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历届高考试题——数学



1952 年试题



数学试题分两部分


第一部分

注意:第一部分共二十题,均答在题纸上,每题的中间印着一道横 线,将正确的答案就填写在横线上.
例题:若 2x-1=x+3,则 x= 4 .
本题的正确答案是 4,所以在横线上填写 4.
1.分解因式:x4-y4= .
2.若 log102x=2log10x,问 x= .

3. 若方程式x 3 + bx 2 + cx + d = 0之三根为1,-1, 1
2


, 则c = .

4. 若

x2 ? 7 - 4 = 0, 则x = .


1 2 3
5. 4 5 0 ? .
3 2 1
  6.两个圆的半径都是 4 寸,并且一个圆通过另一圆的圆心,则这两个 圆的公共弦之长是 寸.
7.三角形△ABC 的面积是 60 平方寸,M 是 AB 的中点,N 是 AC 的中点,
则△AMN 的面积是 平方寸.
8.正十边形的一内角是 度.
9.祖冲之的圆周率π= .
10.球的面积等于大圆面积的 倍.
11.直圆锥之底之半径为 3 尺,斜高为 5 尺,则其体积为 立方
尺.
12.正多面体有 种,其名称为 .
1

13. 已知sinθ =

, 求cos2θ = .
3

14.方程式 tan2x=1 的通解为 x= .
15.太阳仰角为 30°时塔影长 5 丈,求塔高= .
  16.三角形△ABC 之 b 边为 3 寸,c 边为 4 寸,A 角为 30°,则△ABC 的 面积为 平方寸.
  17.已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-1,则此直线之方程式 为 .
  18.若原点在一圆上 ,而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式 为 .
19.原点至 3x+4y+1=0 之距离= .
20.抛物线 y2-8x+6y+17=0 之顶点之坐标为 .


第二部分

注意:第二部分共四题,均答在后面白纸上.
1.解方程式 x4+5x3-7x2-8x-12=0.

  2.△ABC 中,∠A 的外分角线与此三角形的外接圆相交于 D,求 证:BD=CD.
3. 设三角形的边长为 a=4,b=5,c=6,其对角依次为 A,B,C.(1)求
cosC.(2)求 sinC,sinB,sinA.(3)问 A,B,C 三个角各为锐角或钝角?
  4.一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点,中心为原点,长短轴重合于坐标轴, 试求其长短轴及焦点.




1952 年试题答案
第一部分
1. (x-y)(x+y)(x2+y2).
2. 2.
3. -1.
4. ±3.
5. -24
6. 4 3
7. 15.
8. 144°

22
9. ,
7

355
113


, 3.14159265.

10. 4.
11. 12π.
12. 5,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.
7

13.


14.


15.


9
1 (nπ + π).
2 4
5
3
3

16. 3.
17. x+y+1=0.
18. x2+y2-6x-8y=0
1
19.
5
20. (1,-3)




1. 2,-6,ω,ω2.
1 3

第二部分


5 1

3. cosC =

, sinC =
8 8

7 , sinB =
16

7 , sinA = 7 .
4

A,B,C 皆为锐角。
2 2 2

4. 长轴:
3

165, 短轴:
7

385

焦点: (0, ±
21

1155 ).

1953 年试题


  一、下列十题顺次解答 , 不必抄题 (但须写明题号 : 甲 , 乙 , 丙??),结果务须明确,过程可以简单。
  
甲、解 x + 1
x - 1

+ x - 1
x + 1

= 10
3

乙、若 3x2+kx+12=0 之二根相等,求 k.
3 ? 1 1

丙、求

2 4 6 之值.
7 0 5

丁、求 log 300 + log 700 + log 1之值 .

10 7

10 3 10

戊、求 tan(870°)

己、若

cos2x = 1
2

, 求x之通值.

庚、两三角形相似之条件为何?(把你所知道的都写出来) 辛、长方体之长、宽、高为 12 寸,3 寸,4 寸,求对角线之长. 壬、垂直三棱柱之高为 6 寸,底面三边之长为 3 寸,4 寸,5 寸,求体
积.
癸、球之表面积为 36π方寸,求体积.


二、解

??x 2 - 2xy+3y 2 = 9,
?
??4x 2 - 5xy+6y 2 = 30.


三、(1)化简

12 + 4 90000 + 6
25

64 .
27

(2) 求

(2x 3 + 1
x

) 12 之展开式中之常数项.

四、锐角三角形 ABC 之三高线为 AD,BE,CF,垂心为 H;求证 HD 平分
∠EDF.
  五、已知三角形的两个角为 45°及 60°,而其夹边长 1 尺;求最小边 之长及面积.




1953 年试题答案
  一、下列十题顺次解答 , 不必抄题 (但须写明题号 : 甲 , 乙 , 丙??),结果务须明确,过程可以简单。
甲、将原方程整化得 6(x2+1)=10(x2-1),故 4x2=16,x=±2.
乙、原方程二根相等之条件为 k 2 - 4 ×3×12 = 0,
即k 2 = 12 2 , k = ±12 .
丙、原行列式=3×4×5-6×7-4×7+2×5
=60-42-28+10=0.
丁、原式 = log ( 300 × 700 ×1) = log 10000 = 4 .
10 7 3 10

戊 、tan870° = tan(900° - 30°)
= tan(-30°) = -tan30°
= - 1
3

己、因

cos2x = 1 , 故2x = 2nπ± π , x = nπ± π .

2 3 6
庚、(i) ∠A=∠A′,∠B=∠B′;
(ii) ∠A=∠A′,AB∶A′B′=AC∶A′C′; (iii) AB∶A′B′=AC∶A′C′=BC∶B′C′; 三者各为△ABC—△A′B′C′之条件.
辛、对角线 = 122 + 32 + 42 寸 = 169寸 = 13寸.
壬、因 32+42=52,故底面为直角三角形,
其面积为 1 × 3×4 方寸 = 6 方寸.
2

(或用“底面积 = 1
4


(3 + 4 + 5)(3 + 4 - 5)(3 - 4 + 5)(-3 + 4 + 5)

方寸 = 6方寸”亦可)
  棱柱体积=6×6 立方寸=36 立方寸. 癸、设球的半径为 R 寸,则 4πR2=36π,∴ R=3.
球的体积为 4 πR 3 = 36π(立方寸).
3
二、解:原方程组消去常数项,得
    2x2+5xy-12y2=0 将此方程左边分解因式,得
(x+4y)(2x-3y)=0,
即 x+4y=0,2x-3y=0.
由此有


(I)??
??

x2 ? 2xy ? 3y 2 ? 9,
x ? 4y ? 0;


(II)??
??

x 2 ? 2xy ? 3y 2 ? 9,
2x ? 3y ? 0.

解方程组(Ⅰ),得
? 4 ? 4

x ? 3,
? 1 3

x ? ? 3,
? 2 3

? 1
? y1 ? ? 3;
? 3

? 1
?y2 ? 3;
? 3

解方程组(Ⅱ),得
? x 3 ? 3,
?
? y 3 ? 2;


? x 4 ? ?3,
?
? y 4 ? ?2 .

三、解:(1)原式 = 3×2


+ 4 32 ×104


+ 6 2

52 33
= 2 3 + 10 3 + 2 3
5 3
= 166 3
15
(2)由二项展开式的通项公式:
1

r
r + 1 12

(2x3 )12 -r ( ) r
x

r 12-r 36 -4r
= C12 ·2 ·x
令 36-4r=0,
∴ r=9. 故常数项为

9 ? 212? 9 ?

3 ? 23 ? 1760.

四、证明:由于 AD⊥BC,BE⊥CA,
∴ 点 A,B,D,E 共圆. 故 ∠ADE=∠ABE. 又因点 F,B,C,E 共圆,
∴ ∠FBE=∠FCE.
又因点 C,A,F,D 共圆,
∴ ∠FCA=∠FDA. 综上可得∠ADE=∠FDA, 即 AD 平分∠EDF.







五、解:已知∠B=45°,∠C=60°,于是∠A=75°. 由正弦定理得

AC
sin45°

= 1 ,
sin75°
2

? AC ? sin 45? ? 2 ?

3 ? 1(尺).

sin 75?

2 ( 3 ? 1)
2 2 2

△ABC的面积 S = 1 ×1×( 3 ? 1)·sin60°
2

= 1 (3 ?
4

3)(平方尺).

1954 年试题


  一、下列六题顺次解答,不必抄题(但须写明题号:甲,乙,丙,??). 结果务须明确,过程可以简单.
3 1 1 1
-

甲、化简

乙、解

[ (a 2 · b 2 ) -1 ·(a·b -3 ) 2 · (b 2 ) 7 ] 3
1 1
logx = loga + 2logb + logc.

6 3

丙、用二项式定理计算(3·02) 4 , 使误差小于

1 .
1000

丁、直角三角形弦上半圆的面积等于勾上半圆与股上半圆 面积之和,试证明之.
戊、已知球的半径为 r,求内接正方体的体积. 己、已知三角形的一边之长为 a ,两邻角为β 及γ ,求计算边
长 b 的计算公式.
二、描绘 y=3x2-7x-1 之图象,并按下列条件分别求 x 的值的范围: (i)y>0; (ii)y<0.
三、假设两圆互相外切,求证用连心线段为直径所作的圆必与前两圆的
外公切线相切.

四、解 1 + tgx
1 - tgx

= 1 + sin2x, 求x之通值.

  五、有一直圆锥,全面积为 a;与之同底同高之直圆柱全面积为 a′.求 该圆锥高与母线之比.




1954 年试题答案

一、下列六题顺次解答,不必抄题,结果务须明确,过程可以简单.
3 1 - 3 7 1

甲、解:原式 = (a 2

b -2 a 2 b 2 h b 2 ) 3


3 + 1


-2 - 3 + 7 1

= (a 2 2 b

2 2 ) 3
1

= (a 2 ·b 0 ) 3

2
= a 3
乙、解:原式可化为




于是有

1
logx 6

1
= loga 3 b 2 c.

1 1
x 6 = a 3 b 2 c

1

∴ x = (a 3 b 2 c) 6

= a 2 b 12 c 6 .

丙、解:由 (3.02)4=(3+0.02)4
=34+4×33×0.02+6×32×(0.02)2

+4×3×(0.02)3+(0.02)4,
  可知第 4项的值已小于 0.01,所以,计算可到第3项为止,其误差必小于 千分之一.
(3.02)4 =34+4×33×0.02+6×32×(0.02)2
=81+2.16+0.0216
=83.182
丁、证:设直角三角形的勾为 a,股为 b,弦为 c,则有
c2=a2+b2
所以弦上半圆的面积 = 1 π( c ) 2 = 1 π· c
2 2 2 4
2 2
= 1 π· a + b
2 4
= 1 π( a ) 2 + 1 π( b) 2 .
2 2 2 2
即弦上半圆面积=勾上半圆面积+股上半圆的面积.
戊、解:内接正方体的中心即该球的球心.正方体过中心的对角线为该球 的直径,故其长为 2r.若设正方体的边长为 a,则有
3a 2 = 4r 2 ,

a = 2
3


3r.

所以内接正方体的体积

V = a 3 = ( 2
3


3r)3

= 8 3r 3
9

己、解:由正弦定理可知
a
sin[180° - (β + r)]



= b ,
sinβ


∴ b =

asinβ
sin[180° - ( β + r)]

asinβ
=
sin( β + r)

二、解:将原方程变形,可得
(x - 7 )2 = 1 (y + 61 ).
6 3 12
于是, 抛物线顶点为( 7 ,? 61) (如图).
6 12
抛物线与 x 轴的交点为:

7 61
M(
6 6


,0),

N( 7 + 61 ,0),
6 6
即 M( 7 - 61 ,0),
6

N( 7 + 61 ,0).
6
当 y>0 时,x 的取值范围为:
(-∞, 7 - 61 ), (7 + 61 ,+∞).
6 6
当 y<0 时,x 的取值范围为:
( 7 - 61 , 7 + 61 ).
6 6

三、证明:设⊙O1 及⊙O2 为互相外切的二圆,其中一外公切线为 A1A2,切点
A1 及 A2(如图),令点 O 为连心线 O1O2 的中点,过 O 作 OA⊥A1A2.
∵ OA = 1 (O A + O A ) = 1 O O

2 1 1 2 2

2 1 2

∴ 以 O1O2 为直径,即以 O 为圆心,OA 为半径的圆必与直线 A1A2 相切.
同理可证,此圆必切于⊙O1 及⊙O2 的另外一条外公切线.

四、解: cosx + sinx = (cosx + sinx) 2 ,
cosx - sinx
cosx+sinx=(cosx+sinx)2(cosx-sinx), (cosx+sinx)(1-cos2x+sinx2)=0,
2(cosx+sinx)·sin2x=0,
  ∴ cosx+sinx=0,sin2x=0. 由方程 cosx+sinx=0 得,tgx=-1.
∴ x = kπ - π (k为整数).
4
由方程 sin2x=0,得
x=kπ(k 为整数).
由检验可知
x = kπ - π , x = kπ(k为整数)均为方程的通解.
4
五、解:设直圆锥的高为 h,底面半径为 R,母线长为 l,则

a = πR(R + l)
a′ 2πR(R + h)

= R + l ,
2(R + h)

∴ 2a(R+h)=a’(R+l).

由R =

l 2 - h2 , 代入可得


2a(

l 2 - h2


+ h) = a' (

l 2 - h 2 + l),


(2a - a' )
两边同乘以 l ,可得


l 2 - h 2


= a' l - 2ah.




等式两边平方,


(2a - a' )



h

h
l - (
l

h
) 2 = a' l - 2a·
l


h h

(4a 2 - 4aa'+a' 2 ) [l - (

) 2 ] = a'2 -4aa' ·

+ 4a2 (

) 2 ,

l l l
h h

(8a 2 - 4aa'+a' 2 )(

) 2 - 4aa′·
l l

+ (4aa'-4a 2 ) = 0.

这个关于 h 的一元二次方程的判别式
l
Δ = (-4aa' ) 2 - 4(8a 2 - 4aa'+a'2 )(4aa'?4a 2 )
=16a(2a-a′)3>0,
∴该一元二次方程有两个实根,解得

3

h = 4aa' ±

16a(2a - a' )

l 2(8a 2 - 4aa'+a'2 )
2aa' ±2(2a - a' ) a(2a - a' )
= .
4a 2 + (2a - a' ) 2
即为圆锥的高与母线的比.

1955 年试题


一、下列四题顺次解答,不必抄题(但须写明题号:甲,乙,丙,丁).结 果务须明确,过程可以简单.
甲、以二次方程 x2-3x-1=0 的两根的平方为两根作一二次方程. 乙、等腰三角形一腰的长是底边的 4 倍,求这三角形各角的余弦. 丙、已知正四棱锥底边的长为 a,侧棱与底面的交角为 45°,求这棱
锥的高. 丁、写出:二面角的平面角的定义.
二、求 b,c,d 的值,使多项式 x3+bx2+cx+d 适合下列三条件: (1)被 x-1 整除;
(2)被 x-3 除时余 2;
(3)被 x+2 除与被 x-2 除时余数相等.
三、由直角三角形勾上一点 D 作弦 AB 的垂线交弦于 E、股的延长线于 F、 外接圆周于 Q,求证:EQ 为 EA 与 EB 的比例中项又为 ED 与 EF 的比例中项. 四、解方程 cos2x=cosx+sinx,求 x 的通值. 五、一三角形三边的长成等差级数,其周长为 12 尺,面积为 6 平方尺,求证 这三角形为一直角三角形.




1955 年试题答案


一、甲、设方程 x2-3x-1=0 的二根为α,β, 则 α+β=3, αβ=-1.
∴ α2+β2=(α+β)2-2αβ=32-2(-1)=11
α2β2=(αβ)2=(-1)2=1
∴ 所求的二次方程为 y2-11y+1=0.
乙、设△ABC 中 AB=AC=4BC,AD 为 BC 边上的高,则各角的余弦为:
2 2 2 2 2 2

cosA = AB + AC - BC
2AB·AC
1 BC

= 16BC + 16BC - BC
2·4BC·4BC

= 31 ,
32

cosB = cosC = CD = 2 = 1 .
CA 4BC 8

丙、设 S-ABCD 为一正四棱锥,SH 为其高,底边的长 为 a,∠SAH=45°,
则 △SHA 为一等腰直角三角形,

即 SH=AH.
但 AH 为其底的对角线的一半,且其底边的长为 a,
∴ AH = a 2,
2
∴ SH = a 2.
2
丁、自二面角的棱上一点在其各面上作棱的垂线,此二垂线所夹的角叫 做该二面角的平面角.







二、解:∵x3+bx2+cx+d 可被 x-1 整除.
∴ 1+b+c+d=0; ①
∵ x3+bx2+cx+d 被 x-3 除余 2,
∴ 27+9b+3c+d=2; ②
∵ x3+bx2+cx+d 被 x+2 除与被 x-2 除时余数相等,
  ∴ -8+4b-2c+d=8+4b+2c+d, ③ 由③: c=-4.
代入①和②:
b+d=3, ④
    9b+d=-13. ⑤ 由④和⑤:
8b=-16,
b=-2, d=5.
三、证:连结 QA,QB,则∠AQB 为一直角,而 EQ 为直角三角形 AQB 弦上的高,
∴ EQ 为 EA,EB 的比例中项, 又 ∵ ∠1=∠2.(均与∠ABF 互余) ∴ △AED∽△FEB, ∴ EA∶EF=ED∶EB,
∴ EA·EB=EF·ED,
∴ EQ2=EF·ED,
即 EQ 为 ED 与 EF 的比例中项.







四、解:cos2x=cosx+sinx.
cos2x-sin2x=cosx+sinx. (cosx+sinx)(cosx-sinx-1)=0, cosx+sinx=0, ①



由①:

cosx-sinx-1=0,②
tanx = -1. ∴x = nπ - π .
4

由②:

1 cosx - 1
2 2

sinx = 1 ,
2


cos(x +

π π
) = cos ,

4 4
x + π = 2nπ± π ,
4 4
∴ x = 2nπ或2nπ - π .  
2
五、证明:设△ABC 即此三角形,CA、AB、BC 各边的长为 x 尺, (x-y)尺,(x+y)尺.
则 x+y+x+x-y=12 ①
6[6 ? ( x ? y)](6 ? x)[6 ? (x ? y)] ? 6 ②
由①得 x=4. ③
由②及③得 6(6-4-y)(6-4)(6-4+y)=36,
     12(2-y)(2+y)=36,4-y2=3,y2=1,∴y=±1, 故此三角形各边的长为 3 尺,4 尺,5 尺.
∵ 32+42=52
∴ △BAC 为一直角三角形.


1956 年试题

下列各题顺次解答,不必抄题(但须写明题号,例如:Ⅰ甲 、Ⅰ乙、Ⅱ、 Ⅲ等).
一、甲、利用对数性质,计算 lg25+lg2·lg50.
(log 是以 10 为底的对数 log10 的记号)
乙、设 m 是实数,求证方程 2x2-(4m-1)x-m2-m=0 的两 个根必定都是实数.
丙、设 M 是△ABC 的边 AC 的中点,过 M 作直线交 AB 直线于 E,过 B 作直 线平行于 ME 交 AC 直线于 F.求证△AEF 的面积等于△ABC 的面积的一半.

丁、一个三角形三边的长分别是3尺,4尺及
最大角的度数.

37尺,求这个三角形的

戊、设tan?与tan? 是方程x2 + 6x + 7 = 0的两个根, 求证
sin(? + ?) = cos(? + ? ).
二、解联立方程

?? 7
?

x ? y ? x ? y ? 12,

x2 ? y2 ? 136.

三、设P是等边三角形ABC外接圆 BC 上的一点, 求证 PA 2 ? AB 2 ? P B·P C.


四、有一四棱柱体,底面 ABCD 为菱形,∠A’AB=∠A’AD(如右图),求证平面
A’ACC’垂直于底面 ABCD.



五、若三角形的三个角成等差级数,则其中一定有一个角是 60°;若这样的 三角形的三边又成等比级数,则三个角都是 60°,试证明之.




              1956 年试题答案
一 、甲、解: ∵lg2=1-lg5,lg50=1+lg5, 原式=lg25+lg2·lg50=lg25+(1-lg5)(1+lg5)=lg25+1-lg25=1.
乙、解:方程的判别式Δ=(4m-1)2+8(m2+m)=24m2+1,
∵ m2 ≥0 ,∴Δ>0, 所以二个根全是实数.
丙、解:连 BM.
△AEF 的面积=△ABF 的面积+△BEF 的面积,
∵ BF∥MF,
∴ △BEF 的面积=△BFM 的面积,
∴ △AEF 的面积=△BAM 的面积.

∵ △BAM的面积 = 1 △ABC的面积,
2
∴ △AEF的面积 = 1 △ABC的面积.
    2


丁、解:最大角对最大边,由余弦定律得
37=32+42-2·3·4cosθ
∴ cosθ = 9 + 16 - 37 = - 1 ,
24 2
∴ θ=120°.



戊、解:tanα+tanβ=-6,tanα·tanβ=7;

∴ sin(? + ?)
cos(? + ? )

= tan(? + ?) = tan? + tan?
1 ? tan?tan?

? ?6 ? 1,
?6

∴ sin(? + ?) = cos(? + ?).


二、解:

??7 x + y ? x ? y ? 12
?
??x2 ? y2 ? 136

(1) (2)

由(1)移项得 (x + y) ? 7 x + y + 12 = 0,
即 ( x + y ? 3)( x + y ? 4) = 0,

∴ x + y = 3, 或


x + y ) = 4.

两边分别平方,x+y=9,或 x+y=16. 分别与(2)联立:

?x + y = 9,
(Ⅰ)?
?x2 ? y2 ? 136;
解方程组(Ⅰ),得
?x + y = 9 ,
(Ⅰ)?

?x + y = 16,
(Ⅱ)?
?x2 ? y2 ? 136.

?x + y = 9 ,
(Ⅱ)?

x ? y ?

191;

x ? y ? ?

191;


x = 9 + 191 ,


x = 9 ?


191 ,

? 1
?
?
? ?
?? 1


2
9 ? 191 ;
2

? 2
?
?
? ?? 2


2
? 9 + 191 ;
2

解方程组(Ⅱ)得
?x + y = 16,
(Ⅰ)?
?x ? y ? 4;
?x3 = 10,



? x + y = 16,
(Ⅱ)?
? x ? y ? ?4;
?x4 = 6,

? ? 6;

? ? 10;

综上述,共得四组解:

x = 9 + 191 ,



x = 9 ?



191 ,

? 1
?
?
? ?? 1



? 9 ?


2
191 ;
2

? 2
?
?
? ?
?? 2


2
9 + 191 ;
2

?x 3 = 10,
?
?y 2 ? 6;

? x4 = 6,
?
? y4 ? 10.

经检验,以上四组解均为原方程的解.
三、解:令 AP 与 BC 的交点是 M,
∵ ∠APB=∠ABM.
∴ △ABP∽△AMB,∴ AP·AM=AB2,(1)
∵ ∠APC=∠BPM,∠PAC=∠PBM,
∴ △ACP∽△BMP,∴AP·MP=PB·PC, (2) (1)+(2),得 AP·AM+AP·MP=AB2+PB·PC,
即 AP2=AB2+PB·PC.




四、
解: ∵AB = AD


∴AO⊥BD.

∵ ∠A'AB = ∠A'AD,
∴ △AAB≌△A'AD.

∴ A'B = A'D,

∴ A'O⊥BD,

∴ 平面A'OA⊥BD,
故 平面 A'ACC'⊥ABCD.



五、解:令三角形的三个角是 A,B,C, 由 A-B=B-C,A+B+C=180°,
得 B=60°

设三边的长为 a,aq,aq2,则长边 aq 的边所对的角即为 60°, 根据余弦定理,
(aq)2=a2+(aq2)2-2a·aq2cos60°, a2q2=a2+a2q4-a2q2.
∴ q=±1.但 q=-1 不合题意, 于是此三角形边长各为 a 因而三个角都是 60°.

    1957 年试题

试卷上不必抄题,但须写明题号,例如:Ⅰ甲、Ⅰ乙、Ⅱ、Ⅲ等.
1 2
一、甲、化简 (2 7 ) 2 ? 0.1?2 ? (2 10 )? 3 .
9 27
乙、求适合不等式 x2+x<2 的实数 x 的范围.
丙、求证:cot22° 30′ = 1 + 2 . (注)cot 是余切的符号.
   丁、在四面体 ABCD 中,AC=BD,P、Q、R、S 依次为棱 AB、BC、CD、DA 的中点.求证 PQRS 为一菱形.
   戊、设 a、b 为异面二直线,EF 为 a、b 的公垂线,α为过 EF 中点且与 a、b 平行的平面,M 为 a 上任一点,N 为 b 上任一点.求证:线段 MN 被平面α 二等分.
(注)“异面二直线”也叫“不共面二直线”.
?lg(2x +1) + lg(y ? 2) = 1
二、解方程组 ?

?10xy

? 10x ·10y

(注)lg 是以 10 为底的对数 log10 的符号.



2rcos B cos C

三、若△ABC的内切圆半径为r, 求证BC边上的高AD = 2 2 .
A
sin
2
四、若△ABC 为锐角三角形,以 BC 边为直径作圆,并从 A 作此圆的切线 AD, 与圆切于 D,又在 AB 边上取 AE 等于 AD,并过 E 作 AB 的垂线与 AC 边的延长 线交于 F,求证:
(i) AE∶AB=AC∶AF;
(ii) △ABC 的面积=△AEF 的面积.

五、求证: :方程x3 ? (

2 ? 1)x2 ? (

2 ? q)x ? q ? 0的一个根是1.设这个

方程的三个根是一个△ABC的三个内角的正弦sinA、sinB、sinC, 求A、B、C的度数及q的数值.




1957 年试题答案


1 2
一、甲、(2 7) 2 ? 0.1?2 ? (2 10 )? 3
9 27
25 1 1 1

= ( ) 2 ? ?
9 0.12


64 2



5 9
= ? 100 ?
3 16
11

( ) 3
27

= 102
48
乙、解:x2+x<2

即 (x+2)(x-1)<0
∴ -2丙、证: :cot22°30' = cot 45?
2
1
1 +
= 1 + cos45? = 2 ? 1? 2
sin45? 1
               2
丁、证:(如图)
∵ P、Q 依次为 AB、BC 的中点,
∴ PQ平行于AC且等于AC的 1 .
2
同理RS也平行于AC且等于AC的 1 .
2
∴ PQ 与 RS 平行且相等.
∴ PQRS 为一平行四边形.
又因AC = BD,PQ = 1 AC, QR = 1 BD,
2 2
∴ PQ=QR.
∴ PQRS 为一棱形.



戊、证:(如图)
过 a 作平面β与α平行,过 b 作平面γ与α平行, 则 α‖β‖γ.
设 EF 中点为 O,MN 与α的交点为 O’,
则 MO’∶O’N= EO∶OF.
∵ EO=OF,
∴ MO’= O’N,即线段 MN 被平面α二等分.


二、解:

? lg(2x +1) + lg(y - 2) = 1, ①
?
?10xy ? 10x ·10y . ②
由①得: (2x+1)(y-2)=10. ③ 由②得: xy=x+y. ④ 由③得: 2xy-4x+y-12=0. ⑤
⑤—④×2 得: -4x+y-12=-2x-2y, 整理得: 2x-3y+12=0,
∴y = 2 x ? 4 . ⑥
3
代入④得:x( 2 x ? 4) ? x ? 2 x ? 4,
3 3
即 2 x2 ? 7 x ? 4 ? 0,
3 3
即 2x2 + 7x ? 12 = 0,


?7 ?
∴ x =


49 ? 96
4


?7 ?
?
4


145 .

代入⑥得: y = 17 ?
4

145 .

∵ 145 ? 12,


∴ 当 y = 17 ?
4


145 时,y ? 2 < 0不合原题.

? ?7 ?
x =
∴ 原方程组的解为: ? 4
?y ? 17 ?
?? 4


145 ,

145 .

三、证明:(如图)
   设 O 为△ABC 的内切圆心,E 为 AB 边上的切点,连结 OB、OA 与 OE,则 OB、OA 分别平分∠B、∠A,而 OE⊥AB.
在直角三角形OEB中,BE = OEcot∠EBO = rcot B ,
2
同理可得 EA = rcot A .
2
∴ AB = AE + EB = r(cot A + cot B ).
2 2
在直角三角形 ADB 中,AD=ABsinB,

∴ AD = r(cot A
2


+ cot

B
)sinB
2

cos A sin B ? cos B sin A
= r· 2 2 2 2 ·2 sin B cos B
sin A sin B 2 2
2 2
1
sin (A ? B)
= 2r· 2 · cos B
sin A 2
2
2r cos B ? cos C
= 2 2 .
sin A
2



四、证明:(如图)
(i)设 AB 与圆交于 G,则 AG∶AD=AD∶AB.
∵AE=AD, ∴AG∶AE=AE∶AB.
连结 GC,则 GC‖EF,∴ AG∶AE=AC∶AF.
∴AE∶AB= AC∶AF.
(ii) ∵AE∶AB= AC∶AF,∴AB·AC=AE·AF.
∵△ABC 与△AEF 有公共角∠A,

∴ △ABC
△AEF

AB·AC
=
AE·AF


= 1, 

∴△ABC 的面积=△AEF 的面积.




五、解:将1代入原方程得1 ? (
故知原方程有一个根是1.

2 ? 1) ? (

2 ? q) ? q = 0,故1适合原方程,

原方程现有一根是1, 所以它的左端可以析出x - 1的因式,而得


(x ? 1)(x2 ?


2x ? q) = 0

又因这个方程的三个根是 sinA、sinB、sinC,所以这三个之中必定有一个是
1,设 sinC=1,则 C=90°.

并且sinA、sinB是方程x 2 ?

2 x ? q = 0的两个根.

由根与系数的关系知sinA + sinB = 2. ① 由于A + B = 90°, ∴sin2A + sin2 B = 1. ②
①2—②得 2sinAsinB=1. ③
②—③得 (sinA-sinB)2=0.
∴ sinA=sinB.
∴ A=B=45°.

由根与系数的关系及③知

? q = SinAsinB = 1 ,
2

1
∴ q = ? .
2

    1957 年副题

试卷上不必抄题,但须写明题号,例如:Ⅰ甲、Ⅰ乙、Ⅱ、Ⅲ等.
一、甲、方程 3x2-5x+(k+1)=0 若有实数根,k 的值应当怎样?
乙、设 a、b、c 为△ABC 的三边,已知 a2=b2+bc+C2,求 a 边的对角 A.
丙、已知线段a、b、c,求作一线段x = c b .
a
(只要求画出图形, 写出作法 , 不必证明 . )
丁、设 P 为一个 60°的二面角的平分面上任意一点,求证从 P 到二面 角的棱的距离等于从 P 到二面角的一个面的距离的两倍.
戊、已知一个直圆锥的高为 1.2 尺,其侧面积为底面积的 2 倍,问此底 面积为若干平方尺.
(答案要一位小数)

二、解方程组???
??

x 2 ? 2xy+y 2 ? 2x ? 2 y ? 15,
4 x2 ? 3y2 ? 48.

三、如图,已知 AD,BC 为梯形 ABCD 的一底,∠ABC=90°,∠ABD=α,
∠AED=β,∠BDC=γ, BE=a.求证:

AD ? a sin? sin? ,BC ?
sin(? ? ?)

a sin ? sin ?
sin(? ? ? ) cos(? ? ?)




四、一圆周被 AB 弦分为优劣两弧,C 为优弧的中点,D 为劣弧上任一点.又 E
为劣弧 AD 的中点,F 为劣弧 DB 的中点.若于 CD 弦上任取一点 P,PA 与 CE 交 于 Q,PB 与 CF 交于 R,则 QR 与 AB 平行,试证明之.
五、在已知边长为 a 的正六边形的每边上依次取 1∶2 的内分点,并顺序连
结分点作成内接正六边形.又对这个新的正六边形,用同样方法再作内接正 六边形.这样继续作了 n 次之后,则得 n 个新的正六边形,其边长依次设为 x1,x2,??,xn.
(1)求边长 x1,x2,??,xn ;
2 2 2
(2)求边长的平方和x1 + x2 ? ?? + xn;
(3)求这 n 个新正六边形面积的和.



1957 年副题答案
一、甲、由题意知Δ=25-12(k+1)≥0,
∴ 13≥12k,
∴ k≤ 13 .
12
乙、由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccosA,
又由题设知 a2=b2+c2+bc,
∴ -2bccosA=bc,
cosA = - 1 ,
2
∴ A=120°.
丙、



作法:作线段 AB=a,延长 AB 至 C,令 BC=b. 以 AC 为直径作半圆.
作 BD⊥AC,与半圆交于 D.
在 DA 连线上取 DE=c.
过 E 作 EF⊥BD,与 DC 连线交于 F,则 DF 为求作的 x. 注意:考生仅作出一图即可.
丁、证:如图,设π是二面角的一个面,P 是平分面上一点.过 P 作棱 AB
的垂直平面与 AB 交于 C 点,与平面π交于一条直线 CD.过 P 作 PD⊥CD 于 D. 则线段 PC 是 P 至 AB 的距离,PD 是 P 至π的距离.
∵ ∠DCP = 1 ·60° = 30°, △PCD是直角三角形 ,
2
∴ PC = 2PD.


戊、解:设底半径=r,
则直圆锥侧面积 = ?r (1.2)2 ? r2

直圆锥底面积=πr2.

由题设知


?r (1.2)2 ? r 2

(1.2) 2 ? r2

= 2πr 2 ,

= 2r,



∴ 底面积 = πr2 =


(1.2)2 = 3r2 .

(1.2)2
? = 1.5 平方尺.
3

二、解:原方程变形为???
??

(x ? y)2 ? 2 (x ? y ) ? 15 ? 0 ①
4 x2 ? 3y2 ? 48 ? 0 ②

由①分解因式得 x=y+5,x=y-3. 于是原方程组分为下列两个方程组:

?x ? y ? 5,
(i)?
?4x2 ? 3y2 ? 48 ? 0;
解方程组(i) ,得两组解:

? x ? y ? 3,
(ii)?
? 4x2 ? 3y2 ? 48 ? 0.



? x1
?


? 3,

? 9
?x2 ? 7 ,
?

? y1 ? ?2;


? ?? 2

? ? 26 .
7

解方程组(ii),得另两组解:

?
? x3 ?
?
?
? y ?
?? 3

?9 ? 2 57 ,
7
12 ? 2 57 ;
7

?
? x4 ?
?
?
? y ?
?? 4

?9 ? 2 57 ,
7
12 ? 2 57 .
7

三、证明:在△BDE 中,由正弦定理知
a ? BD
sin(? ? ?) sin(? ? ? )
∴ BD = asin?
sin(? ? ?)
∴ AD = BDsin?
= asin?sin?
sin(? - ?)
在 △BCD中, ∠C = ? ? (? + ? ? a)
2
?
= ? (? ? ? )
2

由正弦定理知

BC
sin?

? BD .
?
sin[ ? (? ? ?)]
2

∴ BC ?

BD sin ?
cos(? ? ?)

? a sin ? sin ? .
sin(? ? ?) cos( ? ? ?)




四、证明:连结 CA、CB,则 CA=CB.
∵ E 为 AD 弧的中点,F 为 DB 弧的中点,
∴ ∠ACE=∠ECD,∠BCF=∠FCB. 在△CAP 与△CPB 中, PQ∶QA=CP∶CA,PR∶RB=CP∶CB,
∴PQ∶QA=PR∶RB,
∴QR∥AB



五、解:(1)∵正六边形的一个内角为 2 ? ,
3
由余弦定理及题设得:

2 a 2

2a 2

a 2a

2? 7 2

x1 ? ( 3)

? ( )
3
7

? 2( )(
3

) cos
3 3

? a .
9

∴ x1 ? 3 a.
用同样方法可求得:

2 7 2

7 2 2 7

x2 ?

x1 ? ( )
9 9

a ,x2 ? a.
9

2 7 2

7 3 2 7 7

x3 ?
9
??

x2 ? ( ) a
9

,x3 ? a.
27


2 7 2


7 n 2 7

xn ? xn ?1 ? ( )
9 9

a ,xn ? a.
3n

(2) x 2 ? x 2 ? ?? ? x 2 ? 7 a 2 ? ( 7 ) 2 a2 ? ( 7 ) 3 a2 ? ?? ? ( 7 ) n a 2 .
1 2 n 9 9 9 9
根据等比级数求前 n 项的公式得:



2 2 2

7 [1 ? ( 7 )n ]
9 9 2

x1 ? x2 ? ?? ? xn ?

a
1 ? 7
9

? 7 [1 ? ( 7 )n ]a2.
2 9
(3)∵边长为x 的正六边形的面积为 3 3 x2 ,
1 2 1
∴这 n 个新正六边形面积的和为:
3 3 x2 ? 3 3 x 2 ? ?? 3 3 x 2
2 1 2 2 2 n
3 3 2 2 2
? (x ? x ? ?? ? x )
2 1 2 n
21 3 7
? [1 ? ( )n ]a2 .
4 9


1959 年试题


试卷上不必抄题,但须写明题号,例如 Ⅰ(1)、Ⅰ(2)、Ⅱ、Ⅲ等. 一、(1)已知 lg2=0.3010,lg7=0.8451,求 lg35.
(注)lg 是以 10 为底的对数的符号.
3
(2)化简 (1? i) .
1? i
(3)解不等式:2x2+5x<3. (4 求 cos165°的值.
    (5)一直圆台上底的面积为 25π平方厘米,下底的直径为 20 厘米, 母线长为 10 厘米.求这直圆台的侧面积.
(6)有三条不在同一平面内的平行线 a、b 和 c.在线 a 上取一固定 线段 AB,在线 c、b 上各任取一点 C 和 D.求证:不论 C 和 D 取在 c、b 的什么 位置上,四面体 ABCD 的体积总是不变的.










  二、三个数成等差数列,前两个数的和的三倍等于第三个数的二倍;如 果第二个数减去 2(仍当作第二项),三个数就成等比数列.求原来的三个数.
  
三、设有△ABC,已知∠B = 60°,AC边长为4,面积为
及BC两边之长.

3.求AB

四、A、B、C 是直线 L 上三点,P 是这直线外一点.已知 AB=BC=a,
∠APB=90°,∠BPC=45°.试求:(1)∠PBA 的正弦、余弦、正切;(2)线段 PB 的长;(3)P 点到直线 L 的距离.
五、延长圆 O 的两弦 AB、CD 交于圆外一点 E,过 E 点作 DA 的平行线交
CB 的延长线于点 F,自 F 点作圆 O 的切线 FG.求证 FG=FE.




1959 年试题答案

一、(1)lg35 = lg 10 ? 7
2
= lg10 + lg7 - lg2
= 1 + 0.8451 - 0.3010
= 1.5441.
(2) 解法一:


(1 - i)3
1 ? i


(1? i)4
?
2
1? 4i ? 6i2 ? 4i3 ? i4
?
2




解法二:

(1 - i)3
1 ? i

? 1 ? 4i ? 6 ? 4i ? 1 ? ?2.
2


1 ? 3i ? 3i 2 ? i3
?
1 ? i




(3)解法一:

1? 3i ? 3 ? i
?
1? i

?2 ? 2i
?
1 ? i


? ?2


移项,得

2x2+5x<3,

2x2+5x-3<0,
(2x-1)(x+3)<0.

   因为两个数的积是负数,必须并且只须这两个数中一个是正数,一个 是负数,所以从这个不等式可以得出下面两个不等式组:
   
? 2x ? 1 ? 0,
? x ? 3 ? 0;

?2x ? 1 ? 0,
?x ? 3 ? 0.

第一个不等式组没有解, 第二个不等式组的解是 ? 3 ? x ? 1 ,
2
所以原不等式的解是 ? 3 ? x ? 1 .
2

解法二:

移项,得


2x2+5x<3,

2x2+5x-3<0,

不等式两边都乘以-1,得
-2x2-5x+3>0
△=(-5)2-4·(-2)·3>0,
二次三项式 ? 2x 2 ? 5x + 3的根是 ? 3和 1 .
2
当 ? 3 < x < 1 的时候, ? 2x 2 ? 5x + 3和 ? 2异号.
2

因此,原不等式的解是 ? 3 ? x ? 1 .
2
(4)解法一:
cos165° = cos(180? -15° )
= -cos15°
= -cos(45°-30°)
= -(cos45? cos30?+sin45? sin30? )


= -( 1 · 3 ?
2 2


1 · 1 )
2 2

3 ? 1 6 ? 2
= - ? ? .


解法二:

2 2 4

cos165? = cos(180°-15°)
= -cos15° = - cos 30?
2

3
1?

= - 1 ? cos 30? = -
2

2 ? -
2

6 ? 2 .
4



(5)圆台侧面积 S=πL(R+r),其中 L 为母线,r、R 分别为上,下底的半径.
上底面积=πr2=25π ∴r=5(厘米) 下底半径 R=20/2(厘米)=10(厘米)
母线 l=10(厘米)
∴ 这圆台侧面积 S=πL(R+r)
=π·10·(10+5)
=150π(厘米 2)
(6)△ABD 当四面体 ABCD 的底(如图)作底上的高 CO.
∵ a∥b
∴ 无论 D 在 b 上什么位置,
△ABD 的面积总不变.
∵ a∥b∴a,b 决定一平面.
∵ c∥a,c∥b.
∴ c 平行于 a,b 所决定的平面.
∴ 无论 C 点在 c 的什么位置,高 CO 的高度总不变.
四面体的体积等于 1 ×高×底面积,
3
因之,无论 C,D 在 c,b 上什么位置,其体积总不变.





二、设成等差数列的三个数是 x-y、x、x+y,依据题中条件,

?3[(x - y) + x] = 2(x + y),
列出方程组:?

(1)

?(x ? 2)2 ? (x ? y)(x ? y). (2)
化简(1)和(2),得:

? 4x ? 5x,
?
? y2 ? 4x ? 4 ? 0.
将(3)代入(4),得:
y2-5y+4=0,
(y-1)(y-4)=0 故 y1=1,y2=4
5

(3) (4)

将y1与y 2 的值代入(3),得:

x1 ?

,x 2 ? 5
4

? 5
故 ? 1 ? 4 ,


?x 2
?

? 5,

? ? 1;

?y 2 ? 4 .

又 x - y = 1 , x + y = 9 ;x - y = 1, x + y = 9 .

1 1 4 1 1 4

2 2 2 2

答:所求的三个数是 1 , 5 , 9 或1,5,9 .
4 4 4
三、设 AB 及 BC 两边之长为 x 及 y,则有
x2+y2-2xycos60°=42
1 xysin60° = 3.
2
代入 cos60°及 sin60°的值,得到:
x2+y2-xy=16
xy=4
化简,得到: x2+y2=20 (1) 2xy=8 (2) (1)+(2),得: (x+y)2=28, (3) (1)-(2),得: (x-y)2=12 (4)
由(3)得
由(4)得

x + y = 2 7,
x - y = ±2 3.

(5)

(6)

(5) + (6), 得:
(5) - (6), 得:

x = 7 ? 3,
y = 7 ? 3,

答:AB之长为 7 ?

3,BC之长为 7 ? 3.




四、解法一:令∠PBA=θ
PB = x, P点到直线L的距离为h.

由△APB 知 x=acosθ, (1)

由△BPC知

a
sin 45?

? x
sin(? ? 45? )


(2)

从(1),(2)消去x,得:

a
sin 45?

? a cos? ,
sin( ? ? 45? )

2 ( sinθcos45?? cos? sin 45? ) = cosθ, sin? ? cos ? ? cos ?
              sinθ = 2cos θ
故 tgθ = 2


θ是锐角,所以


sin? ?

2 ,cos ? ? 1
5 5

于是 x ? a cos? ?

a , h ? x sin? ? 2 a.
5 5

答:(1) ∠PBA的正弦, 余弦及正切分别是

2 , 1
5 5

,2.

(2) PB的长是 a ;
5
(3) P到 L的距离为 2 a.
5
解法二:由(2)得
asin(? ? 45? )
x =
sin45?
= a 2 (sinθcos45?? cosθsin45°)
= asinθ ? acosθ. (3)
由(1),并因θ是锐角, 得


sinθ = a

代(1),(4)入(3),得


? x2
a



(4)



由此得

x = a2 ? x2 ? x

5x2 = a2 ,
a

x =
5
于是 cosθ = x =
a



1 ,sinθ = 2 ,
5 5
2

tg? ? 2,h = xsinθ = a.
5

五、证明:∵EF∥DA,
∴∠FEB=∠BAD,而∠BAD=∠BCD,
∴∠FEB=∠BCD,又∠EFB=∠EFC
∴△EFB∽△CFE 因此,FE:FC=FB:FE, 即 FE2=FB·FC.
∵FG 是圆 O 的切线,FBC 的圆 O 的割线,
∴FG2=FB·FC
∴FG2=FE2
即 FG=FE.


1960 年试题
  试卷上不必抄题,但须写明题号,例如Ⅰ(1)、Ⅰ(2)、Ⅱ、Ⅲ等. 一、
  
(1) 解方程

2x 2 - 5 - 5x - 7 = 0.(限定在实数范围内)

  (2)有 5 组篮球队,每组 6 队.首先每组中各队进行单循环比赛(即每两 队比赛一次),
然后各组的冠军再进行单循环比赛.问先后共比赛多少次? (3)求证等比数列的各项的对数组成等差数列.(这里所说的等比数列
的各项都是正数)


(4) 求使等式

x x
1 - sin 2 = cos
2 2


成立的x值的范围.(x是0°到720°的角)



(5)如图,用钢珠测量机件上一小孔的直径.所用钢珠的中心是 O,直径
是 12 毫米.将钢珠放在这小孔上,测得钢珠上端 D 到机件平面的距离 CD 是9 毫米.求这小孔的直径 AB 的长.










(6)四棱锥 P—ABCD 的底面是一正方形.PA 与底面垂直.已知 PA 是 3 厘 米,P 点到 BC 的距离是 5 厘米.求 PC 的长.
二、有一直圆柱,高是 20 厘米,底面半径是 5 厘米.它的一个内接长方体的
体积是 800 立方厘米.求这长方体的底面的长和宽.
三、从一船上看到在它的南 30°东的海面上有一灯塔.船以 30/小时的速 度向正东南方向航行半小时后,看到这个灯塔在船的正西方.问这时船与灯 塔的距离是多少?(精确到 0.1) 四、要在墙上开一矩形的大玻璃窗,周长限定为 6 米.
(i)求以矩形的一条边长(x)表示窗户的面积(y)的函数式;
(ii)求这函数图象的顶点的坐标、对称轴的方程; (iii)画出这函数的图象,并求出的 x 的允许值的范围.
五、下列(1)、(2)两题选作一题.
(1)已知方程 2x2-x·4sinθ+3cosθ=0 的两个根相等,且θ为锐角,求
θ和这个方程的两个根.
(2)a 是什么实数的时候,下列方程组的解是正数:
?2x + ay = 4 ,
?
? x + 4y = 8.


1960 年试题答案
一、

解: (1) 2x2 - 5 - 5x - 7 = 0,
   2x 2 - 5 = 5x - 7,
2x2-5=5x-7,
2x2-5x+2=0,
(2x-1)(x-2)=0,
∴x = 1 或2
2
∵ 1 使原方程无意义, 舍去.
2
∴x=2
(2) 解:5c 2 + c2 = 5× 6·5 + 5·4

6 5 1·2
=75+10=85

1·2

答:共比赛 85 次. (3)证明:设等比数列为 a,aq,aq2,?,aqn-1 则各项的对数依次为
loga,logaq,logaq2,?,logaqn-1,
即 loga,loga+logq,loga+2logq,?,loga+(n-1)logq,
∴上面的数列是以 loga 为首项,logq 为公差的等差数列.
(4) 解: 根据算术根的定义, cos x ≥0,
2
 ∴0°≤ x ≤90°和270°≤ x ≤360°,
2 2
即 0°≤x≤180°和 540°≤x≤720° (5)解法一:
设 AB 为 x 毫米,
则AC = x 毫米.
2
又直径 DE=12 毫米 CD=9 毫米
∴CE=12-9=3 毫米
∵AC2=DC·CE,
∴( x )2 = 9 ×3,
2
∴x2=9×3×4
∴x = 6 3(取正值)
答: 小孔的直径是6 3毫米.


解法二:
设 AB 为 x 毫米,
则AC = x 毫米.
2
又 CD=9 毫米,半径 OD=6 毫米,
∴OC=9-6=3(毫米) 连结 OA,则 OA=6 毫米
在直角三角形 OAC 中,OA2=OC2+AC2
即62 = 32 + ( x )2
2
x = 27,   ∴x = 6 3(取正值)
4
答: 小孔的直径是6 3毫米.
(6)解:∵PA⊥平面 ABCD, 又 AB⊥BC,
∴PB⊥BC,即 PB=5 厘米
又 PA=3 厘米,
因此 AB=BC=4 厘米
∴PC = PB 2 + BC 2
   = 52 + 4 2
   = 41( 厘米)

答: PC是

41厘米.


二、
解:设底面的长和宽分别是 x 厘米和 y 厘米,则
?? x2 + y2 = 102 ,
?
??20xy = 800.
上方程组可变形为
?? x2 + y2 = 100,
?
??2xy = 80.
解这个方程组,得


分别解下面的两个方程组:

??x + y = 6 5,
 ?

??
  ?


x + y = 6 5,

x - y = 2 5,

, x - y = -2 5

就得出:


??x1 = 4 5,
?
??y1 = 2 5;


??
    ?
??


x2 = 2 5
y2 = 4 5.


三、
解法一:如图,A 是原来船的位置,B 是灯塔,C 是航行半小时后船的位置.











= 15(sin45°cos30° - cos45°sin30°)
sin60°


15×

2 3 1
( - )

= 2 2 2
3
2
5 2 (3 - 3)
=
2
       =4.5() 答:船与灯塔的距离是 4.5.











解法二:如图,过 A 引 CB 的垂线与 CB 的延长线交于 D 点.


△ADB中, DB = DAtg30° = 15 2 ×

3 = 5 6 ,


∴BC = DC - DB

2 3 2


15 2 5 6
   = -
2 2
5(3 2 - 6)
   =
2
=4.5( )
答:船与灯塔的距离是 4.5.











四、
解:(i)y=(3-x)x=-x2+3x.















x 的允许值的范围:0






五、
(1)解:△=16sin2θ-24cosθ=0, 即 2sin2θ-3cosθ=0.
由 sin2θ=1-cos2θ,上方程可变形为
2cos2θ+3cosθ-2=0, (2cosθ-1)(cosθ+2)=0, cosθ+2=0,无解.
由 2cosθ-1=0,得
cosθ = 1 .
2

∵θ为锐角,∴θ=60°
∴x = 4sin60° = sin60° = 3
4 2
答: θ是60°, 方程的两个根都是 3
2

(2) 解:???
??

2x + ay = 4        ①
x + 4y = 8         ②

②×2-①:(8-a)y=12, 当 a≠8 时,

y = 12
8 - a

             ③

把③代入②中,得
x = 16 - 8a = 8(2 - a) .

8 - a

8 - a

要使 y 是正数,必须并且只须 8-a>0,由此要使 x 是正数,必须并且只须
2-a>0.解不等式组
?8 - a > 0,
?2 - a > 0,
得 a<2
因此,当 a<2 的时候,原方程组的解是正数.

1961 年试题
 试卷上不必抄题,但须写明题号,例如Ⅰ(1)、Ⅰ(2)、Ⅱ、Ⅲ等. 一、(1)求(2-x)10 展开式里 x7 的系数.
(2)解方程:2lgx=lg(x+12).(注:lg 是以 10 为底的对数的符号.)
(3) 求函数y = x - 1 的自变量x的允许值的范围.
x - 5

(4) 求sin ?
12

sin 5? 的值.
12

   (5)一个水平放着的圆柱形排水管,内半径是 12 厘米.排水管的圆截 面上被水淹没部分的弧含有 150°(如图).求这个截面上有水部分的面 积.(取π=3.14.)









   (6)已知△ABC 的一边 BC 在平面 N 内,△ABC 所在的平面与平面 N 组 成二面角 a(a<90°).从 A 点作平面 N 的垂线 AA',A'是垂足.设△ABC 的 面积是 S,求证△A'BC 的面积是 Scosa. 二、一个机器制造厂的三年生产计划,每年比上一年增产机器的台数相同. 如果第三年比原计划多生产1千台,那末每年比上一年增长的百分数就相同, 而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半,原计划每年 各生产机器多少台?
三、有一块圆环形的铁皮,它的内半径是 45 厘米,外半径是 75 厘米.用它
的五分之一(如图中的阴影部分),作圆台形水桶的侧面,这个水桶的容积是 多少立方厘米?
四、在平地上有 A、B 两点.A 在山的正东.B 在山的东南,且在 A 的西 65
°南 300 米的地方.在 A 测得山顶的仰角是 30°,求山高.(sin70°=0.940. 精确到 10 米.)








五、下面甲、乙两题,选作一题.
甲、k 是什么实数的时候,方程 x2-2(k+3)x+3k2+1=0 有实数根? 乙、设方程 8x2-(8sina)x+2+cos2a=0 的两个根相等,求 a.




1961 年试题答案

一、(1)解:在这个展开式里含有 x7 的项是第八项.它的系数是
7 7 3
C10 (-1) ·2
3
= - C10 ·8
= - 10·9·8 ·8
1·2·3
   =-960. (2)解:2lgx=lg(x+12), lgx2=lg(x+12),
∴x2=x+12,x2-x-12=0,
(x-4)(x+3)=0,
∴x1=4,x2=-3.
 当 x=-3 时,lgx 没有意义,舍去;x=4 为原方程的解. (3)解:根据根式的定义,x-1≥0,∴x≥1; 又根据分母不能为零,x-5≠0,∴x≠5.
所以自变量 x 的允许值的范围是 x≥1,但 x≠5.

?
(4) 解法一:sin
12

5?
sin
12

     = sin ?
12

cos ?
12

     =

1 ?
sin
2 6

     = 1 · 1
2 2
     = 1 .
4

解法二: sin ?
12

sin 5?
12

    = 1 (cos ? - cos ? )
2 3 2
    = 1 ( 1 - 0)

2 2
    = 1 .
4






1 - cos ?






1 - 3

?
解法三:sin =
12

6 =
2

1
= 2 - 3 ,
2 2



   sin 5? =
12


1 - cos 5?
6 =
2


1 + 3
2 = 1
2 2




2 + 3 ,


 ∴ sin

? sin 5? = 1

2 - 3 · 1 2 + 3 = 1 .

12
(5)解法一:

12 2 2 4

弧ACB的长是12× 5?
6


= 10? (厘米),

扇形O - ACB的面积 = 1 ×12×10?
2

        

= 60? ( 平方厘米),

△OAB的面积 = 1 ×12 2 ×sin150°
2
       = 36(平方厘米).
∴截面上有水部分的面积=60π-36
=60×3.14-36=152.4(平方厘米).
解法二:
扇形O - ACB的面积 = 150 ×?×122 = 60? (平方厘米),
360
△OAB的面积 = 1 ×122 ×sin150° = 36(平方厘米).
2
∴ 截面上有水部分的面积=60π-36
=60×3.14-36=152.4(平方厘米).









(6)证明:

∴△A' BC的面积 = 1 BC·A ' D
2
         = 1 BC·ADcos?
2
         = Scos?.

二、 解法一:
设原计划第一、二、三年生产机器的千台数分别为 x,x+y,x+2y.依题意,

得方程组:
? (x + y) - x = (x + 2y + 1) - (x + y) ,
? x x + y
?
? x + 2y + 1 = 1 [x + (x + y) + (x + 2y)].
?? 2
这个方程组经过变形后,得方程组:
? y2 - x = 0,
?
? x - y - 2 = 0.
解这个方程组,得

? x1 = 4,
?
? y1 = 2;

     ?x 2 = 1,
?y 2 = -1.

由第一组解,得 x=4,x+y=6,x+2y=8. 第二组解不合题意,舍去.
答:原计划第一、二、三年各生产机器 4 千台、6 千台、8 千台.
解法二:
  设原计划第一、二、三年生产机器的千台数为别为 x-y,x,x+y.依题意, 得方程组:
? x 2 = (x - y)(x + y + 1),
?
? 1
? x + y + 1 = [(x - y) + x + (x + y)].
? 2
这个方程组经过变形后,得方程组:
? y2 + y - x = 0,
?
? x - 2y - 2 = 0.
解这个方程组,得

? x1 = 6,
?
? y1 = 2;

    ? x 2 = 0,
? y 2 = -1.

由第一组解,得 x-y=4,x=6,x+y=8. 第二组解不合题意,舍去.
答:原计划第一、二、三年各生产机器 4 千台、6 千台、8 千台.
三、 解:
水桶上口的半径 = 1 ×75 = 15(厘米),
5
水桶下底的半径 = 1 ×45 = 9(厘米),
5
水桶的斜高 = 75 - 45 = 30(厘米),
水桶的高 = 30 2 - (15 - 9) 2
     = 12 6 (厘米),

∴ 水桶的容积 = 1 ·12 6? (152 + 92 + 15×9)
3
= 1764 6? ( 立方厘米).
答: 水桶的容积是1764 6?立方厘米.








四、
解:如图,CD 为山的高.
在△ABC 中,∠ACB=45°,∠CAB=65°,
∴∠ABC=180°-(45°+65°)=70°; 又 AB=300(米)
∴AC = ABsin70°
sin45°
   = 300sin70°
2
2
   = 300 2sin70°(米).
在直角三角形 ACD 中,∠CAD=30°,
CD = ACtg30°

  = 300 2sin70°· 3
3
  = 100 6 sin70°
=100×2.45×0.940
  =230(米) 答:山高是 230 米









五、
甲、解法一:当这个方程的判别式Δ=0 或者Δ>0 的时候,原方程有实数根. (k+3)2-(3k2+1)
     =-2k2+6k+8. 解 -2k2+6k+8=0,
即 k2-3k-4=0,
得 k=-1 或者 k=4. 解 -2k2+6k+8>0,

即 -k2+3k+4>0, 得 -1所以在-1≤k≤4 的时候,原方程有实数根.
解法二:
这个方程有实数根的条件是: (k+3)2-(3k2+1)≥0
化简得:
-k2+3k+4≥0, k2-3k-4≤0,
(k+1)(k-4)≤0,
∴-1≤k≤4 的时候,方程有实数根. 乙、解:因为方程的两个根相等,所以 (8sina)2-4·8(2+cos2a)=0.
化简:
2sin2a-(2+cos2a)=0,
2sin2a-(3-2sin2a)=0,
4sin2a-3=0.
∴ sin? = ± 3 .
2
3 n ?
由 sin? = , 得? = n? + (-1) ; (n为整数)
2 3
3 n ?
由 sin? = - , 得? = n? - (-1) .(n为整数)
2 3
∴ ? = n?± ? .(n为整数)
3

        1962 年试题

试卷上不必抄题,但须写明题号,例如 1,5(1)等
  1.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长 21%.问平均每年比上一年 增长百分之几?又第一年的产量是第三年的产量的百分之几?(精确到 1%)
2.求(1-2i)5 的实部.
3.解方程:log(x-5)+log(x+3)-2log2=log(2x-9).

4. 求

sin(2arcsin 4 )的值.
5

5.求证:(1)圆内接平行四边形是矩形; (2)圆外切平行四边形是菱形.
6.解方程组:
? y2 - 4x - 2y + 1 = 0,
?
? y = x + a.
并讨论:a 取哪些实数值时,这个方程组 (1) 有不同的两组实数解;
(2) 有相同的两组实数解;
(3) 没有实数解.
7.如图,ABCD 和 A?B?C?D?都是正方形,而 A?、B?、C?、D?顺次分 AB、BC、CD、
DA 成 m:n,并设 AB=1.
(1) 求正方形 A?B?C?D?的面积;
(2) 证明: 正方形A ? B? C? D? 的面积不小于 1 .
2









8.D 是△ABC 内的一点,已知
AB=AC=1, ∠CAB=63°,
∠DAB=33°, ∠DBA=27°,
求 CD.(sin27°=0.4540.最后结果计算到小数点后两位.)
9.由正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作这个正方体的对角线 A1C 的垂线,
垂足为 E.证明:



(要求画图)

A1E:EC=1:2.

10.求证:两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内.




1962 年试题答案
1.解(1)设每年平均增长 x%,则

   (1 + x
100

) 2 = 121 ,
100

故  1 + x
100

= 11 ,
10

∴ x=10. 答:每年平均增长 10%.
(2) 1÷ 121 = 100 ≈0.83.

100

121

答:第一年产量是第三年的 83%.
2. 解∵(1- 2i)5 = 1 - C1 2i + C 2 (2i)2 - C 3 (2i) 3 + C4 (2i) 4 - (2i)5 ,
5 5 5 5
∴(1-2i)5 的实部是
1+10(2i)2+5(2i)4=1-40+80=41.
3.解原方程可以写成
log (x - 5)(x + 3) = log(2x - 9),
4
或者 (x-5)(x+3)=4(2x-9). 化简,得 x2-10x+21=0,
或 (x-3)(x-7)=0.
∴ x1=3,x2=7.
   当 x=3 时,x-5<0,而 log(x-5)无意义,所以 3 不是原方程的解,经检 验,x=7 是原方程的解.
4. 解设arc sin 4 = a(0 < a < ? ),

5
 则   sina = 4 ,
5

2




4 2 3

     cosa = 1 - ( ) = .
5 5
4

 ∴sin(2arc sin

) = sin2a
5

        = 2sinacosa
        = 2· 4 · 3 = 24 .
5 5 25
5.证明(1)设 ABCD 为圆内接平行四边形,因为平行四边形的对角相等, 所以
   ∠A=∠C. 又因圆内接四边形的对角互补,得
∠A+∠C=180°,
∴ ∠A=∠C=90°,
∴ ABCD 是矩形.


     (2)设平行四边形 ABCD 切圆于 E、F、G、H(如图),则因从圆外一 点所作的两条切线等长,得
?AE = AH,
? BE = BF,
?CG = CF,
DG = DH.
四式相加,得 AB+CD=AD+BC.
又因平行四边形的对边相等,得 AB=CD, AD=BC.
∴ AB=BC
∴ ABCD 是菱形.


6.解:



? y 2 - 4x - 2y + 1 = 0,
?


       (1)

? y = x + a.            (2)
由(2), x=y-a, (3) 代入(1),得
y2-4(y-a)-2y+1=0,

y2-6y+4a+1=0.

∴  y = 3±

9 - (4a + 1)

   

= 3±2 2 - a

代入(3),得
x = 3 - a±2 2 - a
方程组的解为:





讨论:

?? x1 = 3 - a + 2 2 - a ,
?
?? y1 = 3 + 2 2 - a ;

    ??
??


x 2 = 3 - a - 2 2 - a , y 2 = 3 - 2 2 - a.

(1)当 a<2 时,方程组有不同的两组实数解; (2)当 a=2 时,方程组有相同的两组实数解; (3)当 a>2 时,方程组没有实数解.
7.解:(1)由于 AB=1,AA?:A?B=m:n,得知

AA' = m
m + n

,    A' B = n .
m + n

又知 BA?B?为直角三角形,

∴A' B' = A' B2 + B' B2

= A ' B 2 + A' A 2


    


= m + n
(m + n)2

故正方形 A?B?C?D?的面积为
A? B?2 = m + n
(m + n) 2 .
2 2

(2) 证明    m + n
(m + n) n
2 2

≥ 1 .
2
2 2 2 2

 ∵ m + n

- 1 = 2(m + n ) - (m + n)

= (m - n)

≥0,

(m + n) 2
m 2 + n2
 ∴
(m + n) 2

2
≥ 1 .
2

2(m + n) 2

2(m + n) 2


8.解:在△ABD 内,
∠BDA = 180° - 33° - 27° = 120°,
故根据正弦定理,

AD
sin27°

= 1 ,
sin120°

  AD = 2
3


sin27°.

又 ∠DAC=63°-33°=30°, 故根据余弦定理,在△ADC 内, CD2=1+AD2-2ADcos30°
= 1 + 4 sin 2 27° - 2sin27°
3
= 1 + 2sin27°( 2 sin27° - 1)
3
=1+0.9080×(0.3027-1)
=1-0.9080×0.6973
=1-0.6331
=0.3669.
∴ CD=0.60.


9.证明;
作 AC,则 A1A⊥AC.
故△A1AC 为直角三角形.
设正方体的棱长为 1,则
AC = 2.
在直角三角形 A1AC 中,AE⊥A1C,
∴A1A2=A1E·A1C, 即 1=AE·A1C.
同理,AC2=EC·A1C, 即 2=EC·A1C.
由此得 A1E:EC=1:2.

  10.证明:在这四条直线中,任取两条直线 a、b,设其交点为 P.因为四条 直线不通过同一点,所以在另外两条直线中,至少有一条直线 c 不通过P,直线
c 必与 a、b 分别交于不同的两点.因此,c 必在 a、b 所决定的平面内.
第四条直线 d 与 a、b、c 至少交于两个不同的点,所以 d 也在 a、b 所决 定的平面内.

1963 年试题



1. 已知tgθ = 2 , 求

cosθ + sinθ
cosθ - sinθ

的值.

2. (1) 求出复数1 + 3i的模数和辐角.
(2) 在直角坐标系XOY所在的平面内, 以A点表示复数1 + 3i,
把 OA 绕着 O 点按反时针方向旋转 150°,设 A 点到达的位置为 B,写出 B 点所表示的复数的代数式.
3.如图,AB 为半圆的直径,CD⊥AB.已知 AB=1,AC:CB=4:1,求 CD.

  4.从二面角内任意一点向二面角的两个面作垂线,求证这两条垂线所 决定的平面垂直于二面角的棱.(要求画图)
5.利用下列常用对数表,计算 23.28-1.1

对数表
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784 2 4 6 7 9 11 13 15 17 24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962 2 4 5 7 9 11 12 14 16 25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133 2 3 5 7 9 10 12 14 15 反对数表
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .48 3020 3027 3034 3041 3048 3055 3062 3069 3076 3083 1 1 2 3 4 4 5 6 6 .49 3090 3097 3105 3112 3119 3126 3133 3141 3148 3155 1 1 2 3 4 4 5 6 6 .50 3162 3170 3177 3184 3192 3199 3206 3214 3221 3228 1 1 2 3 4 4 5 6 7



6.解方程:sin3x-sinx+cos2x=0.
7.用 1,2,3,4,7,9 组成没有重复数字的五位数,问; (1)这样的五位数一共有多少个? (2)在这些五位数中,有多少个是偶数? (3)在这些五位数中,有多少个是 3 的倍数?

??
8.解方程组: ?
??

x2 - 2xy - y2 = 1,

xy + 3 = x

(限定在实数范围内)
9.如图,线段 CD 与⊙O 相交于 A、B 两点,且 AC=BD, 又 CE、DF 分别与⊙O 相切于 E、F. 求证:△OEC≌△OFD.
历届高考试题——数学的下一页
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