2x+7=279
2x=279-7
=272
x=272÷2
=136
x+7=136+7
=143
因为上一横行中间的数是 136,所以,第一个数是:136-1=135 第三个数是:135+2=137
因为下一横行中间的数是 143,所以, 第四个数是:143-1=142 第六个数是:142+2=144
答略。


  *例 9 有一个长方体木块,锯去一个顶点后还有几个顶点?(适于五年 级程度)
  解:(1)锯去一个顶点(图 1-12),因为正方体原来有 8 个顶点,锯 去一个顶点后,增加了三个顶点,所以,
8-1+3=10 即锯去一个顶点后还有 10 个顶点。



(2)如果锯开的截面通过长方体的一个顶点,则剩下的顶点是 8-1+2=9
(个)(图 1-13)。
(3)如果锯开的截面通过长方体的两个顶点,则剩下的顶点是 8-1+1=8
(个)(图 1-14)。







(4)如果锯开的截面通过长方体的三个顶点,则剩下的顶点是 8-1=7
(个)(图 1-15)。


  例 10 将高都是 1 米,底面半径分别是 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆 柱组成一个物体(图 1-16),求这个物体的表面积 S。(适于六年级程度) 解:我们知道,底面半径为γ,高为 h 的圆柱体的表面积是 2πγ2+2π
γh。


  本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积,再把三 个圆柱的表面积加在一起,然后减去重叠部分的面积,才能得到这个物体的 表面积,这种计算方法很麻烦。这是以一般的观察方法去解题。
如果我们改变观察的方法,从这个物体的正上方向下俯视这个物体,会
看到这个物体上面的面积就像图 1-17 那样。这三个圆的面积,就是底面半径
是 1.5 米的那个圆柱的底面积。所以,这个物体的表面积,就等于一个大圆 柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
(2π×1.52+2π×1.5×1)+(2π×1×1)+(2π×0.5×1)
=(4.5π+3π)+2π+π
=7.5π+3π
=10.5π
=10.5×3.14
=32.97(平方米) 答略。


  *例 11 如图 1-18 所示,某铸件的横截面是扇形,半径是 15 厘米,圆 心角是 72°,铸件长 20 厘米。求它的表面积和体积。(适于六年级程度)
  

  解:遇到这样的题目,不但要注意计算的技巧,还要注意观察的全面性, 不可漏掉某一侧面。图 1-18 表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏 掉,因而在解题时要仔细。
求表面积的方法 1:

两个扇形面积 + 两个长方形面积 + 圆柱侧面积×

3.14 ? 152

72
360
72


360
3.14 ? 225
=
360
3.14 ? 225
=
5

×72×2 + 20×15×2 + 15×2×3.14×20×

18
×72×2 + 300×2 + 30×3.14×20×
90
×2 + 600+30×3.14×4


360

=3.14×45×2+600+120×3.14
=3.14×90+3.14×120+600
=3.14×(90+120)+600
=659.4+600
=1259.4(平方厘米) 求表面积的方法 2:
(两个圆的面积 + 圆柱侧面积)×










72
360











+ 两个长方形的面积

(3.14×152×2 + 2×15×3.14×20)×

72

72
360

+ 20×15×2

= 3.14×(225×2 + 30×20)×


360

+ 40×15

= 3.14×(450 + 600)×

72
360


+ 600

= 3.14×1050×
=3.14×210+600
=659.4+600

72
360


+ 600

=1259.4(平方厘米) 铸件的体积:
3.14×152×20×




72
360

= 3.14×225×20× 1
5
=3.14×225×4
=3.14×900
=2826(立方厘米)

答略。

二、尝试法


  解应用题时,按照自己认为可能的想法,通过尝试,探索规律,从而获 得解题方法,叫做尝试法。尝试法也叫“尝试探索法”。
  一般来说,在尝试时可以提出假设、猜想,无论是假设或猜想,都要目 的明确,尽可能恰当、合理,都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结 果是什么,从而减少尝试的次数,提高解题的效率。


例 1 把数字 3、4、6、7 填在图 2-1 的空格里,使图中横行、坚列三个 数相加都等于 14。(适于一年级程度)






  解:七八岁的儿童,观察、总结、发现规律的能力薄弱,做这种填空练 习,一般都感到困难。可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。 中间一格的数确定后,下面一格的数便可由竖列三个数之和等于 14 来确定, 剩下的两个数自然应填入左右两格了。
中间一格应填什么数呢?
  先看一个日常生活中的例子。如果我们要从一种月刊全年的合订本中找 到第六期的第 23 页,我们一定要从合订本大约一半的地方打开。要是翻到第 五期,就要再往后翻;要是翻到第七期、第八期,就要往前翻。找到第六期 后,再往接近第 23 页的地方翻,??
这样反复试探几次,步步逼近,最后就能找到这一页。
这就是在用“尝试法”解决问题。
本题的试数范围是 3、4、6、7 四个数,可由小至大,或由大至小依次填 在中间的格中,按“横行、竖列三个数相加都得 14”的要求来逐个尝试。

  如果中间的格中填 3,则竖列下面的一格应填多少呢?因为 14-5-3=6, 所以竖列下面的一格中应填 6(图 2-2)。
  下面就要把剩下的 4、7,分别填入横行左右的两个格中(图 2-3)。把 横行格中的 4、3、7 三个数加起来,得 14,合乎题目要求。
如果中间一格填 4、或填 6、7 都不合乎题目的要求。 所以本题的答案是图 2-3 或图 2-4。


  例 2 把 1、2、3??11 各数填在图 2-5 的方格里,使每一横行、每一竖 行的数相加都等于 18。(教科书第四册第 57 页的思考题,适于二年级程度)
  



解:图 2-5 中有 11 个格,正好每一格填写一个数。
图 2-6 中写有 A、B、C 的三个格中的三个数,既要参加横向的运算,又 要参加纵向的运算,就是说这三个数都要被用两次。因此,确定 A、B、C 这 三个数是解此题的关键。

  因为 1~11 之中中间的三个数是 5、6、7,所以,我们以 A、B、C 分别 为 5、
6、7 开始尝试(图 2-7)。
以 6 为中心尝试,看 6 上、下两个格中应填什么数。
因为 18-6=12,所以 6 上、下两格中数字的和应是 12。
  考虑 6 已是 1~11 之中中间的数,那么 6 上、下两格中的数应是 1~11 之中两头的数。再考虑 6 上面的数还要与 5 相加,6 下面的数还要与 7 相加,
5 比 7 小,题中要求是三个数相加都等于 18,所以在 6 上面的格中填 11,在
6 下面的格中填 1(图 2-8)。








6+11+1=18
  看图 2-8。6 上面的数是 11,11 左邻的数是 5,18-11-5=2,所以 5 左邻 的数是 2(图 2-9)。
  再看图 2-8。6 下面的数是 1,1 右邻的数是 7,18-1-7=10,所以 7 右邻 的数是 10(图 2-9)。
现在 1~11 之中只剩下 3、4、8、9 这四个数,图 2-9 中也只剩下四个空 格。在 5 的上、下,在 7 的上、下都应填什么数呢?

  因为 18-5=13,所以 5 上、下两格中数字的和应是 13,3、4、8、9 这四 个数中,只有 4+9=13,所以在 5 的上、下两格中应填 9 与 4(图 2-10)。
  
看图 2-10。因为 6 左邻的数是 4,18-4-6=8,所以 6 右邻的数是 8。
  因为 18-7-8=3,并且 1-11 的数中,只剩下 3 没有填上,所以在 7 下面 的格中应填上 3。
图 2-10 是填完数字的图形。


  *例 3 在 9 只规格相同的手镯中混有 1 只较重的假手镯。在一架没有砝 码的天平上,最多只能称两次,你能把假手镯找出来吗?(适于三年级程度)
解:先把 9 只手镯分成 A、B、C 三组,每组 3 只。
  ①把 A、B 两组放在天平左右两边的秤盘上,如果平衡,则假的 1 只在 C 组里;若不平衡,则哪组较重,假的就在哪组里。
  ②再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。如果平 衡,余下的 1 只是假的;若不平衡,较重的那只是假的。


  *例 4 在下面的 15 个 8 之间的任何位置上,添上+、-、×、÷符号,使 得下面的算式成立。(适于三年级程度)8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8=1986
解:先找一个接近 1986 的数,如:8888÷8+888=1999。
1999 比 1986 大 13。往下要用剩下的 7 个 8 经过怎样的运算得出一个等
于 13 的算式呢?88÷8=11,11 与 13 接近,只差 2。
往下就要看用剩下的 4 个 8 经过怎样的运算等于 2。8÷8+8÷8=2。 把上面的思路组合在一起,得到下面的算式:
8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986


例 5 三个连续自然数的积是 120,求这三个数。(适于四年级程度) 解:假设这三个数是 2、3、4,则:
2×3×4=24
24<120,这三个数不是 2、3、4; 假设这三个数是 3、4、5,则:
3×4×5=60
60<120,这三个数不是 3、4、5; 假设这三个数是 4、5、6,则:
4×5×6=120
4、5、6 的积正好是 120,这三个数是 4、5、6。

*例 6 在下面式子里的适当位置上加上括号,使它们的得数分别是 47、
75、23、35。(适于四年级程度)
(1)7×9+12÷3-2=47
(2)7×9+12÷3-2=75
(3)7×9+12÷3-2=23
(4)7×9+12÷3-2=35 解:本题按原式的计算顺序是先做第二级运算,再做第一级运算,即先
做乘除法而后做加减法,结果是:
7×9+12÷3-2
=63+4-2

         =65 “加上括号”的目的在于改变原来的计算顺序。由于此题加中括号还是
加小括号均未限制,因此解本题的关键在于加写括号的位置。可以从加写一 个小括号想起,然后再考虑加写中括号。如:
  (1)7×7=49,再减 2 就是 47。这里的第一个数 7 是原算式中的 7,要 减去的 2 是原算式等号前的数,所以下面应考虑能否把 9+12÷3 通过加括号 后改成得 7 的算式。经过加括号,(9+12)÷3=7,因此:
7×[(9+12)÷3]-2=47 因为一个数乘以两个数的商,可以用这个数乘以被除数再除以除数,所
以本题也可以写成:
7×(9+12)÷3-2=47
  (2)7×11=77,再减 2 就得 75。这里的 7 是原算式中的第一个数,要 减去的 2 是等号前面的数。下面要看 9+12÷3 能不能改写成得 11 的算式。经 尝试 9+12÷3 不能改写成得 11 的算式,所以不能沿用上一道题的解法。7×
9+12 得 75,这里的 7、9、12 就是原式中的前三个数,所以只要把 3-2 用小 括号括起来,使 7×9+12 之和除以 1,问题就可解决。由此得到:
(7×9+12)÷(3-2)=75
  因为(3-2)的差是 1,所以根据“两个数的和除以一个数,可以先把两 个加数分别除以这个数,然后把两个商相加”这一运算规则,上面的算式又 可以写成:
7×9+12÷(3-2)=75
  在上面的这个算式中,本应在 7×9 的后面写上“÷(3-2)”,因为任 何数除以 1 等于这个数本身,为了适应题目的要求,不在 7×9 的后写出“÷
(3-2)”。
(3)25-2=23,这个算式中,只有 2 是原算式等号前的数,只要把 7×
9+12÷3 改写成得 25 的算式,问题就可解决。又因为 7×9+12=75,75÷3=25, 所以只要把 7×9+12 用小括号括起来,就得到题中所求了。
(7×9+12)÷3-2=23
  (4)7×5=35, 7 是原算式中的第一个数,原算式中的 9+12÷3-2 能否 改写成得 5 的算式呢?因为 7-2=5,要是 9+12÷3 能改写成得 7 的算式就好 了。经改写为(9+12)÷3=7,因此问题得到解决。题中要求的算式是:
7×[(9+12)÷3-2]=35


  *例 7 王明和李平一起剪羊毛,王明剪的天数比李平少。王明每天剪 20 只羊的羊毛,李平每天剪 12 只羊的羊毛。他俩共剪了 112 只羊的羊毛,两人 平均每天剪 14 只羊的羊毛。李平剪了几天羊毛?(适于四年级程度)
  解:王明、李平合在一起,按平均每天剪 14 只羊的羊毛计算,一共剪的 天数是:
112÷14=8(天)
  因为王明每天剪 20 只,李平每天剪 12 只,一共剪了 112 只,两人合起 来共剪了 8 天,并且李平剪的天数多,所以假定李平剪了 5 天。则:
12×5+20×(8-5)=120(只)
120>112,李平不是剪了 5 天,而是剪的天数多于 5 天。 假定李平剪了 6 天,则:

        12×6+20×(8-6)=112(只) 所以按李平剪 6 天计算,正满足题中条件。 答:李平剪了 6 天。


  *例 8 一名学生读一本书,用一天读 80 页的速度,需要 5 天读完,用一 天读 90 页的速度,需要 4 天读完。现在要使每天读的页数跟能读完这本书的 天数相等,每天应该读多少页?(适于五年级程度)
  解:解这道题的关键是要求出一本书的总页数。因为每天读的页数乘以 读的天数等于一本书的总页数,又因为每天读的页数与读完此书的天数相 等,所以知道了总页数就可以解题了。
  根据“用一天读 80 页的速度,需要 5 天读完”,是否能够认为总页数就 是 80×5=400(页)呢?不能。
因为 5 天不一定每天都读 80 页,所以只能理解为:每天读 80 页,读了
4 天还有余下的,留到第五天才读完。这也就是说,这本书超过了 80×4=320
(页),最多不会超过:
           90×4=360(页) 根据以上分析,可知这本书的页数在 321~360 页之间。知道总页数在这
个范围之内,往下就不难想到什么数自身相乘,积在 321~360 之间。
  因为 17×17=289,18×18=324,19×19=361,324 在 321~360 之间,所 以只有每天读 18 页才符合题意,18 天看完,全书 324 页。
答:每天应该读 18 页。


  *例 9 一个数是 5 个 2,3 个 3,2 个 5,1 个 7 的连乘积。这个数有许多 约数是两位数。这些两位数的约数中,最大的是几?(适于六年级程度)
解:两位数按从大到小的顺序排列为:
99、98、97、96??11、10
  以上两位数分解后,它的质因数只能是 2、3、5、7,并且在它的质因数 分解中 2 的个数不超过 5,3 的个数不超过 3,5 的个数不超过 2,7 的个数不 超过 1。
经尝试,99 不符合要求,因为它有质因数 11;98 的分解式中有两个 7,
也不符合要求;质数 97 当然更不会符合要求。而,
          96=2×2×2×2×2×3 所以在这些两位数的约数中,最大的是 96。 答略。

*例 10 从一个油罐里要称出 6 千克油来,但现在只有两个桶,一个能容
4 千克,另一个能容 9 千克。求怎样才能称出这 6 千克油?(适于六年级程 度)
  解:这道题单靠计算不行,我们尝试一些做法,看能不能把问题解决。 已知大桶可装 9 千克油,要称出 6 千克油,先把能容 9 千克油的桶倒满, 再设法倒出 9 千克油中的 3 千克,为达到这一目的,我们应使小桶中正好有
1 千克油。
怎样才能使小桶里装 1 千克油呢?
(1)把能容 9 千克油的大桶倒满油。

  (2)把大桶里的油往小桶里倒,倒满小桶,则大桶里剩 5 千克油,小桶 里有 4 千克油。
(3)把小桶中的 4 千克油倒回油罐。
  (4)把大桶中剩下的油再往小桶里倒,倒满小桶,则大桶里剩下 1 千克 油。
  (5)把小桶中现存的 4 千克油倒回油罐。此时油罐外,只有大桶里有 1 千克油。
(6)把大桶中的 1 千克油倒入小桶。
(7)往大桶倒满油。
(8)从大桶里往有 1 千克油的小桶里倒油,倒满。
(9)大桶里剩下 6 千克油。

三、列举法


  解应用题时,为了解题的方便,把问题分为不重复、不遗漏的有限情况, 一一列举出来加以分析、解决,最终达到解决整个问题的目的。这种分析、 解决问题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。
  用列举法解应用题时,往往把题中的条件以列表的形式排列起来,有时 也要画图。
  例 1 一本书共 100 页,在排页码时要用多少个数字是 6 的铅字?(适于 三年级程度)
解:把个位是 6 和十位是 6 的数一个一个地列举出来,数一数。
  个位是 6 的数字有:6、16、26、36、46、56、66、76、86、96,共 10 个。
  十位是 6 的数字有:60、61、62、63、64、65、66、67、68、69,共 10 个。
           10+10=20(个) 答:在排页码时要用 20 个数字是 6 的铅字。


  *例 2 从 A 市到 B 市有 3 条路,从 B 市到 C 市有两条路。从 A 市经过 B 市到 C 市有几种走法?(适于三年级程度)
解:作图 3-1,然后把每一种走法一一列举出来。










答:从 A 市经过 B 市到 C 市共有 6 种走法。
*例 3 9○13○7=100
14○2○5=

  把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中(每种运算符号只 能用一次),并在长方形中填上适当的整数,使上面的两个等式都成立。这 时长方形中的数是几?(适于四年级程度)
  解:把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里,有许多不同的填法, 要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理,排除不可能的填法, 就能使问题得到简捷的解答。
先看第一个式子:9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上“÷”号,等式右端就要出现小于 100 的分数;
如果在两个圆圈内仅填“+”、“-”号,等式右端得出的数也小于 100,所 以在两个圆圈内不能同时填“÷”号,也不能同时填“+”、“-”号。
要是在等式的一个圆圈中填入“×”号,另一个圆圈中填入适当的符号

就容易使等式右端得出 100。9×13-7=117-7=110,未凑出 100。如果在两个 圈中分别填入“+”和“×”号,就会凑出 100 了。
9+13×7=100
再看第二个式子:14○2○5=

  上面已经用过四个运算符号中的两个,只剩下“÷”号和“-”号了。如 果在第一个圆圈内填上“÷”号, 14÷2 得到整数,所以:
14÷2-5=2
即长方形中的数是 2。


  *例 4 印刷工人在排印一本书的页码时共用 1890 个数码,这本书有多 少页?(适于四年级程度)
  解:(1)数码一共有 10 个:0、1、2??8、9。0 不能用于表示页码, 所以页码是一位数的页有 9 页,用数码 9 个。
  (2)页码是两位数的从第 10 页到第 99 页。因为 99-9=90,所以,页码 是两位数的页有 90 页,用数码:
2×90=180(个)
(3)还剩下的数码:
1890-9-180=1701(个)
(4)因为页码是三位数的页,每页用 3 个数码,100 页到 999 页,
999-99=900,而剩下的 1701 个数码除以 3 时,商不足 600,即商小于 900。 所以页码最高是 3 位数,不必考虑是 4 位数了。往下要看 1701 个数码可以排 多少页。


(5)这本书的页数:

答略。

1701÷3=567(页)

9+90+567=666(页)



*例 5 用一根 80 厘米长的铁丝围成一个长方形,长和宽都要是 5 的倍数。
哪一种方法围成的长方形面积最大?(适于四年级程度) 解:要知道哪种方法所围成的面积最大,应将符合条件的围法一一列举
出来,然后加以比较。因为长方形的周长是 80 厘米,所以长与宽的和是 40
厘米。列表 3-1: 表 3-1

1 2 3 4 长 35 30 25 20 宽 5 10 15 20

表 3-1 中,长、宽的数字都是 5 的倍数。因为题目要求的是哪一种围法
的长方形面积最大,第四种围法围出的是正方形,所以第四种围法应舍去。 前三种围法的长方形面积
分别是:
35×5=175(平方厘米)
30×10=300(平方厘米)

25×15=375(平方厘米)
答:当长方形的长是 25 厘米,宽是 15 厘米时,长方形的面积最大。


例 6 如图 3-2,有三张卡片,每一张上写有一个数字 1、2、3,从中抽 出一张、两张、三张,按任意次序排列起来,可以得到不同的一位数、两位 数、三位数。请将其中的质数都写出来。(适于五年级程度)




解:任意抽一张,可得到三个一位数:1、2、3,其中 2 和 3 是质数; 任意抽两张排列,一共可得到六个不同的两位数:12、13、21、23、31、
32,其中 13、23 和 31 是质数; 三张卡片可排列成六个不同的三位数,但每个三位数数码的和都是
1+2+3=6,即它们都是 3 的倍数,所以都不是质数。 综上所说,所能得到的质数是 2、3、13、23、31,共五个。

*例 7 在一条笔直的公路上,每隔 10 千米建有一个粮站。一号粮站存有
10 吨粮食,2 号粮站存有 20 吨粮食,3 号粮站存有 30 吨粮食,4 号粮站是空 的,5 号粮站存有 40 吨粮食。现在要把全部粮食集中放在一个粮站里,如果 每吨 1 千米的运费是 0.5 元,那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少(图
3-3)?(适于五年级程度)


解:看图 3-3,可以断定粮食不能集中在 1 号和 2 号粮站。
下面将运到 3 号、4 号、5 号粮站时所用的运费一一列举,并比较。
(1)如果运到 3 号粮站,所用运费是:
0.5×10×(10+10)+0.5×20×10+0.5×40×(10+10)
=100+100+400
=600(元)
(2)如果运到 4 号粮站,所用运费是:
0.5×10×(10+10+10)+0.5×20×(10+10)+0.5×30×10+0.5×40×10
=150+200+150+200
=700(元)
(3)如果运到 5 号粮站,所用费用是:
0.5×10×(10+10+10+10)+0.5×20×(10+10+10)+0.5×30×(10+10)
=200+300+300
=800(元)
800>700>600 答:集中到第三号粮站所用运费最少。


  *例 8 小明有 10 个 1 分硬币,5 个 2 分硬币,2 个 5 分硬币。要拿出 1 角钱买 1 支铅笔,问可以有几种拿法?用算式表达出来。(适于五年级程度)
  
解:(1)只拿出一种硬币的方法:
①全拿 1 分的:
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1(角)
②全拿 2 分的:


③全拿 5 分的:

2+2+2+2+2=1(角)

5+5=1(角)

只拿出一种硬币,有 3 种方法。
(2)只拿两种硬币的方法:
①拿 8 枚 1 分的,1 枚 2 分的:
1+1+1+1+1+1+1+1+2=1(角)
②拿 6 枚 1 分的,2 枚 2 分的:
1+1+1+1+1+1+2+2=1(角)
③拿 4 枚 1 分的,3 枚 2 分的:
1+1+1+1+2+2+2=1(角)
④拿 2 枚 1 分的,4 枚 2 分的:
1+1+2+2+2+2=1(角)
⑤拿 5 枚 1 分的,1 枚 5 分的:
          1+1+1+1+1+5=1(角) 只拿出两种硬币,有 5 种方法。
(3)拿三种硬币的方法:
①拿 3 枚 1 分,1 枚 2 分,1 枚 5 分的:
1+1+1+2+5=1(角)
②拿 1 枚 1 分,2 枚 2 分,1 枚 5 分的:
           1+2+2+5=1(角) 拿出三种硬币,有 2 种方法。
共有:
3+5+2=10(种)


答:共有 10 种拿法。


  *例 9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋,每两人都要比赛 一盘。到现在为止,甲赛了 4 盘,乙赛了 3 盘,丙赛了 2 盘,丁赛了 1 盘。 问小强赛了几盘?(适于五年级程度)
解:作表 3-2。 表 3-2

甲 乙 丙 丁 强 甲 \ 乙 √ \ 丁 √ ○ ○ \ 强 √ √ ○ ○ \

甲已经赛了 4 盘,就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘,在甲与乙、

丙、丁、小强相交的那些格里都打上√;乙赛的盘数,就是除了与甲赛的那 一盘,又与丙和小强各赛一盘,在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√; 丙赛了两盘,就是丙与甲、乙各赛一盘,打上√;丁与甲赛的那一盘也打上
√。
丁未与乙、丙、小强赛过,在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。 根据条件分析,填完表格以后,可明显地看出,小强与甲、乙各赛一盘,
未与丙、丁赛,共赛 2 盘。 答:小强赛了 2 盘。


  *例 10 商店出售饼干,现存 10 箱 5 千克重的,4 箱 2 千克重的,8 箱 1 千克重的,一位顾客要买 9 千克饼干,为了便于携带要求不开箱。营业员有 多少种发货方式?(适于五年级程度)
解:作表 3-3 列举发货方式。 表 3-3

箱重 5 千克 2 千克 1 千克 方 法

所 取 的 箱 数 1 2 0 1 1 1 2 2 1 0 4 3 0 1 7 4 0 2 5 5 0 3 3 6 0 4 1 7

答:不开箱有 7 种发货方式。


  *例 11 运输队有 30 辆汽车,按 1~30 的编号顺序横排停在院子里。第 一次陆续开走的全部是单号车,以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开 走一辆。到第几次时汽车全部开走?最后开走的是第几号车?(适于五年级 程度)
解:按题意画出表 3-4 列举各次哪些车开走。表 3-4

汽车编号 1 、 2 、 3 、?? 29 、 30 第一次开走 后剩下的 2 、 4 、 6 、 8 、 10 、 12 、 14 、 16 、 18 、 20 、 22 、 24 、 26 、 28 、 30 第二次开走 后剩下的 4 、 8 、 12 、 16 、 20 、 24 、 28 第三次开走 后剩下的 8 、 16 、 24 第四次开走 后剩下的 16

从表 3-4 中看得出,第三次开走后剩下的是第 8 号、16 号、24 号车。按
题意,第四次 8 号、24 号车开走。到第五次时汽车全部开走,最后开走的是

第 16 号车。
答:到第五次时汽车全部开走,最后开走的是第 16 号车。


  *例 12 在甲、乙两个仓库存放大米,甲仓存 90 袋,乙仓存 50 袋,甲仓 每次运出 12 袋,乙仓每次运出 4 袋。运出几次后,两仓库剩下大米的袋数相 等?(适于五年级程度)
解:根据题意列表 3-5。表 3-5

甲仓存的袋数 乙仓存的袋数 原来存 90 50 第一次运走后剩 78 46 第二次运走后剩 66 42 第三次运走后剩 54 38 第四次运走后剩 42 34 第五次运走后剩 30 30

从表 3-5 可以看出,原来甲乙两仓库所存大米相差 40 袋;第一次运走后,
两仓剩下的大米相差 78-46=32(袋);第二次运走后,两仓剩下的大米相差
66-42=24(袋);第三次运走后,两仓剩下的大米相差 54-38=16(袋);第 四次运走后,两仓剩下的大米相差 42-34=8(袋);第五次运走后,两仓剩 下的大米袋数相等。
40-32=8
32-24=8
24-16=8
            ?? 从这里可以看出,每运走一次,两仓库剩下大米袋数的相差数就减少 8
袋。由此可以看出,两仓库原存大米袋数的差,除以每次运出的袋数差就得
出运几次后两个仓库剩下大米的袋数相等。
        (90-50)÷(12-4)=5(次) 答:运出 5 次后两个仓库剩下大米的袋数相等。


  *例 13 有三组小朋友共 72 人,第一次从第一组里把与第二组同样多的 人数并入第二组;第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组; 第三次从第三组里把与第一组同样多的人数并入第一组。这时,三组的人数 一样多。问原来各组有多少个小朋友?(适于五年级程度)
解:三个小组共 72 人,第三次并入后三个小组人数相等,都是 72÷3=24
(人)。在这以前,即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时,第 一组应是 24÷2=12(人),第三组应是(24+12)=36(人),第二组人数仍
为 24 人;在第二次第二组未把与第三组同样多的人数并入第三组之前,第三 组应为 36÷2=18(人),第二组应为(24+18)=42(人),第一组人数仍是
12 人;在第一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第二组之前,第二组 的人数应为 42÷2=21(人),第一组人数应为 12+21=33(人),第三组应为
18 人。
这 33 人、21 人、18 人分别为第一、二、三组原有的人数,列表 3-6。

表 3-6

第一组 第二组 第三组 第三次并入后 24 24 24 第二次并入后 12 24 36 第一次并入后 12 42 18 每组原有人数 33 21 18

答:第一、二、三组原有小朋友分别是 33 人、21 人、 18 人。

四、综合法


  从已知数量与已知数量的关系入手,逐步分析已知数量与未知数量的关 系,一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。
  以综合法解应用题时,先选择两个已知数量,并通过这两个已知数量解 出一个问题,然后将这个解出的问题作为一个新的已知条件,与其它已知条 件配合,再解出一个问题??一直到解出应用题所求解的未知数量。
  运用综合法解应用题时,应明确通过两个已知条件可以解决什么问题, 然后才能从已知逐步推到未知,使问题得到解决。这种思考方法适用于已知 条件比较少,数量关系比较简单的应用题。


  例 1 甲、乙两个土建工程队共同挖一条长 300 米的水渠,4 天完成任务。 甲队每天挖 40 米,乙队每天挖多少米?(适于三年级程度)
  解:根据“甲、乙两个土建工程队共同挖一条长 300 米的水渠”和“4 天完成任务”这两个已知条件,可以求出甲乙两队每天共挖水渠多少米(图
4-1)。
300÷4=75(米)
  根据“甲、乙两队每天共挖水渠 75 米”和“甲队每天挖 40 米”这两个 条件,可以求出乙队每天挖多少米(图 4-1)。
75-40=35(米)
综合算式:
300÷4-40
=75-40
=35(米) 答:乙队每天挖 35 米。













例 2 两个工人排一本 39500 字的书稿。甲每小时排 3500 字,乙每小时
排 3000 字,两人合排 5 小时后,还有多少字没有排?(适于四年级程度) 解:根据甲每小时排 3500 字,乙每小时排 3000 字,可求出两人每小时
排多少字(图 4-2)。


3500+3000=6500(字)
  根据两个人每小时排 6500 字,两人合排 5 小时,可求出两人 5 小时已排 多少字(图 4-2)。
6500×5=32500(字)

根据书稿是 39500 字,两人已排 32500 字,可求出还有多少字没有排(图
4-2)。


综合算式:






答略。

39500-32500=7000(字)

39500-(3500+3000)×5
=39500-6500×5
=39500-32500
=7000(字)



例 3 客车、货车同时由甲、乙两地出发,相向而行。客车每小时行 60
千米,货车每小时行 40 千米,5 小时后客车和货车相遇。求甲、乙两地之间 的路程。(适于四年级程度)
解:根据“客车每小时行 60 千米”和“货车每小时行 40 千米”这两个
条件,可求出两车一小时共行多少千米(图 4-3)。











60+40=100(千米)
  根据“两车一小时共行 100 千米”和两车 5 小时后相遇,便可求出甲、 乙两地间的路程是多少千米(图 4-3)。
100×5=500(千米)

综合算式:


(60+40)×5
=100×5
=500(千米)

答:甲、乙两地间的路程是 500 千米。


  例 4 一个服装厂计划做 660 套衣服,已经做了 5 天,平均每天做 75 套。 剩下的要 3 天做完,问平均每天要做多少套?(适于四年级程度)
解:根据“已经做了 5 天,平均每天做 75 套”这两个条件可求出已做了 多少套(图 4-4)。













75×5=375(套)
  根据“计划做 660 套”和“已经做了 375 套”这两个条件,可以求出还 剩下多少套(图 4-4)。
660-375=285(套)


  再根据“剩下 285 套”和“剩下的要 3 天做完”,便可求出平均每天要 做多少套(图 4-4)。
  

综合算式:





答略。

285÷3=95(套)

(660-75×5)÷3
=285÷3
=95(套)



例 5 某装配车间,甲班有 20 人,平均每人每天可做 72 个零件;乙班有
24 人,平均每人每天可做 68 个零件。如果装一台机器需要 12 个零件,那么 甲、乙两班每天生产的零件可以装多少台机器?(适于四年级程度)
解:根据“甲班有 20 人,平均每人每天可做 72 个零件”这两个条件可
求出甲班一天生产多少个零件(图 4-5)。


72×20=1440(个)
  根据“乙班有 24 人,平均每天每人可做 68 个零件”这两个条件可求出 乙班一天生产多少个零件(图 4-5)。
68×24=1632(个) 根据甲、乙两个班每天分别生产 1440 个、1632 个零件,可以求出甲、
乙两个班一天共生产多少个零件(图 4-5)。
1440+1632=3072(个)
  再根据两个班一天共做零件 3072 个和装一台机器需要 12 个零件这两条 件,可求出两个班一天生产的零件可以装多少台机器。
3072÷12=256(台)

综合算式:






答略。


(72×20+68×24)÷12
=(1440+1632)÷12
=3072÷12
=256(台)



例 6 一个服装厂计划加工 2480 套服装,每天加工 100 套,工作 20 天后,
每天多加工 20 套。提高工作效率后,还要加工多少天才能完成任务?(适于 四年级程度)
解:根据每天加工 100 套,加工 20 天,可求出已经加工多少套(图 4-6)。
100×20=2000(套)
根据计划加工 2480 套和加工了 2000 套,可求出还要加工多少套(图
4-6)。














2480-2000=480(套)
  根据原来每天加工 100 套,现在每天多加工 20 套,可求出现在每天加工 多少套(图 4-6)。
100+20=120(套)
根据还要加工 480 套,现在每天加工 120 套,可求出还要加工多少天(图
4-6)。


综合算式:

48O÷120=4(天)

(2480-100×20)÷(100+20)
=480÷120
=4(天)

答略。 刚开始学习以综合法解应用题时,一定要画思路图,当对综合法的解题
方法已经很熟悉时,就可以不再画思路图,而直接解答应用题了。



例7 有三桶油,第一桶重50千克,第二桶比第一桶重 1
10

,第三桶比第

二桶轻

1 。问第三桶重多少千克?(适于六年级程度)
10

解:此题先后出现了两个标准量:“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。


从“第一桶重50千克,第二桶比第一桶重
量:

1 ”,可先求出第二桶的重
10

1
50×(1 +
10


) = 55(千克)

根据“第三桶比第二桶轻 1
10

”,可求出第三桶的重量:

1



综合算式:

55×(1 -

) = 49.5(千克)
10

1 1

50×(1 +
10

)×(1 - )
10

= 55×(1 - 1 )
10


答略。

=49.5(千克)




* 例8 在甲、乙、丙三块地种高粱。乙块地比甲块地多产高粱

2 ,丙
13

块地比乙块地少产高粱 2 ,丙块地产高粱450千克。问甲块地产高粱多少千
7
克?(适于六年级程度)
  解:此题先后出现两个标准量:“甲块地产高粱的重量”和“乙块地产 高粱的重量”。
将题中已知条件的顺序变更一下:丙块地产高粱 450 千克,丙块地比乙
2 2
块地少产高粱 ,乙块地比甲块地多产高粱 。
7 13
这样,便可用综合法解答。
根据“丙块地产高粱450千克,丙块地比乙块地少产高粱 2 ”,这两个
7

条件,可求出乙块地产高粱是:
450÷(1 - 2
7



) = 630(千克)

(这里乙块地的产量是标准量 1)

2
根据“乙块地的产量”和“乙块地比甲块地多产高粱 ”这两个条件,
13

可求出甲块地的产量是:


630÷(1 + 2
13



) = 546(千克)



(这里甲块地的产量是标准量 1)
综合算式:

450÷(1 - 2
7
= 630÷15
13
=546(千克)
答略。

)÷(1+ 2 )
13

五、分析法


  从求解的问题出发,正确选择所需要的两个条件,依次推导,一直到问 题得到解决的解题方法叫分析法。
  用分析法解应用题时,如果解题所需要的两个条件,(或其中的一个条 件)是未知的,就要分别求解找出这两个(或一个)条件,一直到所需要的 条件都是已知的为止。
分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。


  例 1 玩具厂计划每天生产 200 件玩具,已经生产了 6 天,共生产 1260 件。问平均每天超过计划多少件?(适于三年级程度)
解:这道题是求平均每天超过计划多少件。要求平均每天超过计划多少 件,必须具备两个条件(图 5-1):①实际每天生产多少件;②计划每天生 产多少件。













  计划每天生产 200 件是已知条件。实际每天生产多少件,题中没有直接 告诉,需要求出来。
要求实际每天生产多少件,必须具备两个条件(图 5-1):①一共生产
了多少件;②已经生产了多少天。这两个条件都是已知的:①一共生产了 1260 件;②已经生产了 6 天。
分析到这里,问题就得到解决了。
此题分步列式计算就是:
(1)实际每天生产多少件?
1260÷6=210(件)
(2)平均每天超过计划多少件?
210-200=10(件)

综合算式:





答略。


1260÷6-200
=210-200
=10(件)



例 2 四月上旬,甲车间制造了 257 个机器零件,乙车间制造的机器零件
是甲车间的 2 倍。四月上旬两个车间共制造多少个机器零件?(适于三年级 程度)
解:要求两个车间共制造多少个机器零件,必须具备两个条件(图 5-2):
①甲车间制造多少个零件;②乙车间制造多少个零件。已知甲车间制造 257

个零件,乙车间制造多少个零件未知。 下面需要把“乙车间制造多少个零件”作为一个问题,并找出解答这个
问题所需要的两个条件。
  这两个条件(图 5-2)是:①甲车间制造多少个零件;②乙车间制造的 零件是甲车间的几倍。这两个条件都是已知的:①甲车间制造 257 个,乙车 间制造的零件数是甲车间的 2 倍。
分析到此,问题就得到解决了。











此题分步列式计算就是:
(1)乙车间制造零件多少个?
257×2=514(个)
(2)两个车间共制造零件多少个?
257+514=771(个)

综合算式:





答略。


257+257×2
=257+514
=771(个)



例 3 某车间要生产 180 个机器零件,已经工作了 3 天,平均每天生产 20
个。剩下的如果每天生产 30 个,还需要几天才能完成?(适于四年级程度) 解:要求还需要几天才能完成,必须具备两个条件(图 5-3):①还剩 下多少个零件;②每天生产多少个零件。在这两个条件中,每天生产 30 个零
件是已知条件,还剩多少个零件未知。

  先把“还剩多少个零件”作为一个问题,并找出解答这个问题所需要的 两个条件。
  要算出还剩下多少个零件,必须具备的两个条件(图 5-3)是:①要生 产多少个零件;②已经生产了多少个零件。要生产 180 个零件是已知条件, 已经生产多少个零件未知。
  
  然后把“已经生产多少个零件”作为一个问题,并找出解答这个问题所 需要的两个条件。
  要算出已生产多少个零件,必须知道的两个条件(图 5-3)是:①每天 生产多少个零件;②生产了几天。这两个条件题中都已经给出:每天生产 20 个零件,生产了 3 天。
分析到此,问题就得到解决。 上面的思考过程,分步列式计算就是:
(1)已经生产了多少个零件?
20×3=60(个)
(2)剩下多少个零件?
180-60=120(个)
(3)还要几天才能完成?
120÷30=4(天)

综合算式:






答略。


(180-20×3)÷30
=(180-60)÷30
=120÷30
=4(天)



例 4 王明买了 24 本笔记本和 6 支铅笔,共花了 9.60 元钱。已知每支铅
笔 0.08 元,每本笔记本多少钱?(适于五年级程度) 解:要算出每本笔记本多少钱,必须具备两个条件(图 5-4):①买笔
记本用了多少钱;②买了多少本笔记本。从题中已知买了 24 本笔记本,买笔
记本用的钱数未知。 先把买笔记本用的钱数作为一个问题,并找出解答这个问题所需要的两
个条件。
  要算出买笔记本用多少钱,必须知道的两个条件(图 5-4)是:①买笔 记本、铅笔共用多少钱;②买铅笔用多少钱。已知买笔记本、铅笔共用 9.60 元,买铅笔用去多少钱未知。
然后找出“买铅笔用多少钱”所需要的两个条件。
要算出买铅笔用多少钱,必须知道的两个条件(图 5-4)是:①买多少 支铅笔;②每支铅笔多少钱。这两个条件在题中都是已知的:买 6 支铅笔, 每支 0.08 元。














分析到此,问题就得到解决。

此题分步列式计算就是:
(1)买铅笔用去多少元?
0.08×6=0.48(元)
(2)买笔记本用去多少元?
9.60-0.48=9.12(元)
(3)每本笔记本多少元?
9.12÷24=0.38(元)

列综合算式计算:


(9.60-0.08×6)÷24
=(9.60-0.48)÷24
=9.12÷24
=0.38(元)

答:每本笔记本 0.38 元。


  例 5 仓库里共有化肥 2520 袋,两辆车同时往外运,共运 30 次,每次甲 车运 51 袋。每次甲车比乙车多运多少袋?(适于五年级程度)
解:求每次甲车比乙车多运多少袋,必须具备两个条件(图 5-5):① 甲车每次运多少袋;②乙车每次运多少袋。甲车每次运 51 袋已知,乙车每次 运多少袋未知。













先找出解答“乙车每次运多少袋”所需要的两个条件。 要算出乙车每次运多少袋,必须具备两个条件(图 5-5):①两车一次
共运多少袋;②甲车一次运多少袋。甲车一次运 51 袋已知;两车一次共运多
少袋是未知条件。 然后把“两车一次共运多少袋”作为一个问题,并找出解答这个问题所
需要的两个条件。
  要算出两车一次共运多少袋,必须具备两个条件(图 5-5):①一共有 多少袋化肥;②两车共运多少次。这两个条件都是已知的:共有 2520 袋化肥, 两车共运 30 次。
分析到此,问题就得到解决。 此题分步列式计算就是:
①两车一次共运多少袋?
2520÷30=84(袋)

②乙车每次运多少袋?


84-51=33(袋)

③每次甲车比乙车多运多少袋?
51-33=18(袋)

综合算式:





答略。


51-(2520÷30-51)
=51-33
=18(袋)



*例 6 把 627.5 千克梨装在纸箱中,先装 7 箱,每箱装梨 20 千克,其余
的梨每箱装 37.5 千克。这些梨共装多少箱?(适于五年级程度) 解:要算出共装多少箱,必须具备两个条件(图 5-6):①先装多少箱。
②后装多少箱。先装 7 箱已知,后装多少箱未知。 先把“后装多少箱”作为一个问题,并找出解答这个问题所需要的两个
条件。
要算出后装多少箱,必须具备两个条件(图 5-6):①后来一共要装多 少千克;②后来每箱装多少千克。后来每箱装 37.5 千克已知,后来一共装多 少千克未知。
















  要把“后来一共要装多少千克”作为一个问题提出,并找出回答这一问 题所需要的两个条件。要求后来一共要装多少千克,必须具备两个条件(图
5-6):①梨的总重量;②先装了多少千克。梨的总重量是 627.5 千克已知的;
先装了多少千克是未知的,要把它作为一个问题提出来,并找出回答这个问 题所需要的两个条件。
这两个条件(图 5-6)是:①先装的每箱装梨多少千克;②装了多少箱。
这两个条件都是已知的:先装的每箱装梨 20 千克,装了 7 箱。 分析到此,问题就得到解决了。
此题分步列式计算就是:
①先装多少千克?


②后来共装多少千克?

20×7=140(千克)

627.5-140=487.5(千克)
③后来装了多少箱?


④共装多少箱?

综合算式:

487.5÷37.5=13(箱)

7+13=20(箱)

7+(627.5-20×7)÷37.5







答略。

=7+(627.5-140)÷37.5
=7+487.5÷37.5
=7+13
=20(箱)

  注意:开始学习用分析法解应用题时,一定要画思路图,当对分析法的 解题方法已经很熟悉时,可不再画思路图,而直接分析解答应用题了。


* 例7 某发电厂五月份用煤3200吨,比四月份节约了 1 ,六月份又比五
9
月份节约了 15%。问六月份比四月份少用煤多少吨?(适于六年级程度) 解:此题中出现两个标准量:“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。
四月份的用煤量和六月份的用煤量都与五月份的用煤量有直接联系。
  要算出六月份比四月份少用煤多少吨,必须知道六月份、四月份各用煤 多少吨。
要算出六月份用煤多少吨,必须知道两个条件:①五月份用煤多少吨;
②六月份比五月份节约多少。这两个条件都是已知的。六月份用煤的吨数是:
        3200×(1-15%)=2720(吨) 要算出四月份用煤多少吨,必须知道两个条件:①五月份用煤多少吨;
②五月份比四月份节约多少。这两个条件都是已知的。四月份用煤的吨数是:
1

3200÷(1 -
9

) = 3600(吨)

  知道了六月份、四月份用煤的吨数,就可以求出六月份比四月份少用煤 多少吨。
  

综合算式:

3600-2720=880(吨)


1






答略。

3200÷(1 -
9
=3600-2720
=880(吨)

) - 3200 ×(1 - 15%)

六、分析-综合法


  综合法和分析法是解应用题时常用的两种基本方法。在解比较复杂的应 用题时,由于单纯用综合法或分析法时,思维会出现障碍,所以要把综合法 和分析法结合起来使用。我们把分析法和综合法结合起来解应用题的方法叫 做分析-综合法。


  *例 1 运输队要把 600 吨化肥运到外地,计划每天运 22 吨。运了 15 天 以后,剩下的化肥要在 10 天内运完。这样每天要比原计划多运多少吨?(适 于五年级程度)
解:解此题要运用分析法和综合法去思考。 先用综合法思考。根据“原计划每天运 22 吨”和“运了 15 天”这两个
条件,可以求出已经运出的吨数(图 6-1)。










根据要“运 600 吨”和已经运出的吨数,可以求出剩下化肥的吨数(图
6-1)。 接下去要用哪两个数量求出什么数量呢?不好思考了。所以用综合法分
析到这儿,接着要用分析法思考了。
要求“每天比原计划多运多少吨”,必须知道“后来每天运多少吨”和 “原计划每天运多少吨”。“原计划每天运 22 吨”是已知条件,“后来每天 运多少吨”不知道,这是此题的中间问题(图 6-2)。










  要知道“后来每天运多少吨”,必须知道“剩下多少吨”和“要在多少 天内运完”。这两个条件中,第二个条件是已知的,“要在 10 天内运完”, “剩下多少吨”是未知的中间问题。
我们在前面用综合法分析这道题时,已经得到求剩下吨数的方法了。 所以本题分析到这里就可以解答了。
  此题分步列式解答时,要从图 6-1 的上面往下看,接着从图 6-2 的下面 往上看。
(1)已经运多少吨?


(2)剩下多少吨?

22×15=330(吨)

600-330=270(吨)

(3)后来每天运多少吨?
270÷10=27 吨)
(4)每天比原计划多运多少吨?
27-22=5(吨)

综合算式:








答略。


(600-22×15)÷10-22
=(600-330)÷10-22
=270÷10-22
=27-22
=5(吨)



*例 2 某鞋厂原计划 30 天做皮鞋 13500 双,实际上每天比原计划多做 50
双。问这个鞋厂提前几天完成原计划的任务?(适于五年级程度) 解:解答此题一般要运用分析法和综合法去思考。 先用分析法思考。要算出提前几天完成计划,必须知道“原计划天数”
和“实际做鞋数”(图 6-3)。“原计划天数”是 30

天,已经知道;“实际做鞋天数”不知道,是中间问题。 要知道“实际做鞋天数”必须知道“皮鞋总数”和“实际每天做的皮鞋
数”(图 6-3)。
  到此可以往下思考,要算出实际每天做的皮鞋数,必须具备哪两个条件? 但有的人觉得这样思考时不顺当,思路会“卡壳”,这时就要换用综合法进 行思考。
由“原计划 30 天做皮鞋 13500 双”,可求出“原计划每天做的皮鞋数”
(图 6-4)。

  由“原计划每天做的皮鞋数”和“实际每天比原计划多做 50 双”,可用 加法算出“实际每天做的皮鞋数”(图 6-4)。
  分析到此,这道题的问题就得到解决了。此题用分步列式的方法计算时, 得从图 6-4 的上面往下面推想,然后从图 6-3 的后面(下面)往前推想。
  (1)看图 6-4 的思路图。通过把原计划做的 13500 双除以计划做的 30 天,可以得到原计划每天做多少双皮鞋。
  
13500÷30=450(双)
  (2)在计划每天做的 450 双皮鞋上,加上实际每天多做的 50 双,得到 实际每天做的皮鞋数。
450+50=500(双)
  (3)接着看图 6-3 的思路图。从思路图的下面往上推想,皮鞋总数除以 实际每天做的皮鞋数 500 双,得到实际制做的天数。
13500÷500=27(天)
  (4)接着往上看,从原计划做的 30 天,减去实际做的天数 27 天,就得 到提前完成计划的天数。
30-27=3(天) 把上面分步计算的算式综合为一个算式是:
30-13500÷(13500÷30+50)
=30-13500÷500
=30-27
=3(天)
答略。


  *例 3 甲、乙两队同时开凿一条 2160 米长的隧道,甲队从一端起,每天 开凿 20 米,乙队从另一端起,每天比甲队多开凿 5 米。两队在离中点多远的 地方会合?(适于五年级程度)
解:看图 6-5。要求两队在离中点多远的地方会合,需要知道隧道的中
点及会合点离一端的距离(分析法)。 每天 20 米每天比甲队多 5 米





  隧道全长 2160 米,中点到一端的距离可以通过 2160÷2 求得(综合法)。 要求出会合点(在甲队的一侧)距离甲队开凿点的距离,实际就是求甲 队开凿的米数。要求甲队开凿的米数,就要知道甲队(或乙队)每天开凿的 米数(已知)和开凿的天数(分析法)。甲队每天开凿 20 米已知,开凿的天
数不知道。
  要求出开凿的天数,需要知道隧道的全长(已知)和两队每天共开凿多 少米(分析法)。
  已知甲队每天开凿 20 米,乙队每天比甲队多开凿 5 米,这样可以求出乙 队每天开凿多少米,从而求出甲、乙两队一天共开凿多少米(综合法)。
分析到此,这道题的问题就得到解决了。 此题用分步列式的方法计算时,还得从上面分析过程的后面往前推理。
(1)乙队每天开凿多少米?
20+5=25(米)
(2)甲乙两队一天共开凿多少米?
20+25=45(米)
(3)甲乙两队共同开凿这个隧道用多少天?
2160÷45=48(天)

(4)甲队开凿了多少米?(会合点与甲队开凿点的距离)
20×48=960(米)
(5)甲队到中点的距离是多少米?
2160÷2=1080(米)
(6)会合点与中点间的距离是多少米?
1080-960=120(米)

综合算式:






答略。


2160÷2-20×[2160÷(20+20+5)]
=1080-20×48
=1080-960
=120(米)



*例 4 某中队三个小队的少先队员采集树种。第一小队 8 名队员共采集
11.6 千克,第二小队 6 名队员比第一小队少采集 2.8 千克,第三小队 10 名
队员采集的重量是第二小队的 1 倍 。问三个小队平均每名队员采集多少千
2
克?(适于五年级程度) 解:如果先用综合法分析,虽然已知数量间存在着一定的关系,但不容
易选择出与所求数量有直接联系的数量关系。而用分析法分析,能立即找到
与所求数量有直接联系的数量关系,找到解题所需要的数量后,再用综合法 分析。
要求出三个小队平均每名队员采集多少千克,必需知道“三个小队共采
集树种多少千克”和“全体队员的人数”(图 6-6)。 要求“三个小队共采集多少千克”,必须知道一、二、三这三个小队各
采集多少千克;要求“全体队员人数”必须知道各小队的人数(图 6-6)。
  三个小队的人数都已经知道,第一小队采集 11.6 千克也已知,只是第 二、三小队各采集多少还不知道。
往下可用综合法得出二、三小队各采集多少千克(图 6-6)。


  由“第一小队共采集 11.6 千克”和“第二小队比第一小队少采集 2.8 千克”,可求出第二小队采集多少千克;由“第二小队采集的重量”和“第
三小队采集的重量是第二小队的1 1 倍”,可求出第三小队采集多少千克。
2
  往下可由三个小队各采集多少千克之和,求出三个小队共采集多少千 克;也可以由各小队的人数之和求出“全体队员的人数”。
到此本题就可以解出来了。 本题分步列式解答的方法是:
(1)第二小队采集多少千克?
11.6-2.8=8.8(千克)
(2)第三小队采集多少千克?
1

8.8×1
2

= 13.2(千克)

(3)三个小队共采集多少千克?
11.6+8.8+13.2=33.6(千克)
(4)三个小队有多少队员?
8+6+10=24(人)
(5)平均每人采集多少千克?
33.6÷24=1.4(千克)

综合算式:
[11.6 + (11.6 - 2.8 ) + (11.6 - 2.8 )×1

1



1 ]÷(8 + 6 + 10)
2

= [11.6 + 8.8 + 8.8×1
2

]÷24

= [11.6 + 8.8 + 13.2]÷24
=33.6÷24
  =1.4(千克) 答略。


  *例 5 甲、乙两城之间的路程是 210 千米,慢车以每小时 40 千米的速度 由甲城开往乙城,行车 15 分钟后,快车由乙城开往甲城,经过 2 小时两车相 遇。这时快车开到甲城还需要多少小时?(适于六年级程度)
解:运用分析法和综合法,分析此题的思路是:
先用分析法来思考。要求出“快车开到甲城还需要多少小时”,必须知 道两个条件(图 6-7):①相遇地点到甲城的距离;②快车每小时行多少千 米。这两个条件题目中都没给出,应把它们分别作为中间问题。







  接着思考,要求相遇地点到甲城的路程必须具备哪两个条件?要求快车 每小时行多少千米必须具备哪两个条件???如果思路不“卡壳”,就一直 思考下去,直到解答出所求问题。如果思路“卡壳”了,就改用综合法思考。 另画一个思路图(图 6-8)。
  

  图 6-8 中慢车已行的路程,就是快车从相遇点到甲城的路程。这段路程 是:
40× 1 + 40×2 = 90(千米)
4

快车已行的路程是:


210-90=120(千米)

快车每小时所行的路程是:
120÷2=60(千米) 到此,我们可以把慢车走过的路程除以快车的速度,得到快车开到甲城
还需要的时间是:


综合算式:
1
(40 ×
4

90÷60=1.5(小时)


1
+ 40 ×2 )÷[(210 - 40×
4





- 40×2)÷2]
和小学数学教师谈解应用题的方法的下一页
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