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物理学基本概念和基本定律溯源






  在教学中引入历史,和专门研究历史是不同的。专门研究历史,要求 对史料作详细的考证工作;物理课程中引用史料,则是为教学目的服务的。 在课程中讲述一些物理思想的发展过程,穿插一些掌故轶事,对提高教学 质量,并结合课程内容进行一些有关的思想教育,都是大有好处的。但做 的时候不能喧宾夺主,而应烘云托月。这个“月”便是课程中要讲授的物 理原理和物理概念,特别是本课中的那些重点和难点。个体认识活动的逻 辑过程与认识发展的历史过程,就其总体和梗概而言,是一致的。教学中 学生的难点,往往也是物理学发展史上长期未能克服的困难。历史上物理 大师们与之辩论和斗争的错误观点,往往仍保留在我们今天学生的概念之 中。认识上的曲折和反复,正可反衬出正确理解物理概念的重要。物理学 史中关键性的突破和前辈物理学家伟大贡献的精髓,也正是物理教学的重 点。围绕这些问题倒不妨着意点染,利用历史资料把中心问题衬托出来, 有时会收到意想不到的良好效果。
  向义和先生的这本《物理学基本概念与基本定律溯源》由 14 篇论文组 成,其中属于经典物理部分的 9 篇,属于近代物理部分的 5 篇,基本上包 括了普通物理学中的重要课题。每篇论文构成一个独立的主题,回答一个 物理定律是怎样得到的,或一个物理概念的思路是怎样发展而来的。与编 年史或分期史相比,这种编排更便于读者了解各个物理原理发展的来龙去 脉,特别有助于教师将物理学史的材料运用到物理教学中去,有利于学生 更生动、更深刻地理解物理概念的内容实质,受到科学方法论的启迪和世 界观的教育。愿这本书的出版将在我们的物理教学方面起到积极的推进作 用。
赵凯华
1992 年 8 月

前 言


《物理学基本概念与基本定律溯源》是部大学物理教学参考书。 本书以一系列论文式的专题组成其独特的体系,不同于单纯的概述性
体系。每篇论文构成一个独立的主题。陈述某一物理学概念是怎样形成的, 某一物理学定律是怎样得来的,或者某一物理学理论是怎样建立的。全书 所选的 14 个主题均是高等院校普通物理学课程中的重点内容,包括力、 热、电、光与近代物理等各个部分。作者从物理学史的角度,对这些概念 的起源和定律的建立作了论述。
  物理学中一些基本概念都有一个形成过程。例如能量是个守恒量这一 概念就是人们对自然界各种运动形式相互转化长期认识的结果,从机械能 守恒到得出能量守恒与转化定律其间经历了大约 150 年的时间。在这些概 念的形成过程中,包含了大量丰富多彩的内容。但是现有的物理学教材基 本上是按演绎法编写的,能量概念是从推导动能定理中引进的,舍弃了历 史发展过程中那些生动具体的细节,内容较为枯燥。本书从掌握概念的需 要出发,对教学中一些重要而又难于理解的概念,如“熵”、“感生电场”、 “位移电流”、“同时性的相对性”、“波粒二象性”等等,着力揭示它 们的孕育和发展的历史脉络,使学生对其物理实质有较深入的理解。
在物理学概念形成的过程中曾经有过曲折与反复、分歧与斗争、停滞
与突破。把这些过程介绍给学生,可使学生有身临其境的参与感,而且从 正反两方面的对比中更能加深对概念的理解。例如力学和电学中超距作用 和近距作用之争;热学中热的运动说和热质论之争:光学中波动说和粒子 说之争;近代物理中在对波函数的物理解释上爱因斯坦与哥本哈根学派之 争等。在现有的物理教材中往往缺乏这些两种物理学说论战史的介绍,常 会造成一种物理学中无矛盾的假象,使学生难于从理性思维的高度把握本 门学科的发展,也难于启发学生创造性的思维能力。本书力图弥补教材的 这种不足。
本书以物理学家的原始论文为依据,在介绍物理定律建立的过程中,
努力揭示物理学家的研究思路、创造性工作的特点以及所运用的研究方 法,使学生可以从中受到丰富的科学方法论的教益与启迪。例如在发现万 有引力定律的过程中,牛顿所采用的抽象简化、建立理想模型的方法就起 了非常重要的作用。我们知道宇宙系统是一个多元的复杂系统,每个星体 都是一个引力中心,都有一定的形状和大小,每个行星既不完全在椭圆上 运动,也不在同一轨道上旋转两次,正如牛顿所说:“同时考虑所有这些 运动之起因,是整个人类智力所不能胜任的。”牛顿采用简化模型的方法: 从圆运动到椭圆运动;从质点到球体;从单体问题到两体问题。每次将他 的理想模型与实际比较,再适当加以修正,最后使物理模型与物理世界基 本符合。现有的物理教材所强调的是逻辑推理方法,对于在实际的科学发 现中物理学家所使用的创造性思维方法,如物理类比、理想模型、理想实 验、科学想像、科学直觉、试探猜测等等,都很少介绍,这就不利于发展 学生的能力和培养开创性的人材。
  全部物理学史告诉我们,新的物理概念和物理观念的确立是人类认识 史上的一个飞跃,只有冲破旧的传统观念的束缚才能得以问世。例如,普 朗克的能量子假设是在突破了“能量连续变化”的传统观念的基础上建立
  
的。同样,狭义相对论也是爱因斯坦在突破了传统的时空观念束缚的基础 上建立的。这个思想发展的历程并不是一帆风顺的,而是经过不少思想上 的曲折、困惑、疑虑、矛盾斗争,有时甚至动摇退却。在现有的物理教材 中一般只把这一认识的结果,又是经过后人多次消化了的材料介绍给学 生,使学生较难体会到科学工作者正确的科学观与世界观、科学素质与革 命气质对科学发展的重要作用。本书努力于揭示物理学家这一心理发展过 程,使读者从他们的成功与失败的经验教训中获得启示与鉴戒。
  在编写本书的过程中得到了我校物理系教授张三慧、秦明华、徐亦庄、 张泽瑜和副教授王以炳的热情帮助和具体指导,他们分别审阅了部分论文 初稿,并提出了中肯的意见。国内物理史学界邹延肃、申先甲、杨福征等 先生审阅了本书的初稿并提出了宝贵的意见。复旦大学物理系 85 年举办的 量子物理史讲习班以及他们提供的参考资料对本书的编写也有不少帮助, 作者在此一并表示衷心的感谢。
向义和
1992.7

一、万有引力定律的建立


  万有引力定律的建立是牛顿“从运动现象研究自然力”的一个最辉煌 的范例。本文将依据牛顿在各个时期写的手稿与论著,探讨牛顿论证的特 色以及牛顿引力思想的发展过程,以期回答下述问题:牛顿是怎样从开普 勒的行星运动规律和他的“离心力”公式推导出引力的平方反比律的?是 如何解决椭圆轨道上运动物体的引力以及球体引力的问题?是怎样依据天 文观测结果对引力定律进行实验验证的?

(一)开普勒定律的建立及引力思想的萌芽
  开普勒定律描述了行星绕太阳运动的规律。它不仅使得人们有可能比 较详细地进一步研究行星运动的“运动学”问题,而且还有利于研究行星 运动的“动力学”问题。它为万有引力定律的建立奠定了基础。
约翰内斯·开普勒(Johannes Kepler, 1571—1630)是德国天文学家。
1587 年,他进入杜宾根大学。在大学期间,他受到热心宣传哥白尼学说的 天文学教授麦斯特林(M?stlin)的影响,成为日心说的忠实维护者。1591 年获文学硕士学位,后曾当路德教派牧师而学神学。1594 年,他得到大学 的有力推荐,中止了神学课程,去奥地利格拉茨的路德派高级中学任数学 教师并开始研究天文学。[1]
开普勒是一个深受毕达哥拉斯影响的数学家,他深信上帝是依照完美
的数的原则创造世界的,他以数学的和谐性来解释哥白尼算出的行星的配 置。在 1596 年发表的《宇宙的秘密》 (Myste-rium Cosmographicum)中, 他把当时已知的六颗行星和从希腊时代就知道的仅有的五种正多面体联系 了起来。他设想了一个模型:一个半径等于土星轨道的球内,内接一个正 六面体,木星的轨道便在这个正六面体的内切球上;在木星轨道的球内, 内接一个正四面体,火星的轨道便在这个正四面体的内切球上;其下依次 是正十二面体,地球的轨道,正二十面体,金星的轨道,正八面体,水星 的轨道。因为这种正多面体只有五种,所以开普勒相信行星只有六颗。而 且各个球壳的大小和哥白尼算出的行星距离相差在 5%的范围内,这个安 排全然是偶然性的和带有数学神秘性的。开普勒怀着敬意把新书寄给了布 拉格的第谷,第谷看完这本书后,尽管他对书中的种种解释不太满意,但 对开普勒的想象力和数学才能却很赏识,于是第谷写信给开普勒,请他到 布拉格来研究天文学。[2]
  第谷·布拉赫(Tycho Brahe,1546—1601)是丹麦天文学家,出生于一 个贵族家庭,自幼喜欢观察星辰。1559 年进入哥本哈根大学学习法律,他 的伯父希望他成为一个律师,但第谷并不热心于此。1560 年,通过一次日 偏食的观察,他的注意力转向了天文学。他通过对行星在星空方位的观察 和计算,发现当时的行星位置图表有严重的错误。他想要建立一个满意的 行星理论,就必须有高度精确的星表,而这就需要长期进行新的准确的天 文观测。1576 年,在丹麦国王腓特烈二世的资助下,他在哥本哈根海峡的 汶岛上建立了一所宏大的天文台,他称之为天文堡。第谷对观测仪器进行 了改进,增大了仪器的尺寸并安装在坚固的基础上,这就加强了仪器的稳 定性,给仪器进行了精密的刻度,从而提高了仪器的精密度。第谷还按照 大气对光线的折射效应对观察结果进行修正。他年复一年的观测,取得了
  
大量关于行星位置的准确记录资料。在 21 年的观测中,各行星的角位置误 差仅有 2′,即 0.033°。1597 年,他离开汶岛,1599 年到布拉格任鲁道 夫二世的御前天文学家。[3]
  1600 年,开普勒接受第谷的邀请来到布拉格。在这里两位天文学上的 巨人相会了。在第谷的安排下,开普勒觐见了国王,接受了“皇家数学家” 的头衔。开普勒和他的老师有不同的特色和兴趣:第谷着重并善于实际观 察,而开普勒则更醉心于数学和理论思考。第谷的精确观察与开普勒的深 刻研究相结合得到了丰硕的成果,第谷多年精心观测得到的宝贵资料,为 开普勒发现行星运动三定律奠定了基础。1601 年,重病的第谷把开普勒请 到床边,作了临终的嘱托。第谷说:“我一生之中,都是以观察星辰为工 作,我要得到一种准确的星表??现在我希望你能继续我的工作。我把底 稿都交给你,你把我的观察的结果出版出来,题名为《鲁道夫天文表》, 我们至少要有一点报答鲁道夫国王。”在开普勒允承以后,第谷就安然与 世长辞了。开普勒精心整理并千方百计筹集资金,经过多年的努力,直到
1627 年才正式出版了这本有史以来最精确的天文表。[3] 第谷逝世以后,开普勒把大部分时间用于对火星的研究上。他试图使
观察得到的准确的火星轨道新数据符合作匀速圆周运动的哥白尼体系。尽 管他在计算中用了偏心等距点,经过二十多次不同方案的试验,历时四年 的计算结果是:用哥白尼体系计算出的轨道比根据新数据计算出的轨道小 八分。开普勒知道,第谷明察秋毫的慧眼和颇为精密的仪器记录的行星位 置,其误差是远小于八分的。于是他敏锐地觉察到火星可能不是作匀速圆 周运动。[3]
怎样确定火星的轨道呢?由于第谷对火星的观察资料是从运动着的地
球上观察得出的,所以必须先弄清楚地球轨道的真实形状及它们的运行方 式,以便确定在观察火星的日子里地球在什么地方,然后才可能利用这些 数据来确定火星的运动。为此他充分利用每组火星年的观测数据,并用几 何作图法确定地球轨道的形状,然后,又确定火星轨道的形状,他终于发 现火星轨道是一个椭圆,进而又发现每个行星都沿着椭圆轨道运行,太阳 就在这些椭圆轨道的一个焦点上,这就是开普勒的第一定律即著名的轨道 定律。这个发现把哥白尼学说向前推进了一大步。用开普勒本人的话说: “就凭八分的差异,引起了天文学的全部革新。”[2]
在确定了行星轨道的形状后,开普勒又去寻求行星在轨道上的速率与
位置之间的关系。他从观察火星的资料中发现火星距太阳近时运动得快, 而在距太阳远时运动得慢。他试图从物理学上解释这一现象,设想太阳可 能以某种力驱使行星沿轨道运行,这种力只作用在行星的轨道平面上,因 而轨道上各点受太阳作用力的大小与离太阳的距离成反比;所以,按当时 流行的动力学原则,行星运动的速率与这个距离成反比。这样,一颗行星 沿它的轨道走过一小段距离所用的时间,应该同它到太阳的距离成正比。 这是近似正确的。于是开普勒提出可把行星轨道上较长一段弓形分成一段 段小圆孤,然后把各小圆弧到太阳的距离相加,用以计算行星沿其轨道走 过较长一段弓形所用的时间。他假定每小段圆弧长为 2 个单位长,则这些 距离的总和在数值上就等于太阳和行星联线所扫过的面积,从而得到行星 到太阳联线扫过的面积与所经历的时间成正比的结论。[4]
开普勒实际上只计算出地球和火星这两颗行星在近日点和远日点时,

在相同的时间内其径矢扫过的面积相等。然而由于这种关系如此美妙和简 单,致使他坚信这个关系无论对于哪个行星和在轨道的哪一部分都是真实 的,这就是所谓的面积定律,即行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面 积。虽然开普勒在推导这个定律时所使用的假定是错误的,但这个定律却 是正确的。它不仅准确地描述了围绕太阳的任何行星的运动,也适用于围 绕任何行星的卫星的运动[5]。



图 1-1 开普勒假定,当行星沿其轨道运动时,所有从太阳到行星的联线的 长度之和 SP1+SP2+?SP,在数值上近似等于 SP1PN 的面积之和。



图 1-2 开普勒面积定律
  1609 年,开普勒在《新天文学》(NewAstron-omy)一书中发表了上述 两个定律。但是他对自己获得的成就并不满意。他认为各个行星都沿椭圆 轨道,以匀面积速度运行不是偶然的,必有某种更普遍的规律联系着太阳 系的所有行星的运动;只有发现各个行星运动之间存在着统一的关系,才 可以建立一个太阳系的整体模型,从而揭示出宇宙的谐和与一致。开普勒 怀着这种信念,长年累月地考察了许多因素的各种可能的组合,终于在 10 年之后发现了这条规律。 1619 年,开普勒在 《世界的谐和》 (TheHarmonicesoftheworld)一书中公布了这一定律:行星公转周期的平方 同它们到太阳的平均距离的立方成正比。如果以 T 代表行星运行周期,以
R 代表行星到太阳的平均距离,则这个定律可以表示为
T 2
= K
R 3
式中 K 是一常数。这个定律被称为谐和定律,它表明各个行星的运动速度 和轨道大小之间很有节奏的比例关系,就象音乐中的和声一样。事实上, 开普勒在《世界的谐和》中正是用乐谱的形式把六颗行星在远日点和近日 点之间角速度的变化情况表征为一首“行星协奏曲”。[2]
开普勒坚信自然界存在着一条简单的法则,这是来自他早年对数学的
迷恋。他承袭了古希腊毕达哥拉斯学派“数是实在世界的基础”的思想, 深信上帝是依照完美的数的原则创造世界的,并认为根本性的数学谐和即 所谓天体的音乐,乃是行星运动的真实的可以发现的原因。正是这种追求 数学谐和的理想,对自然的单纯性和一致性的信念,使他克服了前进道路 上的各种障碍,忍受着生活的不幸,在艰苦漫长而又毫无结果的工作期间 能从这一泉源中得到精神鼓舞,以致在他最后发现这一定律时欣喜地写 道:
  “经过长时期不断的艰苦工作后,利用布拉赫的观测结果我发现了轨 道的真正距离,最后终于找到了真实的关系??一下子消除了我心中的疑 团,17 年来我对布拉赫观测结果的刻苦研究同我现在的这个研究是如此相 符,以致我起初还以为是在做梦??。”[4]
  在开普勒全面解决了行星运动的运动学问题之后,关于行星运动的动 力学方面的问题就自然提出来了。“为什么行星会保持在轨道上?”“为 什么行星这样运动呢?”开普勒在研究行星运动的规律时,就已经注意到
  
这个问题。他认为这种运动一定是由于力的作用而产生的。他在《宇宙的 秘密》第二版中说:
  “我一度坚信驱动一颗行星的力是一个精灵??然而当我想到这个动 力随距离的增大而不断减小,正如太阳光随着与太阳的距离增大而不断减 弱的时候,我得出了下面的结论:这种力必定是实在的——我说实在的并 不是按字面的意义,而是??象我们说光是实在的某种东西一样,意思是 说:那是从一实体发出的一种非实在的存在(unsubstantial entity)。”
[4]
  在英国人吉尔伯特(W.Gilbert,1540—1603)关于磁力的论文发表不 久,开普勒在 1605 年给一个朋友的信中写道:“我的目的在于证明:天上 的机械不是一种神圣的、有生命的东西,而是一种象钟表那样的机械,正 如一座钟的所有运动都是由一个简单的摆锤造成的那样,几乎所有的多重 运动都是由一个最简单的,磁力的和物质的动力造成的。我也要证明,何 以应当用数字和几何来表达这些物理原因。”[4]开普勒设想发自太阳的磁 力驱使行星沿其轨道运动。这一设想虽然是错误的,但是开普勒把可观察 的实验现象作为出发点,从事实本身去寻求运动原因,这标志着近代物理 学的主要特征之一的开端。
法国杰出的数学家和哲学家笛卡尔(Rene Descartes,1596—1650)通
过对于“行星保持在轨道上运动的原因”的探索,发表了他的“旋涡说”, 被当时很多人所接受,牛顿也是在这种理论的影响下成长起来的,因为当 时在英国的大学里都讲授这个理论。旋涡说的理论是:宇宙空间充满一种 稀薄的不可见的流质“以太”,各个聚集体周围的以太围绕聚集体形成大 小、速度和密度不同的旋涡式运动,它产生的旋涡压力卷吸着周围的物体 趋向中心物体,这就表现为引力作用。行星以其旋涡带着它周围的附属物 沿着更巨大的旋涡围绕太阳旋转。笛卡尔的学说由于是从接触作用来说明 引力的本质,因此比超距作用更易被理解和接受。[2]
1645 年,法国天文学家布里阿德(I.Bulliadus)提出一个假设:从太
阳发出的力,应和离太阳距离的平方成反比而减小。这是第一次提出平方 反比关系的思想。牛顿正是在布里阿德思想的启示下产生了论证平方反比 力的想法。

(二)引力平方反比律的发现
  牛顿(Isaac Newton,1642—1727),1642 年 12 月 25 日的圣诞节出生 于英格兰林肯郡的沃尔斯索普(Woolshorpe)村一个农户家里。12 岁那年他 进入了格兰姆中学。在毕业前他获得优秀学生的荣誉。1661 年 6 月,牛顿 以“减费生”身份考上著名的剑桥大学三一学院。在这里他受到“卢卡斯 数学讲座第一任教授巴洛(Isaac Barrow)的引导而走向自然科学,特别是 数学和光学的研究。这时他读了开普勒的《光学》和笛卡尔的《几何学》 等著作。1664 年经巴洛考试被选为助手。1665 年,他获三一学院文学士学 位。
  就在牛顿毕业的这一年,英国发生了瘟疫。1665 年到 1667 年,牛顿 在故乡躲避瘟疫的大约十八个月的时间里,进行了在力学、天文学、数学 和光学方面伟大的基础性研究工作。引力的平方反比律就是在这个时候发 现的。后来牛顿在谈到他在 1666 年间一系列重要发现时写道:“这一年里,
  
我开始想到把重力推广到月球的运行轨道上去,在求出了在内球面上一个 旋转的小球对球面的压力后,我就从行星运转周期的平方同它们到太阳的 平均距离的立方成正比的开普勒定律推导出:使行星保持在它们的轨道上 的力必定与它们到旋转中心的距离平方成反比。而后把使月球保持在它轨 道上所需要的力和地球表面的重力作了比较,发现它们近似相等。所有这 一切都是在 1665 和 1666 年瘟疫流行的年代里发现的。那时我正处于发明 创造的青春年代,并且比任何时候都更关心数学和哲学。”[6]
  牛顿是否在 1666 年发现了引力的平方反比律,物理学史家们众说不 一。有人依据牛顿本人及其亲属朋友的回忆,认为牛顿在 1666 年发现了引 力的平方反比律;有人认为这种说法依据不足。认为牛顿在这时只有验证 平方反比律的“想法”,并未作任何验证。的确,这个时期牛顿没有发表 任何著述,但是笔者从牛顿未发表的早期手稿中看到牛顿不仅验证了平方 反比律,而且作了绝妙的论证。
  牛顿在 1664—1665 年写的《未发表的记事手稿》(WasteBook)的手稿 中,讨论了圆周运动的动力学,引进了“离心力”的概念,讨论了决定“离 心力”大小的因素,并结合开普勒第三定律得出了离心力与半径平方成反 比的定律。在公理及命题 20 中,他首次讨论了圆周运动的问题。他假设一 个小球沿圆筒 def 的内表面运动,它必须持续地压在 def 上(图 1-3)。因 为当小球在 c 时,它正向着 g 运动,如果 def 不再控制其运动,小球就会
沿 cg 偏离中心:

图 1-3
“但是如果圆筒 def 本身对抗这种努力,使小球与 m 保持等距离,那
么 def 就会从圆周 chb 每一点的切线上连续地制止或反射(Checking or reflection)小球。但是只有它们连续地相互紧压,圆筒 def 才能控制小球 的运动方向。同样也可理解某物体被一根绳子束缚作圆周运动的情形。由 此看来,所有作圆周运动的物体都力图脱离它们的运动中心(endeavour from the center),否则小球就不会持续紧压 def”[6]
牛顿首次定量分析这个力的大小出现在《未发表的记事手稿》公理及
命题 22 中,他推理说,在绕转半周中小球力图脱离中心的“全部力”,是 大于能够产生或者破坏其运动的力的两倍,即两倍于使其运动的力:
“假设小球由 c 经 h 运动至 b。那么圆筒 def 的抗力(等于小球对 def
的压力)能够破坏小球从 c 向 g 运动的力,并使小球产生同样大小的,在相 反方向上从 b 向 k 运动的力。”[7]
  牛顿在《未发表的记事手稿》中用下述方法定量地讨论了离心力的大 小。他从圆内接正方形路径开始讨论,这时一物体完成一周运动将被弹回 四次,牛顿把四次碰撞的力与物体运动的力相比较,再把结果推广到了无 穷多边的多边形,从而得出结论“全部的反射力与物体运动的力
  之比如同全部边长(即周长)与半径之比。”其论证如下:如图 1-4 所 示,球 b 绕中心 n 旋转,为了得到离心力的大小,牛顿先以正方形 abcda 路径的运动代替圆运动。在分析一次碰撞中小球在 b 处对器壁的作用力 时,他写道:
“如果 ef=fg=gh=he


图 1-4
=2fa=2fb=2gc=2ed,在小球从 a 运动到 b 时,2fa∶ab=ab∶fa=小球 反射时对 fg 的压力∶小球运动的力。”
“4ab=ab+bc+cd+da∶fa=在一周中反射的力(即在 b、c、d、a
四次反射中的力)∶小球运动的力。”
  “照此推论下去,如果小球被边数为 6、8、12、100、1000 等等外切 多边形的各个边反射,则全部反射的力对物体运动的力之比如同所有边的 总和对这个圆的半径之比。所以如果物体被无限多边数的等边的外切多边 形所反射,则全部反射的力与物体运动的力的比值如同全部边长(即周长) 对半径之比。”
  对这一最后结论我们可作如下一解说。“全部反射力”指小球在旋转 一周的时间 T 内小球的离心力的“冲量”,即 fT。“小球运动的力”是指 小球的动量 mv。按照上述结论可得


fT = 2 ?R 因为T = ??R
mv R v



由此得到f = mv
R

。这就是我们现在都熟悉的向心力公式,但牛顿在当时

并没有给出这个公式。
  在 1665 年或 1666 年写的“仿羊皮纸手稿”(VellumManu-script)中, 牛顿含蓄地表示了他的离心力定律,他写道:“当物体以速度 v 在半径为
R 的圆周上运动时的离心力(centrifugalforce)等于作用在一个从静止开
始沿一直线运动的相同的物体上的力时,在圆周上运动的物体通过距离为
R的时间内,在直线上运动的物体将通过 1 R的距离。”[8]
2
对此我们可以作下面的演算:设离心力为 F,从静止开始在直线上运
动的物体,在力F的作用下,加速度为F / m,在t= R 的时间内所经过的
v

距离为



1 F R 2 1

? ? ? ? ? R
? ? ?
2 m ? v ? 2




由此又可得

图 11


F ? mv
R

  牛顿在《未发表的记事手稿》中还把离心力推广到物体作椭圆运动的 情形。他说:“如果物体在椭圆上运动,它在每一点(设它在该点的运动已 知) 上的离心力可以用一个在该点与椭圆相切的,具有同样曲率
(Equalcrookedness)的圆求出。”
  在 1669 年前的一份手稿《论圆运动》[9](OnCircularmotion)中,牛 顿也讨论了离心力。他指出:“在物体由 A 到 D 作圆周运动的过程中,它
  
力图脱离中心的力的大小是这样的:在物体通过 AD(假定它很小)的时间 内,它将使物体脱离圆周一段距离 DB。”(图 1-6)




图 1-6
因为         BE BA



? BA BD

  在无限短的时间内,BE 和 DE 之差以及 BA 和 DA 之差无限小,用 DE 代 替 BE,DA 代替 BA,由此得出
DE ? DA
DA DB
  如果这个力象重力一样在一条直线上作用,则使物体通过的距离将与 时间的平方成正比。为了求出在绕转一周 ADEA 的时间内迫使物体通过的距 离,就要求出 DB 与周长 ADEA 的关系。将上式中的 DA 用 ADEA 代替,即可 得下式
DB ? ADEA DE


因为周长 ADEA=2πR,直径 DE=2R,所以
DB=2π2R=19.7393R
  DB 表示在周期 T 的时间内迫使物体在直线上通过的距离。接着牛顿提 出一个推论:“在不同半径的圆上,运动物体的离心力正比于直径除以周 期的平方。”对于这些结论我们可以作如下的计算,以 f 表示离心力的大 小,m 表示物体质量,则


          2 π 2 R = 1 f T 2



由此得到      f =

2 m
4 ? 2 mR T 2


亦即       f∝ 2R T2


若将T = 2?R 代入,我们又可得向心力与速率及半径的关系式
v

         f∝ 2R

= v ∝ v

? 2?R ?

2? 2 R R

? ?
? v ?


牛顿在这篇文章中接着指出:由于行星运行周期的平方同它们到太阳
的距离的立方成正比,所以行星退离太阳的离心力(Theendeavours of receding from the sun)与行星到太阳的距离的平方成反比。
  牛顿在这里没有叙述他的推导过程。但是有了他的离心力公式和开普 勒第三定律,我们很容易从圆运动得出上述结论
  

            f∝ R = R


= 1 ×常数


即f∝ 1
R 2

T2 T 2 R 2 R 2

值得注意的是,在牛顿早期的著作中没有使用向心力这一术语。他在
《论圆运动》中所讲的物体脱离运动中心的努力,实际上指的是物体的惯 性,即任何物体在没有外力作用下具有保持匀速直线运动的趋势。正如他 所说的在圆筒中作旋转运动的小球,如果不受圆筒的控制,则小球将沿一 条切线飞出。在 1684 年他写的《论运动》的手稿中,首次提出了向心力的 定义:“我称之为的向心力是物体被吸引或迫使向某个中心点的力”。在
1687 年的《自然哲学的数学原理》一书中又进行了非常明晰的讨论,并把 在圆运动中物体受到的向心力和它所具有的惯性离心趋势加以区别。

(三)平方反比律的地月验证
  牛顿晚年的挚友彭伯顿(Pemberton)博士,在他的《哲学解释》的序言 中讲述了牛顿对他讲的关于引力思索的一个生动的故事:
  “1666 年,他在沃尔斯索普村家里躲避瘟疫时,有一次他独自坐在花 园里,忽然看到一个苹果从树上掉了下来,他吃了一惊,同时便沉浸在引 力的思索中,沉思引力的巨大威力。即便是在我们所能够达到的,离地心 很远很远的地方这种引力也丝毫不见减小。不管是在最高的建筑的最上 层,还是在最高的山顶上都是一样。因而他就想,是否可以设想,这种力 的作用范围可能要比通常设想的还要大得多。比如说一直延续到月亮。如 果是这样的话,月亮的运动必定受到引力的影响,甚至很可能这个力就是 使月亮维持在它的轨道上的原因。”[6]
这个关于引力思索的故事,说明牛顿开始产生了把地面上物体的重力
与保持月亮在它的轨道上的力看成同一本质的力的想法。苹果落地激起了 一个伟大科学家的有准备的头脑的灵感,牛顿以他非凡的洞察力在落体运 动与月亮运动之间搭起了一座智慧之桥,觉察到了天体运动与地球上的运 动的统一性。这个故事是牛顿在发现万有引力定律的艰苦历程中的一个有 趣的小插曲。当然不能把它讹传为牛顿看到苹果落地就发现了万有引力定 律。
牛顿在 1669 年前写的《论圆运动》中,开始对引力的平方反比律进行
地月验证。他把维持月亮在它的轨道上的力与地球表面上的重力作了比 较。他利用了天体测量的结果,月亮与地球之间的距离是地球半径的 60 倍,月亮绕地球一周的时间为 27 天 7 小时 43 分钟或 27.3216 天。他采用 了当时 1 纬度是 60 哩的公共量度,得到地球半径为 3500 哩。他根据在这 篇文章中导出的公式,在向心力的作用下,月亮在绕转一周的时间内下落 的距离为
2π2R=19.7393R 因为在常力作用下,物体下落的距离与时间的平方成正比,且 1 哩等
于 5000,所以月亮在一分钟内下落的距离为
2

h = 2?
T 2
=13.6

R = 19.7393 ? 60 ? 3500 ? 5000
(27.3216) 2 ? (24)2 ? (60) 2

他把这一数据和伽利略测量的地球表面上的重物在一秒钟内下落
16的数据加以比较

13.6
16 ? (60)2

≈ 1
4300

由此得出结论:“地球表面上的重力比月亮对地球中心的离心力大
4000 多倍。”按照引力与距离平方成反比的关系应约为 3600 倍,二者相
差 19%,这说明在开始进行地月检验时,牛顿的计算与预期的结果并不是 “相当接近”,而是“不太符合”。
  二十年后,牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》一书中,进一步 阐述了维持月球在它轨道上的力与地面上物体所受的重力是同一本质的力 的思想。他在该书第一篇关于向心力的定义 5 的说明中,设想了一个理想 实验,论述了月亮的绕转运动与地面上平抛运动的联系。他写道:
  “如果从山顶用弹药以一定的速度把一个铅球平射出去,那末它将沿 一条曲线射到两英里以外落到地面;如果能消除掉空气阻力,而且发射速 度增加到两倍或十倍,那么铅球的射程也会增加到两倍或十倍。而且用增 加发射速度的办法,我们可以随意增加其射程,并同时减少它所画的曲线 的曲率,使它终于在十倍、三十倍或九十倍远的距离处落到地面,或者甚 至可以使它在落地以前绕地球一转;或者最后,也可以把它发射到空中去, 在那里继续运动以至无穷远而永远不落到地面。”[10]
牛顿在该书第三篇命题 4 的注解中,继续用理想实验的科学方法,论
证使月球保持在它轨道上的力与地面上物体所受的重力是同一本质的力。 他设想有几个月亮围绕地球转动。“如果有一个小月亮很靠近地球,以至 触及到地球上最高的山顶,那么使它保持轨道运动的向心力当然就等于它 在山顶处所受的重力。这时如果小月亮突然失去了运动,它就如同山顶处 的物体一样以相同的速度下落。如果它所受的向心力并不是重力,那么它 就将在这两种力的共同作用下以更大的速度下落,这是与我们的经验不符 的。可见重物的重力,月亮的向心力,必然是出于同一个原因。因此使月 亮保持在它轨道上的力就是我们通常称为‘重力’的那个力。”[10]
牛顿在这个命题的正文中,根据天文观测和大地测量的结果进一步作
了平方反比律的地月验证。月地之间的平均距离为地球半径的 60 倍。大地 测量得出地球的周长是 123249600 巴黎尺,它的半径是 19615800 巴黎尺。 月亮绕地球一周的时间为 27 天 7 小时 43 分,即 39343 分。我们根据牛顿 在《论圆运动》中所导出的公式,可以算出月亮在一分钟下落的距离为

h = 2?

R = 2?

? 60 ? 19615800

T 2 (39343) 2
=15.009巴黎尺

牛顿当时的计算值是15 1
12

巴黎尺。因为引力按距离的平方反比而

减小,在地面处引力应比月球处强约 60×60 倍,所以地面上物体在 1 秒

钟下落的距离应为15 1
12

巴黎尺。这同惠更斯用单摆在巴黎测出一个物体

从静止落下时第 1 秒通过的距离相等。因此平方反比律被证明是正确的。

(四)椭圆运动的平方反比律与引力普适性概念的确立
  1666 年,牛顿在沃尔斯索普村家里,对引力定律进行了第一次检验失 败后,第二年春天牛顿回到剑桥大学,结束了他的动力学创造性工作的第 一个时期。从 1667 年到 1679 年。这方面的研究工作几乎完全中断。关于 中断的原因有各种各样的说法:一种说法是当时他所知道的地球半径之值 不准确,计算误差较大;另一种说法是,这时牛顿的兴趣转向光学研究并 卷入了在光学方面与胡克的论战。还有人认为牛顿当时遇到了在动力学方 面难以克服的困难。其困难之一是:牛顿的计算是以行星轨道是圆形为前 提,事实上行星的轨道是椭圆形,这就给论证平方反比定律带来很大的困 难。其困难之二是:在计算天体之间的引力时,牛顿未能证明可以把每个 天体看作全部质量集中于中心的质点来看待。牛顿似乎估计到这些困难, 意识到要解决这些动力学上的难题需要一个长期的准备时间。在这个时期 中,他能够从容不迫地吸收并消化早期研究所积累起来的经验,寻求解决 这些难题的工具。
  1673 年惠更斯在他的著作《摆钟》(Horologium Oscillator-ium)中, 导出了单摆运动的公式为
t = ? L
g
式中 L 为摆长,g 为重力加速度,t 为单摆往或返的时间,即半个周期。根 据这一公式,他在巴黎用一个周期为 2 秒的单摆,精确测出摆长为
3.0565,从而计算出重力加速度为 30.1666/秒 2(换算为公制约等于
9.8 公尺/秒 2)。 精密摆钟的发明和广泛使用,为发现重量与质量两个概念的差异提供
了一个条件。1671 年法国的里切尔(JeanRicher,1630—1696)到南美赤道
附近的卡因岛作天文观测时,发现他从巴黎带去的摆钟变慢了,当他把摆 长适当缩短,走时就准确了。惠更斯对这一现象作了研究,认为这是因为 赤道附近物体受到更大的离心力,从而抵消了物体的部分重力。这就得出 结论:同一物体在地球表面的不同地点其重力也不同,使重量概念与质量 概念的差异变得明显了。[2]
惠更斯在这本书中,还提出了他称之为的“离心力定理”。他提出:
“二个等重量的运动物体在大小不同的圆周上作等速运动,则该二物体的 离心力之比等于二圆周直径的反比。”“二个等重的物体在大小相同的圆 周上以不同速度各作匀速运动,则运动较快的物体与运动较慢的物体的离 心力之比等于其速度的平方比。”[11]
2
即          F∝ v
R


图 1-7
  惠更斯是这样来确定向心加速度公式的。如图 1-7 所示。他以切线 AD 到圆周的距离来确定向心力的作用。图中设 AD 是物体在某个时间间隔τ内
以 v 作匀速直线运动时通过的距离 s,(即图 1-7s=AD)。而δ=AC=DB, 认为是由于物体在时间τ内做加速运动而造成的与 AD 的偏离,则
s=vτ

δ = 1 aτ2
2
又有 s2=(2R-δ)·δ
当δ很小时 s2=2Rδ
所以            ? ? v
   R
  在此以前,胡克在引力的研究上就作出了贡献。胡克已觉察到引力和 地球上物体的重力有同样的本质。1662 年和 1666 年,他曾在山顶上和矿 井下用测定摆的周期的方法做实验,试图找出物体的重量随与地心距离而 变化的关系,但没有得到结果。他在 1674 年的一次演讲“证明地球周年运 动的尝试”中,提出要在一致的力学原则的基础上建立一个宇宙学说,为 此他提出了三条假设:
  “第一,据我们在地球上的观察可知,一切天体都具有倾向其中心的 引力,它不仅吸引其本身各部分,并且还吸引其作用范围内的其它天体。” “第二,凡是正在作简单直线运动的任何天体,在没有受到其它作用
力之前,它将继续保持直线运动不变。” “第三,受到引力作用的物体,越靠近吸引中心,其引力也越大,至
于此力在什么程度上依赖于距离问题,在实验中我还未解决,一旦知道了
这一关系,天文学家就很容易解决天体运动的规律了。”[2]
1679 年,哈雷与伦恩也按照圆形轨道由开普勒第三定律和惠更斯在
1673 年发表的向心力的公式,证明了作用于行星的引力与它们到太阳的距 离的平方成反比。但是他们不能证明行星在椭圆轨道上也是如此。这年 10
月 24 日,胡克给牛顿的一封信中,提出了引力反比于距离的平方的猜测,
并问道:如果是这样,行星的轨道将是什么形状?胡克给牛顿的信重新激 起了牛顿对动力学的兴趣,使牛顿把他的注意力转到椭圆运动问题。1679 年底,胡克给牛顿写信介绍一种分析曲线运动的新方法,即物体沿曲线运 动具有两个分量,一个是切向分量,一个是向心分量。1686 年 7 月 14 日, 牛顿给哈雷的信中谈到这封信时说:“这是真的,他的信使我偶然发现应 该用图形法,在椭圆上的验算是靠图形法的研究进行的,就这样搁置达五 年之久,直到你要寻找那篇论文时。”牛顿表示他在 1679 年作了行星在椭 圆轨道上时引力平方反比律的证明。
1679 年(或 1684 年)牛顿写了一份手稿,标题是:“引力指向太阳的
行星可能在椭圆上运动的证明。”[14]这份手稿一开始就提出三条假设: 假设一如果物体不受到阻力或其它外力,将一直做匀速直线运动。 假设二运动的变化永远正比于使运动发生变化的力。假设三提出运动
合成的平行四边形法则。 根据开普勒定律行星绕太阳作椭圆运动,则各个行星必然受到太阳的
引力,这些引力方向指向太阳,太阳就是这些引力的中心。牛顿首先在命 题一中证明了这个问题。
  命题一:如果一个物体在真空中运动而且被一个固定中心所吸引,它 将在一个固定平面内运动,而且在相等的时间内,物体与力心的连线,扫 过相等的面积。

图 1-8

  如图 1-8 所示令 A 为力心,假设把时间分成许多相等的小段,在第一 段时间内,物体从 B 匀速运动到 C,如果没有受力,它将沿直线 BC 运动到 I,而且 CI=BC。在 C 点它受到一个指向 A 的冲力,在冲力作用下它沿 CD 线运动。从 I 点作平行于 CA 的直线得 ID,D 就是第二个瞬时末物体所在的 位置。由于同底等高,△ACD 和△ACI 的面积相等,也等于△ABC 的面积。 同理,如果在第二、第三、第四、第五各瞬时末,物体在 D、E、F、G 各点 受到指向 A 的冲力的作用,将使物体在每一段相等的时间内经过直线段 DE、EF 和 FG 等等。而且△AED,△AFE 和△AGF 的面积都等于△ADC,△ABC。 因此在相等的时间内扫过相等的面积。


     图 1-9 1684 年牛顿写的短文《论运动》的第一页 现在假定时间间隔无限地减小,而三角形的数目无限地增大,那末,引力 的冲力就可能变成连续的,而由无限多小线段组成的折线就可能变成一条 曲线。在连续的引力作用下,物体与力心的连线所扫过的面积和物体运行 的时间成正比。
  牛顿的这一论证表明只要给出了物体的初始位置和初速度和力作为位 置的函数,根据这个作图法就可以确定物体的近似路径,这是牛顿动力学 决定论的一个生动的例子。
把这一定律应用于开普勒行星运动图象。从开普勒的面积定律和命题
一的逆命题,就可以得出作用在行星上的力都是指向太阳的,太阳是吸引 行星的力心。解决了这一问题后,牛顿就可以讨论在指向焦点的力的作用 下,物体在椭圆上运动的问题,进一步探讨物体受力的大小与物体到力心 的距离的关系。
命题二:如果在椭圆上运动的物体受到一个指向椭圆焦点的引力,在
椭圆的两个顶点处物体受到的引力与物体到焦点的距离的平方成反比。
  如图 1-10 所示,A、C 是椭圆的顶点,F 是焦点。AFE 和 CFD 是在相等 的时间内径矢扫过的相等的面积。假设 AE 和 CD 是如此之短,以致可以把 它们视为直线。这样扇形的面积就变成半个矩形的面积。由此得
1 AF×AE = 1 FC×DC
2 2
AE ? FC
CD FA



图 1-10
  设 AM 和 CN 是通过顶点 A 和 C 的切线,分别作 AM 与 CN 的垂线 ME 和 DN。因为椭圆在 C、A 两点是同样弯曲的,所以 EM 与 DN 之比等于 AE 的平 方和 CD 的平方之比。
EM ? (AE)

DN

所以               EM DN

(CD) 2
(FC) 2
?
( FA) 2

  当物体在顶点不受力时,将沿切线 AM、CN 运动。在这段时间内,引力 的作用相当于使物体从 M 运动到 E,从 N 运动到 D,所以物体在椭圆顶点 A 受的引力与在顶点 C 受的引力之比等于 ME 与 ND 之比,结果得到与距离的 平方成反比,即
FA ? (FC)
FC (FA)
  命题三:如果在椭圆上运动的物体受到一个指向椭圆焦点的引力,这 个引力与物体到焦点距离的平方成反比。



图 1-11
如图 1-11,假设把时间分成许多相等的小段。当物体运动到椭圆上的
P 点时,如果不受力,在△t 的时间内它将沿切线匀速运动到 X 点。由于物 体在 P 点受到指向焦点的引力的冲量,使物体从沿着切线运动变到沿着弦
PY 运动,Y 是△t 时间末物体在椭圆上的位置,这个距离 XY 是由于引力冲
量作用的结果,因此 XY 必定与引力 FP 成正比,并且平行于引力的方向,
即平行于 PF。用同样的方法,可得在 p 点的引力 fp 与 xy 成正比,xy 平行
于 pF。由此得出
Fp∶fp=XY∶xy
根据椭圆的几何关系和开普勒面积定律,最后得出物体在 P 点受的引
力 Fp 与在 p 点受的引力 fp 之比与该点到焦点距离的平方成反比
2
FP ? (pF)
fP ( PF)
  1684 年 1 月,雷恩、哈雷和胡克三位当时英国科学界著名人士在伦敦 相叙,讨论行星运动的轨道问题。胡克说他已通晓,但拿不出计算结果。 于是牛顿的好友哈雷专程去剑桥请教牛顿。牛顿告诉哈雷他已经计算过 了,断然地说:行星绕日轨道是个椭圆,但手稿压置多年一时找不到。应 允重新计算,约期三个月后交稿。哈雷按约期再度访剑桥,牛顿又提出一 份手稿《论运动》(DE Motu)。牛顿在此基础上,在 1684 年 8—10 月间写 了一本小册子《论球体在液体中的运动》[15](On the motion of Spher- ical Bodies in fluids)在这篇文章中,他首先讨论了物体在阻力介质中 的运动,他给向心力下了明确的定义,并再一次证明了向心力定律:向心 力正比于速度的平方被半径除。他还根据开普勒的面积定律和几何关系, 证明了在椭圆上运动的物体指向椭圆焦点的向心力与物体到焦点的距离的 平方成反比。更为重要的是,他在这篇文章中首次提出了引力的“万有性” 或“普适性”。以前他只考虑太阳对行星的引力,没有考虑行星之间的引 力。依照这种理论,行星绕太阳的运动是严格的椭圆。他根据太阳相对于 太阳系重心(The centre of gravity 应理解为质心)的位移,发现向心力 并不总是指向系统的重心。因此他认为“这些行星既不是严格地作椭圆运 动,也不会在同一轨道上绕行两次”。“每个行星的轨道依赖于所有行星 的联合运动以及它们之间的相互作用。”对这个结果如果只认为太阳才有 引力是无法解释的,所以牛顿说只有计及行星彼此之间的作用,才能说明 行星的运动。这意味着引力不仅是太阳的本性,同样也是行星的属性。到
  
1685 年牛顿进一步在《自然哲学的数学原理》中写道:“依此定律一切物 体必定互相吸引”。这就是万有引力了。
在这篇文章的后一部分,讨论物体在有阻力的介质中运动


SIR ISAAC NEWTON’S MATHEMATICAL PRINCIPLES OF
NATURAL PHILOSOPHY AND HIS SYSTEM OF THE WORLD
Translated into English by Andrcw Motte
The translations revised,and suppiied with an historical and explanatory appendix
by
FLORIAN CANJORI LATE PROFESSOR OF
THE UNIVERSITY OF CALIFURNIA CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS
1934


图 1—12 1686 年牛顿写的《自然哲学的数学原理》 时,牛顿首次提出了质量概念,还把质量和重量加以区别。他指出介质的 密度正比于它们的重量,取决于它们固有的物质的量。为了研究引力与质 量的关系,他通过分析外力作用于物体产生的运动得出“加速力等于质量 乘加速度”的规律。
(五)球体引力问题的解决与万有引力定律的确立
  在《论运动》和《论球体在液体中运动》的基础上,牛顿于 1684 年底 开始了《自然哲学的数学原理》的写作。1685 年春天完成了球体引力定理, 以卓越的彻底精神和严谨的科学态度解决了求解球体引力的问题。[10]
首先,牛顿在《自然哲学的数学原理》第一篇命题 70 中,论证了均匀
球面内任一粒子 p,球面对它的引力的合力为零(见图 1-13)。他通过 P 作 两个圆锥面,在球面上截取两个面积元 HI 与 KL。面积元对 p 的引力与距 离平方成反比,与面积大小成正比。而面积大小又与到 p 点的距离平方成 正比。把这两个比相结合得一等比,即 1∶1。因此,这两部分的引力,大 小相等,方向相反,互相抵消。据此可知,整个球面上的一切引力均有相 反相等者与之抵消,故粒子 p 将不会被这些引力吸引到任何一个方面。

图 1-13
  接着他在命题 71 中,论证了均匀球面外的一个质点被吸向球心的力与 该质点到球心的距离平方成反比。
  设球面外与球不同距离处的两个质点 P 和 p,通过 P 和 p 作两个小圆 锥面,它们在球面上分别截取两段相等圆弧 HK、hk 和 IL、il,作垂线 SD, sd,SE,se,IR,ir,IQ,iq,如图 1-14 所示。由几何关系可得
PI∶PF=RI∶DF

和 pf∶pi=df∶ri
等式两边相乘,因为当圆锥角趋于零时,df=DF,所以

图 1-14
PI·pf∶PF·pi=RI∶ri=IH∶ih(1.5.1) 又 PI∶PS=IQ∶SE
           ps∶pi=se∶iq 同理可得 PI·ps∶PS·pi=IQ∶iq(1.5.2) 式 1.5.1 和式 1.5.2 中相乘得
(PI)2·pf·ps∶(pi)2·PF·PS=HI·IQ∶ih·iq
这就是当半圆 AKB 绕直径 AB 转动时弧 IH 所画出的圆环面,与当半圆 akb
绕 ab 转动时弧 ih 所画出的圆环面之比。吸引着粒子 P 和 p 的力沿连线的 方向并指向这些面。力的大小与面积大小成正比,与面积到粒子的距离平 方成反比,从而得 HI 和 hi 对粒子 P 和 p 的引力之比为
pf·ps∶PF·PS
因这些斜交的力分别是它们沿PS方向指向中心S的分力的 PI
PQ

倍( 或 PS 倍)以及

pi 倍(或 ps 倍),

PF pq pf
  所以把粒子 P 吸向中心 S 的引力与把粒子 p 吸向中心 s 的引力之比值 为



FP ? PF·pf·ps ∶ pf·PF·PS ?

(ps)2
2

fP PS

ps (PS)



据此理由,弧 KL 和 kl 绕转所画出的圆环面对粒子 P 和 p 的引力之比,
同样是(PS)2 与(PS)2 之比。所有圆环面的力之比具有同样的比率。因此整 个球面施加在质点上的力与质点到球心距离的平方成反比。
牛顿根据前两个命题很容易地得出下面一系列推论。在命题 73 中,他
证明了在密度均匀的球中,粒子受到该球的引力正比于该粒子到中心的距 离。在命题 74 中牛顿证明了位于球外的一个粒子受到球的吸引力与该粒子 到球心的距离平方成反比。
  在命题 75 中,牛顿指出一个球受到另一个球的引力与两个球心之间的 距离平方成反比。他根据命题 74 得出均匀球对球外一个粒子全部引力,仿 佛是由放在球心的一个单个粒子给于的。另方面,如果这个粒子被球上各 个粒子以同样力吸引,则单个粒子对球的引力必定是与球对单个粒子的引 力一样大。但是对粒子的引力是与它到球心的距离的平方成反比,因此对 球的引力与两个球心之间的距离平方成反比。
  在命题 76 中,牛顿进一步把质量概念引进球体引力定理。在推论 3 中他提出:在球心距离相同的条件下,两个球之间的引力正比于两个球的 乘积。在推论 4 中,他提出:在球心距离不同的条件下,引力与两个球的 乘积成正比而与球心之间的距离的平方成反比。牛顿在这里所说的物体的 乘积就是指的物质的量或质量的乘积。牛顿在《自然哲学的数学原理》第
  
三篇《论宇宙系统》的命题 7 中,精辟地表述了万有引力定律:“一切物 体所具有的引力正比于它们各自所包含的物质的量,与距离的平方成反 比。”
如果我们用 m1 及 m2 分别表示二物体的质量,R 表示二者之间的距离,
则引力 F 为
F ? m1 m2 或F ? G m1m 2
R 2 R 2
这就是万有引力定律的数学表示式,式中 G 是引力常数。 万有引力定律的发现揭示了引力的普适性。牛顿在《自然哲学的数学
原理》第三篇“哲学中的推理法则”第三条中,提到引力是物体的普遍属 性时写道:“如果依靠实验和天文观察,普遍发现地球周围的所有物体都 被吸向地球,而且这种吸引正比于这些物体各自所含的物质之量;月球同 样也按其物质之量而被地球所吸引;另一方面,我们的海洋又被月球所吸 引;所有行星都相互吸引;而且彗星也以同样方式被太阳所吸引;那末, 根据这条法则,我们必须普遍承认,所有物体都天然具有相互吸引的本 性。”[6]
  在牛顿以前,无论是东方还是西方,天与地的区分是根深蒂固的。没 有任何一项成果能说明天上运动与地上运动服从相同的规律。牛顿的引力 定律体现了天上运动与地上运动的统一性,它把开普勒的行星运动和伽利 略的落体与抛体运动统一了,从而把天体运动纳入到根据地面上的实验得 出的力学原理之中。这是物理学史上第一次伟大的综合,也是人类认识上 一次巨大的飞跃。
关于引力的机制,牛顿对此没有作过任何假设。他在《自然哲学的数
学原理》最后一节中提到引力的起源时写道:“一直到现在,我已将天体 现象及海洋运动用重力来说明了,但重力之来源如何,却没有说过,此项 力必有一原因,贯彻至太阳及行星之中心,完全不受丝毫损失。??我还 没有方法由此项现象以推及重力之根源,我亦不想设立一假设。”牛顿认 为在没有从观察和实验中发现重力之原因时,决不杜撰假设。他在《自然 哲学的数学原理》第三篇哲学中的推理法则第一条中写道:“除了那些真 实而已足够说明其现象者外,不必去寻求自然界事物的其它原因。”
有种说法把引力有超距作用归之于牛顿,这是没有根据的,他在《自
然哲学的数学原理》书中未提此说。在缺乏实验线索的情况下,他拒绝提 出一种使引力效应从一物体传到另一物体的机制,并不意味着他同意超距 作用。1692 年 2 月 25 日他在写给神学家本特利(Bentley)的信中,这样写 道:“在我看来,说引力是物质本身固有的,内在的和根本的,因而一物 体可穿过真空距离作用于另一个物体,毋需有其它的东西作为媒介把它们 的作用和力传达到另一物体上,这是甚为荒谬的,因为我相信,凡是在哲 学方面有思考能力的人决不会陷入这种谬论之中。引力必然是持续不断地 按一定规律施加作用的动因造成的;至于这个动因究竟是物质的抑或非物 质的,我则留给读者自已去考虑。”[4]

(六)引力定律的实验验证
  在牛顿时代由于缺少精密的仪器,很难测量两个小物体之间微弱的引 力。但是牛顿想出了一个巧妙的方法来证明 G 的常数性。他考虑地球表面
  
上一个质量为 m1 的物体,它的重量为 m1g,设地球质量为 Me,因此根据万 有引力定律


m g = G

m1m

地 或G = r g

1 r 2 m
在一给定地点,r2/m 地当然是一个常数。如果在这个地方,所有物体都恰 好具有相同的 g 值,那么我们就证实了 G 也是个常数,而不管这些物质的 化学组成,结构及形状如何。这正是牛顿用实验证明的。他不是简单地用 大物体和小物体的下落来测量 g,而是使用长度相等但材料不同的计时摆 这种精确得多的方法。当时已知,具有给定长度的一个单摆的周期 T 仅同
1 / g成比例。经过详尽的实验,所有结果都指出G为常数,因此他写
道:“这就是在我们实验所及的范围内一切物体的性质;因此(根据法则
3)可以肯定这是无论哪种物体都具有的性质。”[4]
  1798 年,即又过了 100 多年,英国物理学家卡文迪许(Cavendish)做 了测量 G 的经典实验。如图 1-15 所示,两个小铅球被固定在轻杆的两端, 用一根系在杆的中点的极细金属丝把杆沿水平方向悬挂起来,细丝上固定 着一面小镜子。小铅球的附近对称地安放着两个较大的铅球,这两对 大质 量和小质量之间的引力使杆在水图 1-15 平面上转动。当金属丝的扭转所 产生的回复效应恰好与相吸引的力平衡时,杆就停在一个平衡方向上,反 射光把微小的角偏转放大为光点相当大的位移。根据金属丝扭转的角度可 以测出力的强度,证实了万有引力定律的正确性,并测定了 G 的数值为
6.670×10-11 牛顿·米 2/千克 2。


图 1-15 在《自然哲学的数学原理》第三篇宇宙体系中,牛顿就运用引力定律
讨论了太阳系的行星、行星的卫星、彗星的运行,以及海洋潮汐的产生,
行星之间运动相互受到引力干扰,即所谓摄动。1680 年 11 月与 1681 年 3 月有个大彗星两度出现,牛顿通过计算得出它是以太阳为焦点作抛物线运 动的,它受太阳的向心力也服从距离平方反比定律。并指出:“彗星是行 星之一种,它绕太阳运行具有极大偏心率。”[16]
预见并发现新的行星是显示引力理论威力的最生动的例证。1781 年的
一个夜晚,英国人威廉·赫歇尔(WilliamHerschel)用他自己制作的 10 英 尺望远镜观察天空,发现了现在称为天王星的行星。发现天王星后,它的 运动就成了不断研究的主题。积累的资料表明它的运动有某些极小的不规 则性,不能归因于任何已知天体的摄动效应,人们猜测在天王星之外可能 有一个未曾预料到的行星,它对天王星的轨道起了附加的摄动作用。这个 想法引起了剑桥大学一位青年学生亚当斯(J.C.C.Ada-ms)的兴趣。他使用 万有引力定律,从观察到的天王星的运动,来计算这颗未知行星的位置, 这是一项极其艰巨困难的数学工作。他毕业两年后得出了该问题的数学结 果,推断出新行星在特定时刻出现在轨道上的位置。1845 年 10 月亚当斯 写信给格林威治皇家天文台请求他们用强大的望远镜在预言的位置上寻觅 这颗假设的新行星。然而,由于亚当斯是一个不出名的青年数学家,所以 没有受到足够的重视。
1846 年 6 月,另一位法国青年勒维耶(U.J.J.Leverrier)发表了类似

的独立计算结果,他给出的这颗被猜测的行星位置很接近于亚当斯的预言 位置。后来英国终于决定对亚当斯的理论计算予以验证,当英国人正在迟 缓地进行某些观测时,勒维耶把他的预言送交柏林天文台台长那里,幸好 正是在收到这封信的晚上,这位台长手边有一幅有助于寻觅该行星的新星 图,于是他亲自寻觅,并在非常靠近预言位置的天区辨认出了这颗行星。 这样在 1846 年太阳系里又增添了一颗海王星;这确实是万有引力定律的一 次辉煌胜利![4]
  从牛顿建立万有引力定律的科学历程中,我们能够吸取哪些科学思想 和科学方法论的教益呢?
  首先,牛顿在科学研究中坚持以经验为基础,他认为在没有从观察和 实验中发现引力之原因时,决不杜撰假设。牛顿的“不杜撰假设”具有方 法论的意义,这种方法论与他同时代的大多数人所遵循的方法迥然不同。 牛顿的同时代人都追随笛卡儿,探索自然现象的起因,构筑引力的机制。 而牛顿则不然,他所关心的不是引力“为什么”会起作用,而是“如何” 在起作用。他的目的是寻求引力所遵从的规律,提出准确的数学描述,证 明行星系统如何依赖于引力定律。
  但是,牛顿的认识路线也不同于受经验主义影响很深的胡克的认识路 线。胡克强调从实验上去探求引力定律,忽视数学推理的必要性。他的表 述停留在定性认识上,缺乏定量的成份。他没有认识到当时更需要的是数 学推理,而不是实验,因为所有行星运动的实验资料都已总结在开普勒定 律之中,而胡克面对实验事实,迟迟不能提出物理模型,进行数学推导, 从而确立力的定律。这是他在方法论上不如牛顿的地方。
牛顿所遵循的认识途径是从实验观察到的运动现象去探讨力的规律,
然后用这些规律去解释自然现象。正如他在《自然哲学的数学原理》一书 的前言中写的:“我奉献这一作品,作为哲学的数学原理,因为哲学的全 部责任似乎在于——从运动的现象去研究自然界中的力,然后从这些力去 说明其它自然现象。”[10]爱因斯坦对牛顿的科学认识道路给于了高度的 评价。他在《自述》一文中写道:“你(指牛顿)所发现的道路,在你那个 时代,是一位具有最高思维能力和创造力的人所能发现的唯一的道路。”
[17]
  牛顿的科学认识道路对以后物理学的发展产生了深刻的影响,许多物 理学家都沿着牛顿的道路进行工作。1827 年,安培在《电动力学理论》一 书中,阐述了他处理电磁理象的方法:从观察事实出发,撇开力的性质的 假说,推导出这些力的表示式,确立一般规律,最后他明确指出:“这就 是牛顿所走过的道路,也是对物理学作出重大贡献的法兰西知识界近来普 遍遵循的途径。”
  牛顿研究方法的一大特点是对错综复杂的自然现象敢于简化,善于简 化,从而建立起理想的物理模型。宇宙间星体的相互影响是无限复杂的, 每个星体都是一个引力中心,所以它是一个相互作用的多元的复杂系统; 而且每个星体都有一定的形状和大小;每个“行星既不完全在椭圆上运动, 也不在同一轨道上旋转两次”。面对这一情况,不采用简化模型予以分别 处理是极为困难的。1684 年牛顿在《论微粒》一书中指出:“同时考虑所 有这些运动之起因,是整个人类智力所不能胜任的。”[18]牛顿是怎样对 这一复杂系统进行简化的呢?他采用的简化模型的步骤是:从圆运动到椭
  
圆运动;从质点到球体;从单体问题到两体问题。 他一次又一次地将他的理想模型与实际比较,再适当加以修正,最后
使物理模型与物理世界基本符合。所以牛顿的万有引力定律既解释了为什 么行星的运动近似地遵守开普勒定律,又说明了为什么它们又是那样或多 或少偏离开普勒定律。
  牛顿把一切物体间的引力归结为粒子间的引力的思想,对以后的物理 学家影响很大,19 世纪 20 年代,毕奥、萨伐尔、拉普拉斯和安培在研究 电流之间的作用力时,总是把它归结为电流元之间的作用力。
  牛顿研究方法的另一特色是运用形象思维的方法,进行创造性的思维 活动,他构思了一些神奇的理想实验,创造了新的物理图象,来揭示天体 运动与地面上物体运动的统一性。牛顿的科学思想和科学方法不仅使他少 走弯路,发现了万有引力定律,而且深刻地影响着以后物理学家的思想、 研究和实践的方向。这说明科学思维方法的极端重要性。从物理学的重大 发现中去吸取科学思想、科学方法的营养,对提高教学水平,提高学生分 析问题、解决问题的能力都是大有裨益的。

参考文献


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[2]申先甲等编著,《物理学史简编》,第 1 版,济南,山东教育出版
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[18][美]科恩,“牛顿革命”,《自然科学哲学问题》,1989 年 1 月

二、能量概念的发展及能量守恒定律的发现

能量是物质运动的一种量度,是人们认识客观世界的主要对象之一。
19 世纪中期发现的能量守恒定律表明能量是个守恒量,它可以由一种形式 转化为另一种形式。能量守恒定律深刻地揭示了各种形式能量的相互联系 和自然界的统一性,被恩格斯称为伟大的运动基本定律,19 世纪自然科学 三大发现之一。[1]能量守恒定律的发现以及能量概念的形成经历了漫长的 历史过程,它是人类在生产实践和科学实验的基础上对自然界的运动转化 长期认识的结果。从研究机械能守恒到得出广义的能量守恒定律其间经历 了大约一百五十年的孕育时期。

(一)“活力”守恒的发现
  从历史上考察,能量原理是从力学留传下来的。意大利物理学家伽利 略(Galileo,1564—1642)在 1638 年出版的《关于力学和


图 2-1 局部运动两门新科学的谈话和数学证明》(简称《两门新科学》)中,讨论 了自由落体运动和物体沿斜面的运动,提出了这样的假设:静止的物体不 论是沿竖直方向自由下落还是沿不同倾斜度的斜面从同一高度下落,它们 到达末端时具有相同的速度,这就是“等末速度假设”。[2]伽利略利用一 个简单的实验检验了这个假设。摆球沿圆弧运动可看作是沿着一系列不同 倾斜度的斜面的下落和上升运动。实验表明:使单摆由一侧开始摆动,当 它经过最低点而到另一侧时,会升到几乎相同的高度,如果摆线中途为钉
子 E 或 F 等所阻,则摆球将沿新的弧线上升,但仍达到相同的高度。这说
明沿不同倾斜度的斜面对于下落速度没有任何影响。[2]物体下降时所得的 速度正好等于能够把它送到原来高度的那个速度,一个物体下降的速度只 决定于下降的竖直高度而与下降时实际经过的路程的形状无关。伽利略的 这个假设为后来揭示重力场的保守性,即在重力场作用下物体的机械能守 恒开了先河。


图 2-2 德国数学家、哲学家莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646—1716)提出了“活
力”概念及“活力”守恒原理。1686 年,莱布尼兹在他的论文《关于笛卡
尔和其他人在确定物体的运动力中的错误的简要论证》中提出 mv 不宜作运 动的原动力的量度,应把 mv2 作为原动力的量度。他认为:“力必须由它 所产生的效果来衡量,例如用它能将一个重物举起的高度来衡量??而不 是用它传给另一物体的速度来衡量。”他把物体的重量和上升的高度的乘 积作为运动的力的量度。他说:“我假定将 1 磅重的物体 A 从 D 提升到 4 爱尔(注 1 爱尔(ell)=45 时)高的 C,其所需的力等于把 4 磅重的物体 B 从
F 提升到 1 爱尔高的 E。这个假定是笛卡儿派所承认的,也是我们时代的其 它哲学家与数学家们所承认的。”[3]他根据伽利略的落体定律计算出物体 自由下落的高度和它下落此高度所获得的速度的平方成正比,即 v2∝h, 而物体下落所得的速度正好等于把它送到原来高度的那个速度,所以物体 能上升的高度就和这速度的平方成正比。以物体的重量和提升的高度的乘
物理学基本概念和基本定律溯源的下一页
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