蓝田玉PDF文档网 / 小学教育 / 数学趣闻集锦(上)
 


数学趣闻集锦(上)



译丛序言


数学,这门古老而又常新的科学,正阔步迈向 21 世纪. 回顾即将过去的世纪,数学科学的巨大发展,比以往任何时代都更牢固
地确立了它作为整个科学技术的基础的地位.数学正突破传统的应用范围向 几乎所有的人类知识领域渗透,并越来越直接地为人类物质生产与日常生活 作出贡献.同时,数学作为一种文化,已成为人类文明进步的标志.因此,对 于当今社会每一个有文化的人士而言,不论他从事何种职业,都需要学习数 学,了解数学和运用数学.现代社会对数学的这种需要,在未来的世纪中无 疑将更加与日俱增。
  另一方面,20 世纪数学思想的深刻变革,已将这门科学的核心部分引向 高度抽象化的道路.面对各种深奥的数学理论和复杂的数学方法,门外汉往 往只好望而却步.这样,提高数学的可接受度,就成为一种当务之急.尤其 是当世纪转折之际,世界各国都十分重视并大力加强数学的普及工作,国际 数学联盟(IMU)还专门将 2000 年定为“世界数学年”,其主要宗旨就是 “使数学及其对世界的意义被社会所了解,特别是被普通公众所了解”.
  一般说来,一个国家数学普及的程度与该国数学发展的水平相应并且是 数学水平提高的基础.随着中国现代数学研究与教育的长足进步,数学普及 工作在我国也受到重视.早在 60 年代,华罗庚、吴文俊等一批数学家亲自动 手撰写的数学通俗读物,激发了一代青少年学习数学的兴趣,影响绵延至 今.改革开放以来,我国数学界对传播现代数学又作出了新的努力.但总体 来说,我国的数学普及工作与发达国家相比尚有差距.我国数学要在下世纪 初率先赶超世界先进水平,数学普及与传播方面的赶超乃是一个重要的环节 和迫切的任务.为此,借鉴外国的先进经验是必不可少的.
《通俗数学名著译丛》的编辑出版,正是要通过翻译、引进国外优秀数
学科普读物,推动国内的数学普及与传播工作,为我国数学赶超世界先进水 平的跨世纪工程贡献力量.丛书的选题计划,是出版社与编委会在对国外数 学科普读物广泛调研的基础上讨论确定的.所选著述,基本上都是在国外已广 为流传、受到公众好评的佳作.它们在内容上包括了不同的种类,有的深入 浅出介绍当代数学的重大成就与应用;有的循循善诱启迪数学思维与发现技 巧;有的富于哲理阐释数学与自然或其他科学的联系;??等等,试图为人 们提供全新的观察视角,以窥探现代数学的发展概貌,领略数学文化的丰富 多采.
  丛书的读者对象,力求定位于尽可能广泛的范围.为此丛书中适当纳入 了不同层次的作品,以使包括大、中学生;大、中学教师;研究生;一般科 技工作者等在内的广大读者都能开卷受益.即使是对于专业数学工作者,本 丛书的部分作品也是值得一读的.现代数学是一株分支众多的大树,一个数 学家对于他所研究的专业以外的领域,也往往深有隔行如隔山之感,也需要 涉猎其他分支的进展,了解数学不同分支的联系.
  需要指出的是,由于种种原因,近年来国内科技译著尤其是科普译著的 出版并不景气,有关选题逐年减少,品种数量不断下降.在这样的情况下, 上海教育出版社以迎接 2000 世界数学年为契机,按照国际版权公约,不惜耗 资购买版权,组织翻译出版这套《通俗数学名著译丛》,这无疑是值得称道 和支持的举措.参加本丛书翻译的专家学者们,自愿抽出宝贵的时间来进行
  
这类通常不被算作成果但却能帮助公众了解和欣赏数学成果的有益工作,同 样也是值得肯定与提倡的.
  像这样集中地翻译、引进数学科普读物,在国内还不多见.我们热切希 望广大数学工作者和科普工作者来关心、扶植这项工作,使《通俗数学名著 译丛》出版成功.
  让我们举手迎接 2000 世界数学年,让公众了解、喜爱数学,让数学走进 千家万户!

《通俗数学名著译丛》编委会

1997 年 8 月

  数学是一种科学,一种语言,一种艺术,一种思维方法.它出现于自然 界、艺术、音乐、建筑、历史、科学、文学——其影响遍及于宇宙间的方方 面面??
  
关于作者


  数学教师和顾问 T·帕帕斯于 1966 年在伯克莱取得了加利福尼亚大学的 文学士学位,而于 1967 年获斯坦福大学的文学硕士学位.她致力于使数学非 神秘化,并帮助人们排除认为数学高不可攀而害怕与之接近的畏惧心理.
  除了《数学趣闻集锦(上、下)》外,她还创作了《数学日历》、《儿 童数学日历》、《数学 T 恤衫》、《数学知识日读》等通俗读物.此外,她 还写有《你看到什么?》(这是一本介绍视幻觉的书)、《数学漫话》、《数 学鉴赏》、《大数及其他数学故事》、《分形》、《数学魔术》等著作.
  
根据大世界出版社 1996 年第 2 版第 15 次印本译出, 本书中文版权由上海市版权代理公司帮助取得

通俗数学名著译丛
数学趣闻集锦(上)
[美]T·帕帕斯著 张远南 张 昶译
上海教育出版社出版发行
(上海永福路 123 号)
    (邮政编码:200031) 各地新华书店经销 上海市印刷三厂印刷
开本 850×1156 1/32 印张 8.5 插页 4 字数 202, 000
1998 年 12 月第 1 版 1999 年 12 月第 2 次印刷 印数 5,201—8,250 本
ISBN7-5320-6040-3/G·6195 定价:(软精)11.70 元

数学趣闻集锦(上)

十进制的演化


  早期的计数形式,并没有位置值系统1.约于公元前 1700 年,60 进位制 开始出现,这种进制给了米索不达米亚人很大的帮助.米索不达米亚人发展 了它,并将它用于他们的 360 天的日历中.今天人们已知的最古老的真正的 位置值系统是由古巴比伦人设计的,而这种设计获自幼发拉底河流域人们所 用的 60 进制.为了替代所需要写的,从 0 至 59 这六十个符号,他们只用了



计算,只是其中没有设置零的符号,而是在数的左边留下一个空位表示零.

也得以广泛发展.在公元后的早些年,希腊人和印度人开始使用十进制,但 那时他们依然没有位置的记数法.为了计算,他们利用了字母表上的头十个 字母.而后,大约于公元 500 年,印度人发明了十进制的位置记数法.这种 记数法放弃了对超过 9 的数采用字母的方法,而统一用头九个符号.大致于 公元 825 年左右,阿拉伯数学家阿尔·花拉子米写了一本有关对印度数字仰 慕的书.
十进制传到西班牙差不多是 11 世纪的事,当时西阿拉伯数字正值形
成.此时的欧洲则处于疑虑和缓慢改变的状态.学者和科学家们对十进制的 使用表示沉默,因为它用并不简单的方法表示分数.然而当商人们采用它之 后,便逐渐变得流行起来,而且在工作和记录中显示出无比的优越性.后来, 大约在 16 世纪,小数也出现了.而小数点,则是 J·纳皮尔于公元 1617 年 建议推广的.
或许,将来会有一天,随着我们的需要和计算方法的改变,一个新的系
统将替代我们现有的十进制!



























1 ①原注:位置值系统是这样一种数的系统,每个数字所安放的位置,影响和改变该数字的值.例如,在
十进制中数 375 中的数字 3,它的值不是 3,而因为它位于百位的位置,所以其值为 300.

毕达哥拉斯定理


  任何一个学过代数或几何的人,都会听到毕达哥拉斯定理.这一著名的 定理,在许多数学分支、建筑以及测量等方面,有着广泛的应用.古埃及人 用他们对这个定理的知识来构造直角.他们把绳子按 3,4 和 5 单位间隔打结, 然后把三段绳子拉直形成一个三角形.他们知道所得三角形最大边所对的角 总是一个直角(32+42=52).

毕达哥拉斯定理:
给定一个直角三角形,则该直角三角形斜边的平方,等于同一直角三角 形两直角边平方的和.

















反过来也是对的:
  如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,则该三角形为直角三 角形.
虽然这个定理以后来的希腊数学家毕达哥拉斯(大约公元前 540 年)的
名字命名,但有证据表明,该定理的历史可以追溯到毕达哥拉斯之前 1000 年的古巴比伦的汉漠拉比年代.把该定理名字归于毕达哥拉斯,大概是因为 他第一个对自己在学校中所写的证明作了记录.毕达哥拉斯定理的结论和它 的证明,遍及于世界的各个大洲、各种文化及各个时期.事实上,这一定理 的证明之多,是其他任何发现所无法比拟的!

视幻觉与计算机绘图


  绘图是人们用计算机探索的又一个领地.下图的视幻觉,是用计算机绘 制的斯洛德楼梯.
它属于一种振动错觉的范畴. 我们的理解力和悟性受过去的经验和暗示的影响.最初的理解取决于我
们观察一个物体的方式.当经过一定时间后,观点便可能发生改变.时间的 因素会影响我们的注意力,并很快对最初的视觉焦点感到厌烦.在斯洛德的 幻影中,看久了对楼梯的感觉会猝然出现倒置.

摆 线


摆线是数学中众多的迷人曲线之一.它是这样定义的:一个圆沿一直线 缓慢地滚动,则圆上一固定点所描出的轨迹称为摆线.





  摆线最早可见于公元 1501 年出版的 C·鲍威尔的一本书中.但在 17 世 纪,大批卓越的数学家(如伽利略,帕斯卡,托里拆利,笛卡儿,费尔马, 伍任,瓦里斯,惠更斯,约翰·伯努里,莱布尼兹,牛顿等等)热心于发现 这一曲线的性质.17 世纪是人们对数学力学和数学运动学爱好的年代,这能 解释人们为什么对摆线怀有强烈的兴趣.在这一时期,伴随着许多发现,也 出现了众多有关发现权的争议,剽窃的指责,以及抹煞他人工作的现象.这 样,作为一种结果,摆线被贴上了引发争议的“金苹果”和“几何的海玲” 的标签①.
17 世纪,人们发现摆线具有如下性质:
  1.它的长度等于旋转圆直径的 4 倍.尤为令人感兴趣的是,它的长度是 一个不依赖于π的有理数.
2.在弧线下的面积,是旋转圆面积的三倍.
3.圆上描出摆线的那个点,具有不同的速度——事实上,在 P5 的地方
它甚至是静止的.
4.当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时,它们会同时到达底 部.






  图中每个圆代表旋转圆每转四分之一时的位置.注意从 P1 到 P2 这四分之 一转,要比从 P2 到 P3 这四分之一转短得多.结果,从 P2 到 P3 点必须加速, 以使得在同样长时间内走得更远.
在必须改变方向的地方,如 P5,点处于静止。
  有许多与摆线有连带关系的令人迷惘的悖论.其中火车悖论格外引人关 注:
  ——在任一瞬间,一辆移动的火车绝不可能整个地都朝机车拖动的方向 移动.米车上总有一部分是朝火车运动的相反方向移动!
这个悖论能够用摆线加以说明.这里形成的曲线称为长幅摆线——该曲 线由旋转轮外沿的固定点描出.下图显示出当火车的车轮向右滚动的时候, 它凸出部分外沿的点,却沿长幅摆线的轨迹向左方向(相反的方向)移动.





① 译者注:引发争议的“金苹果”和“海玲”都是引自希腊的神话.海玲是 Zeus 与 Leda 之女。因被 Paris
所拐而引起了特洛伊战争,所以有“祸根”之意.这里暗指摆线是引发争议的祸根.


三角形变为正方形


  德国数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert, 1862—1943)第一个证 明了,任何一个多边形都可以通过切为有限块而把它变换为另一个面积相等 的多边形.
  上述定理可以用著名的英国谜题专家 H·E·杜登尼(HenryErnest Dudeney,1847—1930)的一个谜题加以说明.杜登尼把一个等边三角形通过 切为四块,变为一个正方形.
这里有四块,把它们拼在一起,先组成一个等边三角形,然后再组成一 个正方形.
























哈雷彗星


  天体的轨道是这样一种观念:它应能很容易用方程或它们的曲线加以描 述.研究曲线图有时能够揭示轨道的循环和周期.
这里提到的哈雷彗星,便是一例.


  直至 16 世纪,彗星还是一种无法解释的天文现象.它似乎并不遵从太阳 系的哥白尼和开普勒定律.公元 1704 年,E·哈雷对各种彗星的轨道进行了 颇有成效的研究.在广为收录的资料中,有不少是关于 1682 年的彗星的.他 注意到该彗星的轨道与 1607,1531,1456 等年份的彗星穿过天空的同样的区 域.由此他得出结论,它们应是同一个彗星,它绕太阳的轨道呈椭圆形,周 期约 75 至 76 年.他成功地预测该彗星应于 1758 年回归.它就是后来变得非 常著名的哈雷彗星.新近的研究表明,在公元前 240 年,中国人就已记录到
  
了哈雷彗星.



  哈雷彗星的每一次出现,其渐渐淡去的彗尾奇观,就像最近 1985—1986 年这一次出现的那样明显.
  人们确信,彗星最初是从一些冰体小行星而来.这些冰体小行星绕着太 阳,在差不多距太阳 1 至 2 光年的球面上运转.这些小行星是冰块和部分硅 酸盐物质微粒的掺合物.在太阳的边缘,处于冰冻的低温,这些小行星绕着 太阳以每分钟 3 英里的速度,用 30000000 年的时间绕太阳旋转一周.由于过 往其他天体引力的偶然性干扰,使它逐渐落向太阳,并因此改变其圆形的轨 道为椭圆形.自从它开始进入太阳的椭圆形轨道,它的部分冰块便开始气化, 这就形成了彗尾,它永远指向背离太阳的方向,因为这种尾巴受到太阳风吹 拂的缘故.彗尾是气体和少量的微粒的掺合物,它受太阳的照射而发光.彗 星在继续运行中如果没有受到木星和土星引力的影响,它将不会改变绕太阳 的椭圆形轨道.每一个轨道都带给彗星一次靠近太阳的机会,这时冰融化得 更多,从而造成了彗尾的扩展.彗尾使得彗星的尺寸显得更大(一个典型的 彗星直径约 10 千米).在彗星的尾部也漂游着一些陨石,它们最初是嵌在彗 星的冰条里的.陨石是彗星分化后在轨道上的残留物.而当它的轨道与地球 的轨道巧合时,便造成了流星雨.
  
不可能的三接棍


  许多图案和实例,一旦熟悉起来便觉得当然.在 1958 年英国的《心理学 杂志》上,R·朋罗斯发表了他的不可能的三接棍.
他称之为立体的矩形构造:三个直角显示出垂直,但它是不可能存在于 空间的.这里三个直角似乎形成一个三角形,但三角形是一个平面而非立体 的图形,它的三个角的和为 180°,而非 270°.











  新近,朋罗斯推出了一种磁扭线的理论:虽说磁扭是看不见的,但朋罗 斯坚信,由于磁扭线之间的互相影响,空间和时间会绞扭在一起.



你能说出为什么海哲的视觉幻影,从数学上讲也是不可能的?

结绳法


  印加帝国的领地,是环绕库斯科城的一方地域,那里现在大部分属于秘 鲁,还有一部分属于厄瓜多尔和智利.虽然印加人那时还没有一个数学记数 系统或一种语言书写法,但他们用结绳的方法,管理着他们长达两千英里的 帝国.
  结绳法是利用一种十进的位置系统在绳子上打结.在干绳中最远的一行 一个结代表 1,次远的一个结代表 10,如此等等.


  年间画的秘鲁的结绳法.左下角有一个计算盘,在上面可以用玉米仁来 施行计算,而后转换为结绳.在一股绳子上没有结便意味着零.结的尺寸, 颜色和形状则记录有关庄稼,产量,租税,人口及其他资料和信息.例如, 黄色的绳可用于表示黄金或玉米;又如,在一根表示人口的结绳上,头一套 代表男人,第二套代表女人,第三套代表小孩.武器诸如矛、箭、弓等也有 着类似的约定.
  对于整个印加帝国的帐目,则由一批结绳的记录员来做.这些人过世了, 工作由他们的儿子继承.在每一个管理层次都有着相应的记录员,他们各管 着某个特定的范畴.
在没有书写记录的年代,结绳法也担负了记载历史的作用.这些历史的
结绳,由一些聪明人担任,他们过世了则转给下一代,就像讲故事那样,一 代一代地留传了下来.而正是这些原始的计算器——结绳——在他们的记忆 库里,系结着印加帝国的信息.
印加的王室道路,从厄瓜多尔到智利,延绵 3500 英里,连接着帝国版图
内的各个区域.沿着王室道路由一些职业长跑手传递信息.这些跑手每人负 责两英里地段.他们非常熟悉各自道路的细节,因此他们能够以最快的速度 日夜地跑.他们接转信息,直至到达要求他们到达的场所.他们服务的项目 就是用结绳法联系,以保持印加帝国有关人口的改变,配备,庄稼,领地, 可能的反叛,以及其他任何有关的资料.信息每 24 小时更换一次,而且极为 精确和切时.

书法、印刷与数学

建筑学、工程学、装潢术和印刷术,是一些几何原理应用的领域.丢勒
(Albrecht Dürer)生于 1471 年.卒于 1528 年.在他的一生中,他把自己 的几何知识与艺术才华结合在一起,创造出许多艺术形式和艺术方法.他把 罗马字母的构造加以系统化,这对于建筑物或碑石上的大写字母的准确和一 致,无疑是很根本的.下图显示了丢勒怎样在书写罗马字母中应用几何结构.






  今天,计算机科学家们用数学设计了标准的电脑程序,借以产生高质量 的印刷和图式.一个突出的例子是,由 Adobe 系统发展而来的 POSTSCRIPT 程序语言,通过激光打印进行工作.
  
    麦粒与棋盘


如果按下述方式在棋盘上放置麦粒,那么共需多少麦粒? 在第一个方格上放一粒麦粒,第二个方格上放两粒,第三


  个方格放四粒,第四个方格放八粒,如此等等,每一个新的方格都比先 前的方格翻一倍.
(见附录“麦粒与棋盘”的解答)

概率与π


  数学家和其他科学家总是对π感到兴趣.但当它在《星际旅行》故事中 竟挫败一台魔鬼计算机时,便又获得了完全新的崇拜者.π拥有若干桂冠—
—如它是圆的周长与其直径之比;它是超越数(一个不是整系数代数方程解 的数)等等.

千百年来,人们总是试图把π算到小数后越来越多的位数.例如,阿基
米德通过增加圆内接多边形边数的方法,近乎准确地得出π的值介于 31 与
7
310 之间.
7
  在《圣经》和《编年史》中,π的值给出为 3.埃及数学家求出π的近 似值为 3.16.公元 150 年,托勒密给出了π的估值为 3.1416.①
  从理论上讲,阿基米德的近似算法可以无限地延伸下去.但随着微积分 的发明,希腊人的方法便被舍弃.代之的是使用收敛数列、无穷乘积、连分 数等来计算π的近似值,例如:
4
π ?
12
1 ? 32
2 ? 52
2 ?
72
2 ?
2??


计算π的最为稀奇的方法之一,要数 18 世纪法国的博物学家 C·蒲丰和
他的投针实验:在一个平面上,用尺画一组相距为 d 的平行线;一根长度小
于 d 的针,扔到画了线的平面上;如果针与线相交,则该次扔出被认为是有 利的,否则则是不利的.
蒲丰惊奇地发现:有利的扔出与不利的扔出两者次数的比,是一个包含
π的表示式.如果针的长度等于 d,那么有利扔出的概率为 2/π.扔的次数 越多,由此能求出越为精确的π的值.









公元 1901 年,意大利数学家拉兹瑞尼作了 3408 次投针,给出π的值为
3.1415929——准确到小数后 6 位.不过,不管拉兹瑞尼是否实际上投过针, 他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的 L·巴杰的质疑①. 在用概率方法计算π值中还要提到的是: R·查特在 1904 年发现,两



① 原注:见“对π实验的不实的计算”,J·玛多克,《自然杂志》1994 年 8 月 1 日,370 卷,第 323 页.

              6
个随意写出的数中,互素的概率为 .
π2
  通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π,这是着实令人惊 讶的!
  
地震与对数


  用数学方式描述自然现象似乎是人类的需要.大概人们希望从中发现一 些方法,以便能够控制自然——也许只是通过预报.
  就像地震那样,初看起来似乎很难与对数之间有什么关联.但用以测量 地震强度大小的方法,却把两者联系起来.美国地震学家 C·F·里兹特,在
1935 年设计了一种里氏震级.那是由地震的震中释放出的能量来描述.里氏 震级是释放能量的对数.里氏度数上升 1 级,地震仪曲线的振幅增大 10 倍, 而地震能量的释放大约增加 30 倍.例如,一次 5 级地震是一次 4 级地震释放



  量的 30 倍;而一次里氏 8 级地震所释放的能量,差不多是一次里氏 5 级地震的 303 即 27000 倍.
里氏震度从 0 到 9 分为十级.但从理论上讲,它并没有上限.大于 4.5
级的地震便会造成损害.强烈地震的震级大于 7.如 1964 年阿拉斯加地震为 里氏 8.4 级;而 1906 年旧金山地震为里氏 7.8 级.


  今天,科学家们把对地震的研究,纳入了地震学和地球物理学的领域.精 密的仪器和方法被找到或被设计出来.最早的仪器之———地震记录仪一直 使用至今.它能自动地发现、测量地震或其他大地震动,并绘制出相关的图 表.
  
美国国会大厦的抛物天花板


  在当今的高工艺世界里,去寻找 19 世纪建造的东西,似乎相当有趣.美 国国会大厦,以其非电子窃听设计.而符合于这一目的.美国的国会大厦由 W·桑顿博士筹建于公元 1792 年.1814 年为英国侵略军所烧毁,公元 1819 年重建.


  在国会山巨大圆顶厅的南面是雕塑厅.该厅的设立是缘于 1864 年,各个 州都要求捐献他们的两位著名市民的塑像而得名.直至 1857 年,众议院都与 雕塑厅相连.在这个厅里,当时有一位叫阿达姆的议员,发现了一种奇特的 声学现象:在厅一边的某个定点,人们能够清楚地听到位于厅的另一边的人 的谈话,而所有站在两者之间的人,都听不到他们的声音,他们发出的噪音 也并不使传递于大厅间的谈话声变得模糊.阿达姆的桌子正巧坐落在抛物天 花板的一个焦点.这样,他便能很容易地窃听到位于另一个焦点的其他国会 议员的私人谈话.
抛物反射镜按以下方式作用:







探奇:
  ——在加利福尼亚的旧金山,有一个为公众设置的抛物声音反射镜.它 们设置在一间大房子相对的两边.它们的焦点有标记可以识别.两个人分别 在两个焦点作正常的谈话.在房子中不管是否有其他人或其他音响,都不会 对他们的彼此倾听造成阻碍!
  
计算机、计算和电流


  电子计算机是应用计算机语言传达信息.计算机语言依次地翻译成某种 数制系统,并通过电脉冲驱动计算机.当人们用钢笔或铅笔计算时,十进制 显得得心应手,但电子计算机需要的却是另外一种数制系统.如果一种记忆 设计是在十进制下运作的,那么它就必须含有十种不同的状态,以表现十个 不同的基数(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).虽然从机械系统讲这是可 能的,但对于电学而言,却无法实行.另一方面,二进制系统则完全适应于 电子计算机.在二进制中只用两个基数 0 和 1.这两个数很容易通过电流, 用以下三种方式表示出来:
(1)由通常开关的开或关状态;
(2)由一个方向或另一个方向去磁化一个线圈;
   (3)由激发或不激发一个继电器. 在以上三种情况的任一种中,都可以取其一种状态作为数 0,而另一种
状态作为数 1. 计算机不按人们通常方式计数:一,二,三,四,五,六,七,八,九,
十,十一,十二,??代替它的是:1,10,101,110,111,?? 自计算机用电操作以来,它的机械装置便通过电来转换符号,我们能够
通过监测器了解它们的运转.当电流通过计算机的复杂内部时,它使得其中
的一部分开关的状态转换.开或关对电来说是仅有的两种可能.这就是为什 么它只有 0 和 1 两个数字,以及为什么在我们的电子计算机中要使用二进制. 当我们写一个数的时候,我们用数字 0.1,2,3,4,5,6,7,8,9.这 种记数法称为十进制,因为我们用 10 个数字构成任何数.在一个数中,处于 某个位置的数字,其真正的值相当于该数字的一个 10 的乘方倍.当我们写数
的时候,每一个数字的值,都依赖于它在数中的位置.例如:
5374 并不意味着 5+3+7+4,而是意味着:
    5 个千+3 个百+7 个十+4 个一. 在数中,每一个位置是 10 的一个乘方:
千=1000=10×10×10=103 百=100=10×10=102 十=10=101
一=1=100
而计算机写它们的数只用数字 0 和 1.这种数字系统称为二进制,因为 我们只用两个数字构成任何的数.在一个数中,每一个位置的值是一个 2 的 乘方.右起第一位是 1 的位置;接着是 2 的位置;再接着是 2×2=4 的位置; 然后是 2×2×2=8 的位置;如此等等.
  
2 ? 2 ? 2 ? 8的
2 3
于是,数 1101 便意味着:

2 ? 2 ? 4 的
2 2

2 的 1的
21 2 0

1×8+1×4+0×2+1×1=十进制下的数 13.

“占地”——一种数学游戏


  “占地”是一种有许多可变策略的游戏.玩的人数不限.不过,刚学的 时候最好先从两个人开始.游戏一般分为三个阶段:
Ⅰ.构造游戏的区域; Ⅱ.在一些或全部区域上指定值; Ⅲ.占领区域.
  Ⅰ.每个选手轮流每次各画一个区域,以某种方式邻接在前面已经画过 的区域上.每个选手要各画 10 个区域,像图 A 那样.
  Ⅱ.各选手选用不同颜色的铅笔,然后一人一区域地轮流指定数值,直 至每人所指定的数总和为 100.如果有人希望某区域的指定数为 100,那么他 就只能拥有这个区域.
Ⅲ.游戏的目标: 游戏终结,拥有最多区域者胜.至于区域内的指定数则不相干. 游戏的运行: 一个区域被占领,是指与该区域邻接的区域中有至少一个区域属于另一
个选手,而后者区域指定数的和大于该区域的指定数. 一个区域一旦被占领,即退出游戏,而且标上占领者的记号. 继续占领(由选手轮流),直至没有可占领为止. “占地”有一些极为引人的变化.玩的次数多了,便会发现许许多多在
构造区域、指定数值和占领区域等方面的策略.

斐波那契数列


  斐波那契①是中世纪占主导地位的数学家之一,他在算术、代数和几何等 方面多有贡献.他生于比萨的列奥纳多家族(1175—1250),是一位意大利 海关设在南部非洲布吉亚的官员的儿子.由于他父亲的工作,使他得以游历 了东方和阿拉伯的许多城市.而在这些地区,斐波那契熟练地掌握了印度— 阿拉伯的十进制系统,该系统具有位置值并使用了零的符号.在那时,意大 利仍然使用罗马数字进行计算.斐波那契看到了这种美丽的印度—阿拉伯数 字的价值,并积极地提倡使用它们.公元 1202 年,他写了《算盘书》一书, 这是一本广博的工具书,其中说明了怎样应用印度—阿拉伯数字,以及如何 用它们进行加、减、乘、除计算和解题,此外还对代数和几何进行了进一步 的探讨.意大利商人起初不愿意改变老的习惯,后来通过对阿拉伯数字不断 地接触,加上斐波那契和其他数学家的工作,终使印度—阿拉伯数字系统得 以在欧洲推广,并被缓慢地接受.
斐波那契数列——1,1,2,3,5,8,13,21,34,?
  具有讽刺意味的是:斐波那契在今天的著名,是缘于一个数列.而这个 数列则来自他的《算盘书》中一道并不出名的问题.他当时写这道题只是考 虑作为一个智力练习.然而,到了 19 世纪,法国数学家 E·卢卡斯出版了一 部四卷本的有关娱乐数学方面的著作时,才把斐波那契的名字,加到该问题 的解答和所出现的数列上去.
《算盘书》中引致斐波那契数列的问题是:
  1)假定一个月大小的一对兔子(雄和雌的),对于繁殖还太年轻,但两 个月大小的兔子便足够成熟.又假定从第二个月开始,每一个月它们都繁殖 一对新的兔子(雄和雌的).
2)如果每一对兔子的繁殖都按上面说的同样的方式.试问,从开始起每
个月有多少对兔子呢?



免子的对数









斐波那契数列的每一项,都等于它前两项的和.用公式表示为: Fn=Fn-1+Fn-2.
那时,斐波那契并没有去研究这种数列的结果,从而他没有给出任何真
正有意义的东西.一直到 19 世纪,当数学家们开始对这个数列感兴趣时,它 的性质和它所触及的领域,才开始显现出来.
斐波那契数列出现在:
1)帕斯卡三角形,二项展开式和概率.


① 原注:“斐波那契”在文字上意为上流社会的儿子.

2)黄金比值和黄金矩形.
3)自然和植物.
4)使人感兴趣的数学戏法.
5)数学恒等式.

毕达哥拉斯定理的变形


亚历山大里亚的帕普斯,是公元前 300 年的一位希腊数学家.他证明了 毕达哥拉斯定理的一个有趣变形:将毕达哥拉斯定理中论及的,立于直角边 和斜边上的正方形,变形为他自己定理中论及的,立于直角边和斜边上的任 意形状的平行四边形.










利用任意的直角三角形并按以下步骤构造:
1)在直角三角形的两直角边上,构造任意大小的平行四边形;
2)延长平行四边形的边,令其相交于 P 点;
3)画射线 PA,令射线与线段 BC 交于 R 点,取|RQ|=|PA|;
4)以斜边BC为一边画平行四边形,并使其另一组对边平行且相
等于RQ.

帕普斯的结论:
  ——立于斜边上平行四边形的面积,等于立于直角边上其他两平行四边 形的面积和.
  
三连环——一个拓扑学模型
如果移走一个环,会出现什么情况呢? 人体结构与黄金分割达·芬奇广泛研究了人类身体的各种比例.下面一
张图画的是他对人体的详细研究.而且图中标明了黄金分割①的应用.这是一 张他为数学家 L·帕西欧里的书《神奇的比例》所作的图解,该书出版于 1509 年.


黄金分割还出现在达·芬奇未完成的作品《圣徒杰罗姆》中.该画约作 于公元 1483 年.在作品中,圣徒杰罗姆的像完全位于画上附加上的黄金矩形 内.应当认为这不是偶然的巧合,而是达·芬奇有目的地使画像与黄金分割 相一致.因为在达·芬奇的著作和思路中,处处表现出对数学应用的强烈兴 趣.达·芬奇说过:“??没有什么能不通过人类的探求而称之为科学的, 除非它是通过数学的解释和证明的途径.”











































① 原注:术语黄金分割有时也说成黄金均值、黄金比、黄金比例等等.当它设置于一条给定的线段上时,
其几何含意如下: 点 B 分割线段 AC 使得(|AC|/|AB|)=(|AB|/|BC|).可以确定,该黄

    悬链线与抛物线

一根自由悬挂着的链子,形成了一条称之为悬链线的曲线
.该曲线看起来很像一条抛物线,以至于伽利略最初竟误信为它就是一条抛 物线.


  当把重物系在悬链线等间隔的地方,链就变成抛物曲线.这类似于旧金 山市的金门湾悬索桥.当在悬缆上安置垂直的吊柱时,便形成了抛物线.
探奇:
——据考证,在旧金山曾有过一个与悬链拱有关的展览.

T 问 题


一个古老但却使人备受挫折的难题是:如何将下列四块板拼合成一个 T 字型①?祝你好运!




















(见附录“T 问题”的解答)








































① 译者注:这种智力玩具通称日本四巧板.用这样的四块板可以拼合出许多图案.拼成“T”字较难,拼成
如右的“手风琴”式则更难.有兴趣的读者,可见译者的著述《使人聪明的数学智力游戏》一书.

台利斯与大金字塔


  台利斯(Thales,公元前 640—546 年)是古希腊著名的七位聪明人之 一.是他最早将几何研究引进希腊,人们称之为演绎推理之父.他既是一位 数学家,又是一名教师,一名哲学家,一名天文学家,一个精明的商人,而 且是第一个采用一步步证实的办法来证明自己结论的几何学家.
公元前 585 年,台利斯正确地预言了当时的日蚀.他还用影子和相似三 角形来计算大金字塔的高度,并使埃及人为之惊震!






程序:
  ——上图显示了金字塔所投下的影子,|DC|是已知竿的长度,它垂直地 立于影子的尖端 C.竿的影子的长度|CE|可以测出.|AF|是金字塔边长的
1/2.现在,金字塔的高度 X,可以很容易通过三角形△ABC 与△CDE 的相似 计算出来.

x
?
|CD|
于是

|AC|
|CE|

|CD|·|AC|
x ?
|CE|

无穷旅店


  作为一名无穷旅店①职员的资格之一,就是具有无穷的知识.保罗的申请 被接受,并定于次日傍晚开始工作.
  保罗感到奇怪,为什么旅店要求它的所有职员都要知道有关无穷、无限 集合及超限数等内容.由于旅社有无穷多个房间,所以保罗用图加以标示, 以便客人找到房间不成问题.在工作岗位上度过第一夜后,他为自己具备无 穷的知识而感到高兴.


  当保罗再次当班时,白天的女职员告诉他,所有的无穷个房间都已客 满.女职员走后,进来了一个带有预订单的新的客人.他想了一会,然后便 叫每一号房间的旅客,搬到房号比原先高一号的房间去.这样,第一号房终 于被腾了出来,新客人就被安排在一号房里.保罗对自己的解决方案颇感满 意.不料,此时一部载有无数个新客人的“无限汽车”开到.试问,保罗该 怎样给他们安排房间呢?
(见附录“无穷旅店”的解答)












































① 原注:无穷旅店的设想,首次出自德国数学家大卫·希尔伯特(DavidHilbert ,1862—1943).

晶体——自然界的多面体


  从古代起,多面体便出现在数学著作中,然而,它们的起源却是那样地 古老,几乎可以与自然界自身的起源联系在一起.



  晶体常常生长成多面体形状.例如,氯酸钠的晶体呈现为立方体和四面 体的形状;铬矾晶体有着八面体的形状.令人迷惑不解的是,在一种海洋微 生物放射虫类的骨骼结构中,居然也出现十二面体和二十面体的晶状体.
如果多面体是这样的,它的所有面都相等,而且这些面的角也全相等, 那么这个多面体就称为正多面体.一个正多面体的所有面都一样,所有边都 相等,而所有角也全都相等.多面体有着无数种类型,但正多面体却只有五 种.正多面体也称柏拉图体①,柏拉图约于公元前 400 年独立发现了它,后人 为此予以命名.然而正多面体的存在,人们早在毕达哥拉斯之前就已知道.埃 及人甚至把它们中的某些,用在蔚为壮观的建筑和其他物件中.













































① 原注:见“柏拉图体”一节.

帕斯卡三角形


  帕斯卡(Blaise Pascal,1623—1662)是法国著名的数学家.要不是由 于宗教信仰,瘦弱的体质,以及无意单单为数学课题而耗尽全部精力,他本 来可以成为一名伟大的数学家.帕斯卡的父亲担心他的孩子也像他自己那样 嗜好数学①,而希望帕斯卡能在更宽阔的教育背景下发展,所以起初劝导他不 要学习数学,为的是能够使他引发起其他方面的兴趣.不料帕斯卡在 12 岁小 小年纪,便显露出几何方面的天赋,从而使他的数学志向在此后深受鼓舞.他 才华横溢,16 岁时便写下了一篇关于圆锥曲线的论文,这使当时的数学家们 倍感惊奇.在文章中帕斯卡陈述了后来为人所共知的帕斯卡定理:一条圆锥 曲线的内接六边形的三组对边的交点共线.18 岁时,帕斯卡发明了有史以来 的第一台计算机.但就在这个时候,他遭受到病魔的侵扰.为此,他向上帝 许愿,将停止自己的数学工作.此后三年,他写下了论述帕斯卡三角形及其 性质的著作.公元 1654 年 11 月 23 日夜,帕斯卡经历了一场宗教仪式.在仪 式上他被要求献身于神学,并放弃数学和科学.此后,除一个短暂的时期外
(1658—1659),帕斯卡不再从事数学研究. 一些表面上毫无相关的数学内容,实质上有着深刻的联系.斐波那契数
列、牛顿二项展开式和帕斯卡三角形就是一个典型的例子.在这三者之间,
存在着相互的联系.下图说明了它们之间的亲密关系:沿着帕斯卡三角形斜 向点划线的数累加,便产生斐波那契数列;帕斯卡三角形的每一行,则代表 二项式(a+b)某个特定乘方展开式的系数.
例如:n0 n1 n-12 n-22n n 牛顿二项展开式
n n n n
































① 原注:帕斯卡的父亲在数学界也颇具影响.事实上,帕斯卡蚶线与其说是用儿子的名字还不如说是用父
亲的名字更为确切.

        台球桌的数学


谁能相信,数学知识竟有助于人们玩台球游戏? 给出一张长宽为整数比的台球桌,例如这个比为 7:5.一个球从一个角
落以 45°角击出,在桌子边沿回弹若干次后,最终必将落入角落的一个球 囊.事实上,回弹的次数跟台球桌长与宽的最简整数比 m∶n 联系在一起.到 达一个角落前的回弹次数,可由以下公式给出:
(m+n-2)①.

上述台球桌回弹的总数为 10.
7+5-2=10(次回弹). 注意在确定球的通路中——等腰直角三角形的结构.
















































① 译者注:原著中“长度+宽度-2”的公式有误,应改为长与宽最简整数比的份额,即 m 和 n.这里已予改
正.

电子轨道的几何学


  各种各样的几何形状,呈现在物质世界的各个方面.这些形状中有许多 是肉眼看不见的.以下特殊的电子轨道所呈现的五边形,便是一个例证.
  
莫比乌斯带与克莱因瓶

拓扑学专家创造出了许许多多迷人的物体.德国数学家莫比乌斯
(Augustus Mobius,1790—1868)所创造的莫比乌斯带,便是其中之一.


  上图所示的带子是由一张纸条的两端粘接而成.纸的一面成为带的内 侧,而纸的另一面则成为带的外侧.如果一只蜘蛛想沿着纸带从外侧爬到内 侧,那么它非得设法跨越带的边缘不可.


  上面这张图所示的是莫比乌斯带,它也是由一张纸条两端粘接而成,不 过,在粘接前扭转了一下.现在,所得的纸带已不再具有两面,它只有单面.设 想一只蜘蛛开始沿着莫比乌斯带爬,那么它能够爬遍整条带子而无须跨越带 的边缘.要证实这一点,只要拿一支铅笔,笔不离纸连续地画线.那么,你 将会经过整条的带子,并返回你原先的起点.
  莫比乌斯带的另一个有趣的性质,只要你沿着如下图所示的带子中央的 虚线剪开便会发现.请你不妨试试,看看究竟会发生些什么!


  莫比乌斯带作为汽车风扇或机械设计的传动带,在工业上有着特殊的重 要性.它比传统的传动带,在磨损方面,表现得更加均匀.
克莱因瓶也像莫比乌斯带那样令人感兴趣.克莱因(FelixKlein,1849
—1925)是一位德国数学家.他设计了一种拓扑模型.这种模型是一种只有 单面的特别的瓶子.克莱因瓶只有外部而无内部.它穿过自己.如果往里头 注水,那么水恰从同一个洞里溢出.


  在莫比乌斯带和克莱因瓶之间有着密切的联系.如果把克莱因瓶沿着它 纵长的方向切成两半,那么,它将形成两条莫比乌斯带!
  
山姆·洛依德谜题


  这一谜题是由著名的谜题专家山姆·洛依德创造的.目标是寻找一条走 出下图所示的钻石盘的路线.从中心开始,那里出现的是 3.该数表明,你 必须从这个数起,或往左、右、上、下,或往对角方向移动三个方格①.当你 这样做之后,你所停留位置的那另一个数,将告诉你下一步应当移动多少方 格(可往八个可能的方向移动).
祝你好运!























































① 译者注:这里往八个方向中的哪个方向移动可悉听尊便,但移动的步数要跟格子上的数字相符.游戏目
标所要求的“走出钻石盘”是指最后一步恰能位于盘外.这个游戏有一定难度,读者试一试就会明白.

数学与折纸


  我们中的大多数人都有过折纸的经历,只是折叠后便收了起来.只有少 数人折纸,是为了研究其间所揭示的数学思想.折纸是一项教育与娱乐两者 兼备的活动.连 L·卡洛尔也是一位折纸的热心者.虽然折叠纸张超越了许 多文化,但日本人却把它作为一种交谊的途径,并通过普及和发展,使之成 为一门称之为“折纸”的艺术.
  纸张折出的一些数学形体当折叠纸张的时候,很自然地会出现许多几何 的概念.诸如:正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、 面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念.
下面是一些折纸的例子,它说明了上述概念的运用. Ⅰ)从一个矩形式样的纸张,作成一个正方形(下图左).



Ⅱ)由一张正方形的纸张,变成四个全等的直角三角形(上图右). Ⅲ)找出正方形一条边的中点(下图右). Ⅳ)在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中).





  Ⅵ)拿一个正方形纸张折叠,使折痕过正方形中心,便会构成两个全等 的梯形(下图左).
Ⅶ)把一个正方形折成两半,那么折痕将成为正方形边的垂直平分线(下
图右).



Ⅷ)证明毕达哥拉斯定理. 如右图折叠正方形纸: c2=正方形 ABCD 的面积. a2=正方形 FBIM 的面积. b2=正方形 AFNO 的面积. 由全等形状相配得:
正方形 FBIM 的面积=△ABK 的面积.



  又 AFNO 的面积=BCDAK 的面积(此即正方形 ABCD 除△ABK 外剩余部分的 面积).
这样,a2+b2=c2
Ⅸ)证明三角形内角和等于 180°. 取任意形状的三角形,并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠.


a°+b°+c°=180°——它们形成一条直线. Ⅹ)通过折切线构造抛物线.
程序:

  ——在离纸张一边一两英寸的地方,设置抛物线的焦点.如图所示的方 法,将纸折 20—30 次.所形成的一系列折痕,便是抛物线的切线,它们整体 地勾画出曲线的轮廓.
  
斐波那契的秘诀


  在斐波那契数列中,每一项都由前两项的和产生①.任何按上述方法产生 的数列,我们称之为类斐波那契数列.


  任选两个数,并产生一个类斐波那契数列,使它以你所选的两个数为起 始.在你的数列中,头十个数的和,将自动地与第七项的 11 倍相等.
你能对任何两个起始数证明上述结论吗?
(见附录“斐波那契的秘诀”的证明)























































① 原注:更多的信息可见“斐波那契数列”一节.

数学符号的演化


  从早期巴比伦泥板上的楔形文字,可以发现,那时人们把空位充当零.数 学家们设计出各种表达概念和运算的符号,其明确的目的是为了节约时间、 空间和气力.
  在 15 世纪,人们最先使用的加和减符号分别是 p 和 m.这时德国商人用 “+”和“-”的记号,表示重量的增加和差缺.很快地,这“+”、“-” 记号便为数学家们所采用.公元 1481 年之后,这些符号开始广泛出现在人们 的手稿上.
  乘的符号“×”要归因于 W·奥托(William Oughtred,1574—1660).但 遇到了一些数学家的反对.后者认为,这个记号会跟字母 x 产生混淆.
  经常会有这样的情况,对于同一个概念,由于数学家的不同,而出现了 许多不同的符号.例如,在 16 世纪,F·韦达(Fran-cois Vieta,1540—
1603)先是用一个词,而后又用符号“~”表示相等.笛卡儿则倾向于用“∝” 这一符号.但雷科德(RobertRecorde)的符号“=”(1557),则最终被人 们普遍采用.雷科德表示,他选择两条等长的平行线作为等号,是因为它们 再相等不过了!
虽然用字母代替未知量,早年古希腊的数学家欧几里得和亚里士多德就
曾使用过,但一直没有形成一种共有的习惯.在 16 世纪,像 radix(拉丁语 “根”),res(拉丁语“东西”),cosa(意大利语“东西”),coss(德 语“东西”)这类的词,都曾被用于作未知数.在 1584—1589 年间,律师韦 达出任布列塔尼议会议员.此间他额外地从事了许多数学研究.他发展了用 字母表示正的已知或未知量的见解.笛卡儿修订了他的想法,并建议用字母 表开头的几个字母作为已知量,而最后的几个字母作为未知量.最后,在 1657 年,J·伍德则把字母用于正数和负数两者.
这个符号是由意在利数学家斐波那契在 1220 年首先使用的,它表示√,




纪的法国。

17 世纪德国数学家莱尼兹选择它作为乘法的符号。


  这个倒反的 D 字是用于表示除法,它是由法国人 J·E·伽利玛德于 1700 年采用的。


  1859 年,一位哈佛大学教授 B·佩尔斯用这个符号表示π。π而这个符 号最早出现在 18 世纪的英格兰。


  这个符号由意大利文艺复兴时期的数学家塔塔尼亚用作为加法。它是由 意大利词(添加)而来。

这个符号古希腊数学家丢番图用于表示减法。

∞曾被罗马人用来表示 1000,而后来用于表示任意的非常大的数.公元
1665 年,一位牛津大学的教授约翰·威廉第一次用这个符号表示无限.但该 符号直至 1713 年贝努利使用它之后,才被广为采纳.
其他符号的演化是这样的:括号用于 1544 年;中括号[ ]和大括号{ }
用于 1593 年.根号则是由笛卡儿所
  人们很难想象,没有“+”、“0”等符号,及其他人们认定的记号,我 们怎么去从事数学问题的研究.同样地,实现这种几个世纪的演化而能为人 们所普遍接受,也是极为艰难的!
数学符号和用语的过去和现在比较表

达·芬奇的一些几何设训


  这是达·芬奇的手稿,表明他在一个教堂的设计中用了正多边形,达·芬 奇对几何结构的兴趣和研究,以及他对于对称的知识,成为他创造和设计建 筑物的工具.在大教堂边增添一个小教堂,并没有打乱原计划以及主建筑物 的对称性.
  
十个历史日期


  下面是用不同的数的系统写出的十个历史日期.每一个都是用十进制写 的,并与某历史事件发生的年份相关联.

下面是不同的数的系统表,它能够帮助你破译上面所写的数字.

拿破仑定理

“数学的进步和完善与国家的兴旺是密切关连的.”
——拿破仑一世


  波拿巴·拿破仑(Napoleon Bonaparte,1769—1821)对数学和数学家 怀有特别的敬意,并且欣赏他自己提出的问题.事实上,以下定理即归属于 他:
  ——以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个 等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点.
  
卡洛尔——数学家


  道奇森(Charles LutwidgeDodgson,1832—1898)是一位英国数学家和 逻辑学家,但他的笔名 L·卡洛尔,以及作为《阿丽丝漫游奇境记》和《阿 丽丝穿越镜子》等书的作者,则更加知名.此外,他还出版了许多涉及多种 数学领域的书籍.他的书《枕边问题》中的 72 道题,几乎全是在他夜里睡醒 后写下并解出的,其内容论及算术、代数、几何、三角、解析几何、微积分 和抽象的概率.


  “相反地,”两个雷同人继续说道,“如果它是这样,那么它就能;而 如果它将这样,那么它就将能;但如果它不是这样,那它就不能.这就是逻 辑.”
——L·卡洛尔
  《一个迷惘的故事》最初是作为一本月刊杂志的文章刊印的,而后编辑 成令人喜爱的数学谜题故事,共含十章.据说当初维多利亚女王十分看重卡 洛尔的有关阿丽丝的书,并要他将所写的每一本书派人送给她.可想而知, 当女王收到一大堆数学的书时是何等地惊讶!

《枕边问题》的第 8 题
  “一些人坐成一圈,于是每个人便有两个相邻的人;而每人身上有一定 数目的先令.第一个人比第二个人多一先令,第二个人又比第三个人多一先 令,如此等等.现第一个人给第二个人一先令,第二个人给第三个人两先令, 如此等等,总之每个人给出的先令数都比他收到的先令数多一,而且尽可能 地这样做下去.最后,有两个相邻的人,其中一人拥有的先令数是另一人先 令数的 4 倍.试问,总共有多少个人?开头钱最少的那个人身上有多少先 令?”
(见附录“枕边问题之八”的解答)


  这是卡洛尔在他 20 岁时画的迷宫。他把迷宫的通道画得纵横交错.目标 是要让人找出一条走出迷宫中心的通路.
  
在手指上计算


  在中世纪,纸作为书写的材料价格较为昂贵,那时人们经常用手指记号 来传递计算的结果和信息.下图所示的手指系统同时能够表达小的数和大的 数.
  
卷缠的莫比乌斯带


  下图包含了莫比乌斯带的运用.如果你按图中的拓扑构造做出纸的模 型,并沿着图中的点划线把它们剪开,那么其中一个将变成一个正方形,而 另一个则形成两个套着的环.
  
海伦定理


  许多人学习如何计算一个三角形面积时,用的是它的高及与之相对的底 的长度.然而,如果没有海伦定理,只知道三角形三条边的长度而要求它的 面积,就需要三角学的知识.

海伦因下列公式而在数学上青史留名:

  这里,a,b 和 c 是三角形三边的长度,而 s 是三角形三边长度和的一半. 海伦公式的出现已知要早于阿基米德,后者或许证明了它,不过目前所 知的最早的书面记录出自海伦写的《测量》一书.将海伦描述为一位非正统 数学家的典型是最为合适的.他对数学的实用性,比对数学作为科学与艺术 的理论与学说更为注重.正因为如此,他同样由于诸如原始类型蒸汽机的发 明,各种各样的玩具,抽水救火机,一种塔门一开便立即点燃祭坛圣火的装 置,一种风琴,以及许多基于流体性质和简单机械定律的机械设计而被后人
记住.

哥德式建筑一瞥


  这些珍贵的哥德式设计方案显示了几何和对称在米兰的圆顶式建筑中的 应用.该方案发表于公元 1521 年,由米兰圆顶建筑大师 C·卡沙里洛设计.
  
纳皮尔骨算筹


  带有复杂计算的工作变得越来越乏味,特别是科学家们进行的天文计 算,海员们在实际航海中所要解决的定位问题,以及商人们在让利时的考虑 等等.然而,在 17 世纪,一位著名的苏格兰数学家 J·纳皮尔(John Napier,
1550—1617),以他发明的对数引发了一场计算上的革命(一种用代表数的 方法把进行乘法和除法的计算变换为加法和减法的计算)①.纳皮尔用对数和 表来计算的方法,使得诸如乘、除、乘方、开方这类困难的计算,变得简单 化起来.
  虽然对数和指数函数的理论是数学的精髓部分,然而一旦现代电子计算 器和计算机介入生活,对数表和它的使用就像过时的法律那样被废弃了.但 对数表的发展及其快捷的计算法,曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海 家、天文学家和科学家们所广泛应用.
  应用对数,纳皮尔还发明了一种算筹,称为纳皮尔骨算筹,它可以帮助 商人们算账.商人们带一套象牙或木制的算筹,用来进行乘、除及求平方根 和立方根等运算.每根算筹都是它顶部数字的乘法表.例如要算 298×7,先
将 2,9,8 三根算筹依次摆成一线,然后从上往下数到第 7 行,则如图所示 的两数和即为所求的积.





































① 原注:例如,进行的运算是 3600/0.072,首先用对数表把这些数变换为它们的代表数(即对数)形式,
即把要运算的数写为同底的指数形式,而实行除法即化为指数间的简单减法.这就是把 3600 与 0.072 两 数的对数相减,再用同样这张对数表把结果变为十进制下的数.

艺术与投影几何


  多少世纪以来,数学总是有意识或无意识地影响着艺术和艺术家.投影 几何;黄金分割;比例;比;视觉幻影;对称;几何形状;图案和花样;极 限和无限;以及计算机科学等等,这些都是数学范围的内容,然而它们却影 响着艺术的众多方面乃至于整个时代——原始的、古典的、文艺复兴时期的、 近代的、流行的或艺术装饰的.


  一位油画家要在一张画布上画出一幅立体的场景,他必须确定当眼光从 不同的距离和位置观察时,物体会产生怎样的改变.这便是文艺复兴时期艺 术活动的主要部分和投影几何发展的领域.投影几何是这样一种数学领地, 它论及图形及其投影的空间关系和性质——因此它包含了透视法的问题.为 了创作他们的现实主义的立体油画,文艺复兴时期的艺术家们利用了新建立 的投影几何概念——投影点、平行会聚线、消失点,等等.
  投影几何是最早的一门非欧几何.艺术家们希望描实,他们推断,假如 人们透过窗户去观察一个景观,并且眼睛保持在一个焦点上,这时视点集中, 外面的景观似乎是投影到窗户上而被看到,这样窗户便可能充当画布那样的 幕.各种各样的图案赋予了艺术家们创造的灵感,他们把这种现实从窗户转 移到画布上来.下图所示的两个图案,乃是 A·丢勒的木刻.请读者注意, 艺术家的眼睛处在一个固定的点.
  
无穷与圆


  每个圆都有一个固定的周长——一个有限量的长度.一种获得圆周长公 式的方法,就是利用无穷的概念.研究圆内接正多边形(所有的边具有相同 的尺寸,所有的角具有相同的度数)的周长序列.通过计算我们发现,随着 多边形边数的增加,它的周长也就越来越接近圆的周长.事实上,当边数趋 于无限时这种周长的极限便是圆的周长.下图说明,当一个多边形的边数增 大时,它的边更加贴近于圆,而多边形本身也更加形似于圆.
  
令人惊奇的跑道


  如下图,取两个大小任意的同心圆组成一个圆环形的跑道.你能说出为 什么该跑道的面积会相等于这样一个圆的面积,这个圆的直径既是大圆的弦 而又切于小圆?
  
波斯人的马与洛依德谜题
这是 17 世纪波斯人画的精巧的“四马”图画.你能找出这四匹马吗? 下面这张“骑师和驴子”的画,可能是谜题大师山姆·洛依德(Sam Loyd,
1841—1911)的灵感.按洛依德所说,大约在 1858 年前后,当他还是一个少 年时便创造了它.


  所要提的问题是:沿着点划线把图切割为三个矩形,重新组合这些矩形 但不允许折叠它们,使得它显现出两个骑师正骑着两只飞跑的驴子.
  该谜题立即获得了成功.事实上它是那样地流行,以致于山姆·洛依德 在几个星期内竟为此而赚了 10000 美元.(见附录“山姆·洛依德的驴”的 解答)
  
弓 形


  弓形一词源于拉丁词 lunar(月形).弓形是由两个不同的圆弧所围成 的平面区域(见图中状如娥眉的部分).巧斯岛的希波克拉底(公元前 460
—公元前 380 年)——读者不要将他与可斯岛的那位同名的医生,希波克拉 底誓约的作者相混淆——对弓形进行了广泛的研究.他大概相信这种图形可 以用来解决化圆为方问题①.


他发现并证明了: 在内接于一个半圆的三角形的边上,如图作两个弓形,则两弓形的面积
和等于三角形的面积.
即:

弓形(1)面积+弓形(2)面积=三角形 ABC 面积.
  证 明

现将①,②两式相加并提取因式得:





 △ABC 是一个直角三角形(因为它内接于⊙), 这样|AB|2=|AC|2(毕达哥拉斯定理)将它代入③得:





尽管希波克拉底对于解决化圆为方问题上的努力没有获得成功,然而他 的探索却有助于他发现许多新的重要的数学思路.











① 原注:见“三大不可能的作图问题”一节.

自然界中的六角形


  自然界创造出了许多像正方形和圆这样美丽的模型.正六边形则是在自 然界中发现的又一种几何形体.六边形具有六条边.如果它所有的边都相等, 所有的角大小也一样,那么这样的六边形便是正六边形.
  数学家们表明,只有正六边形、正方形和等边三角形三种正多边形能够 镶嵌平面,使得没有剩余的空隙.





  在上述三者中,当它们面积相等时正六边形有最小的周长.这意味着, 在建造蜂巢中为了获得同样的空间,蜜蜂把小窝建成正六边形所用的蜂蜡较 少,所做的工作也较少.六边形的形状不仅可以在蜂巢中找到,而且可以在 雪花、分子、晶体、海洋生物等其他形式中找到.
如果你在一阵飞雪中漫步,那么你会感到自己位于某些奇异的几何形状 之中.雪花是自然界中六角形对称的最为令人兴奋的一种例子.雪花在形成 的过程中多少存在一些瑕疵.一朵雪花则是由无数这样的六角形花样结合而 成,这就解释了为什么世界上没有两朵雪花是相像的①.







































① 原注:设于科罗拉多州博德市的国家大气探测中心的 N·C·克奈特发现了世界上第一组相伺的雪花.它们
是在 1986 年 11 月 1 日收集到的.


英语中有个表示大数的新词叫 googol,一个 googol 是 1 后面跟 100 个
零,即 10100.googol 这个字是数学科普作家 E·卡斯纳博士的九岁的外甥造 的.他的外甥还提出了另一个比 googol 更大的数,叫做 googolplex.他把 这个数描述为 1 后面跟许多零,零的个数则是尽你可能写到手累为
止.googolplex 的数学定义是 1 后面跟有 googol 个零,即 10googol=.

使用大数:
  1)如果整个宇宙充满了电子和质子而没有留下多余的空间,那么这些粒 子的总数为 10110 .这是一个大于 googol 但远小于 googolplex 的数.
2)科尼岛(位于美国纽约州——译者注)的沙粒数大约为 1020.
  3)从公元 1456 年古腾堡印刷第一部《圣经》开始,到 1940 年为止,全 世界所有印刷的词量约为 1016.
  
一个幻立方


这是由头 27 个自然数组成的 3×3×3 的幻立方,它的每一行或每一列的 三个数的和均为 42.①







数学趣闻集锦(上)的下一页
成为本站VIP会员VIP会员登录, 若未注册,请点击免费注册VIP 成为本站会员.
版权声明:本站所有电子书均来自互联网。如果您发现有任何侵犯您权益的情况,请立即和我们联系,我们会及时作相关处理。


其它广告
联系我们     广告合作     网站声明     关于我们     推荐PDF     全部分类     最近更新     宝宝博客
蓝田玉PDF文档网致力于建设中国最大的PDF格式电子书的收集和下载服务!